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【全程复习方略(山东专用)2014版高考数学 第五章 第二节 等差数列及其前n项和课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第五章 第二节 等差数列及其 前 n 项和课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24 2.等差数列{an}满足 a2+a9=a6,则前 9 项和 S9=( ) (A)-2

(B)0 (C)1 (D)2 3.(2013·哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3a4-6,则 S9 等于( (A)25 (B)27 (C)50 (D)54 4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=12,S6=42,则 a10+a11+a12=( ) (A)156 (B)102 (C)66 (D)48 6.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则( ) (A)S5>S6 (B)S5<S6 (C)S6=0 (D)S5=S6

)

7.(2013·滨州模拟)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{an}的 前 n 项和中也为常数的是( ) (A)S7 (B)S8 (C)S13 (D)S15

二、填空题 8.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为________. 9.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=_________. 10.(2013·济南模拟)设关于 x 的不等式 x -x<2nx(n∈N )的解集中整数的个数为 an,则数列{an}的前 n 项 和 Sn=________. 11.(能力挑战题)设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然数 n 都有
2 *

Sn 2n ? 3 则 = , Tn 4n ? 3

a9 a + 3 的值为___________. b 5 ? b 7 b8 ? b 4
三、解答题 12.(2013·太原模拟)已知数列{an}是等差数列,且 a2=-1,a5=5. (1)求{an}的通项 an. (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最小值. 13.(2013·温州模拟)等差数列{an}的首项为 a1,公差 d=-1,前 n 项和为 Sn. (1)若 S5=-5,求 a1 的值. (2)若 Sn≤an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围. 2 14.(能力挑战题)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n +n-λ )·an(n=1,2,…),λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求λ 及 a3 的值. (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.
-1-

答案解析 1.【思路点拨】利用首项 a1 与公差 d 的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解. 【解析】选 B.方法一: ∵a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d, ∴a2+a10=a4+a8=16. 方法二:由等差数列的性质 a2+a10=a4+a8=16. 2.【解析】选 B.由 a2+a9=a6 得 a5+a6=a6,由此得 a5=0,故 S9=9a5=0. 3.【解析】选 B.由 a2=3a4-6,得 a1+d=3(a1+3d)-6, 即 a1=-4d+3,S9=9a1+36d=9(-4d+3)+36d=27. 4.【解析】选 C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知 a3+a5=a4+a4,所以 a4=4.根据等差数 列的性质可知 a1+a2+…+a7=7a4=28,故选 C. 5.【思路点拨】根据已知的特点,考虑使用等差数列的整体性质求解. 【解析】选 C.根据等差数列的特点,等差数列中 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9, a10+a11+a12 也成等差数列,记这个数列为{bn},根据已知 b1=12,b2=42-12=30,故这个数列的首项是 12,公 差是 18,所以 b4=12+3×18=66. 6.【思路点拨】根据已知得到 a3+a9=0,从而确定出 a6=0,然后根据选项即可判断. 【解析】选 D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0, 且 a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0, ∴S5=S6. 【变式备选】(2013·聊城模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19=( ) (A)55 (B)95 (C)100 (D)不能确定 【解析】选 B.∵a3+a17=10,∴a10=5,那么 S19=19a10=95. 7.【解析】选 C.设 a2+a4+a15=p(常数), ∴3a1+18d=p,解得 a7=

13 ? ? a1 ? a13 ? 1 13 p,∴S13 ? ? 13a 7 ? p. 3 2 3 8 ? a1 ? a 8 ? 3 ? a1 ? a 3 ? ? ? 10 2 2

8.【解析】 S8 ? S3 ? 10 ?

? 5a1+8a8-3a3=20 ? 10a1+50d=20? a1+5d=2? a6=2 ? S11 ?

11? a1 ? a11 ? ? 11a 6 ? 22 . 2

答案:22 9.【思路点拨】直接解出首项和公差,从而求得 a75,或利用 a15,a30,a45,a60,a75 成等差数列直接求得. 【解析】方法一:{an}为等差数列,设公差为 d,首项为 a1,那么 ?

?a15 ? 8, ?a1 ? 14d ? 8, 即? ?a 60 ? 20, ?a1 ? 59d ? 20.

