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2014年高考高三理科一轮复习资料 选修4-4-1 坐标系


选修4-4-1 坐标系

考纲点击 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐 标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标 和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在 极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角 坐标系中的方程.

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说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系:

如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做①______,从 O 点引一条射线 Ox,叫做②______,选定一个单位长度和角及 其正方向(通常取逆时针方向),这样应确定了一个平面极坐标 系,简称为③__________.

(2)极坐标: 对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示 以 Ox 为始边、OM 为终边的角度,ρ 叫做点 M 的④______,θ 叫做点 M 的⑤______,有序实数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标, 记作 M(ρ,θ). 当点 M 在极点时,它的极径⑥____,极角 θ 可以取⑦ ______.

(3)点与极坐标的关系: 平面内一点的极坐标可以有无数对,当 k∈Z 时,(ρ,θ), (ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示⑧________,而用平面 直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除极点 外,平面内的点和极坐标就一一对应了.

2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的 正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的 单位长度,如图所示.

(2)互化公式: M 是坐标平面内任意一点, 设 它的直角坐标是(x, y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是极坐标与直角坐标的互 化公式如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) ρ2=? ______________ tanθ=? ______________

互化公式

?x=⑨ ? ? ?y=⑩ ?

在一般情况下,由 tanθ 确定角时,可根据点 M 所在的象限取最 小正角.

3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 圆心在极点, 半 径为 r 的圆 圆心为(r,0),半 径为 r 的圆 ? π? 圆心为?r,2?, ? ? 半径为 r 的圆

极坐标方程 ?__________________ ?__________________ ?__________________

续表

答案:①极点 ②极轴 ③极坐标系 ④极径 ⑤极角 ⑥ρ=0 ⑦任意值 ⑧同一个点 ⑨ρcosθ ⑩ρsinθ ? x2+y2 ? π π? y ? x (x≠0) ?ρ=r(0≤θ<2π) ?ρ=2rcosθ ?-2≤θ<2? ? ? ?ρ=2rsinθ(0≤θ<π) ?ρcosθ=a ?ρsinθ=a(0<θ<π) ?ρsin(α-θ)=asinα

考点自测 1.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ =-1 的交点的坐标为__________.
?x=ρcosθ, ? 解析:由极坐标方程与普通方程的互化式 ? ?y=ρsinθ ?

知,这两条曲线的普通方程分别为 x2+y2=2y,x=-1.解得 ?x=-1, ?x=ρcosθ, ? ? ? 3π? ? 由? 得点(-1,1)的极坐标为? 2, 4 ?. ?y=1. ?y=ρsinθ ? ? ? ? ? 3π? 答案:? 2, 4 ? ? ?

2.在极坐标系中,已知两点 PQ 的长度为__________.

? ? 5π? π? P?5, 4 ?,Q?1,4?,则线段 ? ? ? ?

π 解析:P,Q 在过极点且与极轴成4角的直线上,它们位于 极点的两侧,因此 PQ=5+1=6. 答案:6

3 . 直 角 坐 标 方 程 x2 + y2 - 8y = 0 的 极 坐 标 方 程 为 __________.

解析:因为 x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以原方程可化为 ρ2 -8ρsinθ=0. 所以 ρ=0 或 ρ=8sinθ. 经检验,得所求的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 答案:ρ=8sinθ

4.极坐标方程 __________.

? π? ρ = 6cos ?θ-3? 的 直 角 坐 标 方 程 为 ? ?

π π 解析:原方程可化为 ρ=6cosθcos +6sinθsin , 3 3 方程两边同乘 ρ,得 ρ2=3ρcosθ+3 3ρsinθ, 由 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y, 得所求的直角坐标方程为 x2+y2-3x-3 3y=0. 答案:x2+y2-3x-3 3y=0

5 . 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ρ = 2cosθ 的 圆 心 的 极 坐 标 是 π __________,它与方程 θ=4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐 标是__________.

π 解析:圆心的极坐标为(1,0),半径为 1,θ= 与圆的交点 4 ? π? 的极坐标为? 2,4?. ? ? ? π? 答案:(1,0),? 2,4? ? ?

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x 轴正半轴重合时,可用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 将直角坐标方程化 y 2 2 2 为极坐标方程;反之;利用 ρ =x +y ,tanθ=x(x≠0)可以将 直角坐标方程化为极坐标方程. 2.求解与极坐标有关的问题,应注意先化为直角坐标后 解决较为方便. 3.求解与极坐标有关的问题,主要有两种方法:一是直 接利用极坐标求解,求解时可与数形结合思想结合在一起应 用;二是转化为直角坐标后,用直角坐标求解,使用后一种时 应注意, 若结果要求的是极坐标, 还应将直角坐标化为极坐标.

题型探究 题型一 直角坐标系中的伸缩变换 例 1. 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 伸 缩 变 换 φ : ?x′=3x, ? ? ?2y′=y. ? ?1 ? (1)求点 A?3,-2?经过 φ 变换所得的点 A′的坐标; ? ? (2)求直线 l:y=6x,经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程.

解析:(1)设 A′(x′,y′),由伸缩变换

?x′=3x, ? φ:? ?2y′=y ?

?x′=3x, ? ?1 ? 得到? 由于 A(x,y)为?3,-2?, 1 ? ? ?y′=2y, ? 1 1 ∴x′=3× =1, y′= ×(-2)=-1, ∴A′的坐标为(1, 3 2 -1).

? 1 ?x= x′, (2)设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′),则? 3 ?y=2y′, ? ? 1 ?x= x′, ?1 ? 将? 3 代入 y=6x 得 2y′=6×?3x′?,即 y′=x′, ? ? ?y=2y′, ? ∴直线 l′的方程为 y=x.

点评:在坐标变换公式中,点(x′,y′)是变换后的点的 坐标,利用方程思想合理代入即可求解.

变式探究 1

方程 x2 +y2 =1 对应的图形经过伸缩变换

?x′=4x, ? ? 后,对应图形的方程为__________. 3 ?y′=2y ?

x2 y2 答案:16+ 9 =1 4

题型二 极坐标与直角坐标的互化 例 2.在极坐标系中,已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+ 4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值.

解析:由圆 ρ=2cosθ 得 ρ2=2ρcosθ, ?x=ρcosθ, ? ∵? ∴ρ2=x2+y2, ?y=ρsinθ, ? 所以圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的直角坐标 方程分别为 x2+y2=2x,3x+4y+a=0. 将圆的方程配方得(x-1)2+y2=1, |3+4×0+a| 依题意,得圆心 C(1,0)到直线的距离为 1,即 32+42 =1,整理,得|3+a|=5,解得 a=2 或 a=-8. 所以实数 a 的值为 2 或-8.

点评:直线和圆的极坐标方程的综合性问题多是以直线和 圆的位置关系(如相切或相交)为考查重点,通常将直线和圆的 极坐标方程化为直角坐标方程解决.

变式探究 2 已知一条曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+ 4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则 该曲线的直角坐标方程为__________.

答案:x2+y2-4x-2y=0

题型三 极坐标的应用

例 3.如图,点 A 在直线 x=4 上移动,△OPA 为等腰直角 三角形,△OPA 的顶角为∠OPA(O,P,A 依次按顺时针方向 排列),求点 P 的轨迹方程,并判断轨迹形状.

解析:取 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系, 则直线 x=4 的极坐标方程为 ρcosθ=4,设 A(ρ0,θ0),P(ρ,θ). ∵点 A 在直线 ρcosθ=4 上. ∴ρ0cosθ0=4.① π ∵△OPA 为等腰直角三角形,且∠OPA=2, π 而|OP|=ρ,|OA|=ρ0,以及∠POA=4, π ∴ρ0= 2ρ,且 θ0=θ- .② 4

把②代入①, 得点 P 的轨迹的极坐标方程为 由
? π? 2ρcos?θ-4?=4 ? ? ? π? 2ρcos?θ-4?=4. ? ?

得 ρ(cosθ+sinθ)=4.

∴点 P 的轨迹的普通方程为 x+y=4,是过点(4,0)且倾斜 3π 角为 的直线. 4

点评: ①建立适当极坐标帮助分析问题. ②掌握常见的圆、 直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式,对提高解题速度至关重 要.

变式探究 3 (2013· 江苏模拟)极坐标系中,过圆 ρ=6cosθ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为__________.

解析:方法一:圆 ρ=6cosθ 的圆心极坐标(3,0), ∴直线 l 方程为 ρcosθ=3. 方法二:由 ρ2=6ρcosθ 得 x2+y2=6x,圆心 C(3,0), ∴过圆心垂直于极轴(即 x 轴)的直线方程为 x=3,其极坐 标方程为 ρcosθ=3. 答案:ρcosθ=3

归纳总结 ?方法与技巧 1.极坐标方程与普通方程互化核心公式 ?ρ2=x2+y2, ?x=ρcosθ, ? ? ? ? y ?y=ρsinθ, ?tanθ= ?x≠0?. ? x ? 2.常用图形如圆,直线等的极坐标方程.

?失误与防范 1.极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位; ④角度单位和它的正方向,四者缺一不可. 2.由极径的意义知 ρ≥0,当极角 θ 的取值范围是[0,2π] 时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应 关系,约定极点的极坐标是极径 ρ=0,极角可取任意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.在直角坐标 系中,点与直角坐标是“一对一”的关系;在极坐标系中,由 于终边相同的角有无数个,即点的极角不唯一,因此点与极坐 标是“一对多”的关系,但不同的极坐标可以写出统一的表达 式.如果(ρ,θ)是点 M 的极坐标,那么(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ +(2k+1)π)(k∈Z)都可以作为点 M 的极坐标.

新题速递 1.(2012· 陕西卷)直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长 为__________.

1 解析:将极坐标方程直角化,得直线的方程是 x=2,圆的 1 2 2 方程是(x-1) +y =1,圆心到直线的距离 d=2,所以直线被 1 圆所截得的弦长为 2 1- = 3. 4 答案: 3

2. (2012· 湖南卷)在极坐标系中, 曲线 C1: 2cosθ+sinθ) ρ( = 1 与曲线 C2 :ρ =a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a = __________.

解析:曲线 C1 的直角坐标方程为 2x+y=1,曲线 C2 的 直角坐标方程为 x2 +y2 =a2 ,C1 与极轴的交点直角坐标为 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,0?,代入 C2 的直角坐标方程,得 a= 2 . ? ? 2 答案: 2

3.(2013· 广州模拟)在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐 ? π? ? π? 标分别为?3,3?,?4,6?,则△AOB(其中 O 为极点)的面积为 ? ? ? ? __________.

答案:3

4.(2013· 安徽联考)在极坐标系下,M 为曲线

? π? ρcos?θ+3?= ? ?

? 2π? 1 上任意一点,点 P 的极坐标为?2 3, 3 ?,则|PM|的最小值为 2 ? ? __________.

4 3+1 答案: 2

5.(2013· 湖北模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标 ? π? 方程为 ρcos?θ-3?=1,M、N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交 ? ? 点,则 MN 的中点的极坐标为__________.
?2 3 π ? ? 答案:? ,6? ? 3 ? ?


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