-2-

64 4 ,d ? . 15 15 64 4 ? 74 ? ? 24 . 所以 a 75 ? a1 ? 74d ? 15 15
解得: a1 ? 方法二: 因为{an}为等差数列, 所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列, 设公差为 d, 则 a60-a15=3d, 所以 d=4, a75=a60+d=20+4=24. 答案:24 10.【解析】由 x -x<2nx(n∈N )得 0<x<2n+1, 则 an=2n,所以 Sn=n +n. 答案:n +n(n∈N ) 11.【解析】∵{an},{bn}为等差数列, ∴
2 * 2 2 *

a9 a a a a ?a 2a a + 3 ? 9 ? 3 ? 9 3 ? 6 ? 6. b5 ? b7 b8 ? b4 2b6 2b6 2b6 2b6 b6 S11 a1 ? a11 2a 6 2 ?11 ? 3 19 a 6 19 ? ? ? ? ,? ? . T11 b1 ? b11 2b6 4 ?11 ? 3 41 b6 41
19 41



答案:

【方法技巧】巧解等差数列前 n 项和的比值问题 关于等差数列前 n 项和的比值问题,一般可采用前 n 项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时 Sn=na 中, 也可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{an}与{bn}都是等差数 列,且前 n 项和分别是 Sn 与 Tn,则

a m S2m ?1 . ? bm T2m ?1 A n 7n ? 45 a ,则使得 n 为整 ? Bn n ?3 bn

【变式备选】已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 数的正整数 n 的个数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【 解 析 】 选 D. 由 等 差 数 列 的 前 n

项 和 及 等 差 中 项 , 可 得

1 (a ? a ?2 ) n an 2 1 ? ? bn 1 (b ? b ) 1 ? 2 n 2 12 * ?7? (n∈N ), n ?1
故 n=1,2,3,5,11 时,

1 1 (2n ? 1)(a ? a 2 1 1(2n ? 1)(b ? b 2

? 1

)

?

? 1

)

1? 2? n ? ? 1? 1 4 A22 ? nn 7 4? 5 n 3 ? 8 ?1 ? B2 ? n 1 ? 2? n 2 n ? ?? 1 3? 2 n 1

7 n 2

1 9 n 1

an 为整数.故选 D. bn

12.【解析】(1)设{an}的公差为 d,由已知条件, ? 所以 an=a1+(n-1)d=2n-5.

?a1 ? d ? ?1, 解得 a1=-3,d=2. ?a1 ? 4d ? 5,
-3-

(2)Sn= na1 ?

n ? n ? 1? 2 d ? n 2 ? 4n ? ? n ? 2 ? ? 4 . 2

所以 n=2 时,Sn 取到最小值-4. 【变式备选】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围. (2)求{an}前 n 项和 Sn 最大时 n 的值.

?12a 1 ? 66d ? 0, ? 【解析】(1)∵S12>0,S13<0,∴ ?13a 1 ? 78d ? 0, ?a ? 2d ? 12. ? 1
∴-

24 <d<-3. 7

(2)由 S13 ?

13 ? a1 ? a13 ? ? 13a 7 ? 0, 知 a7<0, 2

S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,知 a6>0, 又∵d<0,∴n≤6 时,an>0,n≥7 时,an<0, ∴S6 最大,即 n=6. 13.【解析】(1)由条件得,S5=5a1+ 解得 a1=1. (2)由 Sn≤an,代入得 na1 ?

5? 4 d=-5, 2

n ? n ? 1? ? a1 ? 1 ? n , 2
1 2 3 1 n ? n ? 1 = (n-1)(n-2), 2 2 2

整理,变量分离得: ? n ? 1? a1 ? 当 n=1 时,上式成立. 当 n>1,n∈N 时,a1≤ n=2 时,
*

1 (n-2), 2

1 (n-2)取到最小值 0, 2

∴a1≤0. 【变式备选】等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 b n ?

2Sn ? 13 ,求数列{bn}的最小值项. n

【解析】(1)设数列{an}的公差为 d. 由 2S2 ? a 2 2 ? a2 , 可得 2(a1+a1+d)=(a1+d) +(a1+d). 又 a1=1,可得 d=1(d=-2 舍去), ∴an=n. (2)根据(1)得 Sn ?
2

n ? n ? 1? , 2
-4-

bn ?

2Sn ? 13 n ? n ? 1? ? 13 13 ? ? n ? ? 1. n n n

13 (x>0)在(0, 13 ]上单调递减,在[ 13 ,+∞)上单调递增, x 13 22 88 ? ? 而 3< 13 <4,且 f(3)= 3 ? , 3 3 12 13 29 87 ? ? f(4)= 4 ? , 4 4 12
由于函数 f(x)=x+ 所以当 n=4 时,bn 取得最小值, 且最小值为

29 33 ?1 ? , 4 4 33 . 4
2

即数列{bn}的最小值项是 b4=

14.【解析】(1)由于 an+1=(n +n-λ )an(n=1,2,…), 且 a1=1,所以当 a2=-1 时,得-1=2-λ , 2 故λ =3.从而 a3=(2 +2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下: 2 由 a1=1,an+1=(n +n-λ )an,得 a2=2-λ ,a3=(6-λ )(2-λ ), a4=(12-λ )(6-λ )(2-λ ). 若存在λ ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1, 即(5-λ )(2-λ )=1-λ ,解得λ =3. 于是 a2-a1=1-λ =-2, a4-a3=(11-λ )(6-λ )(2-λ )=-24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以,对任意λ ,{an}都不可能是等差数列.

-5-


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