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高中数学 2-4-1等比数列的概念与通项公式课件 新人教A版必修5


第二章
数 列

第二章
2.4 等比数列

第二章
第 1 课时 等比数列的概念与通项公式

课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误作答

课程目标解读

1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,会 用公式

解决一些简单问题,体会等比数列与指数函数的关系. 2.进一步体会归纳法思想.

课前自主预习

1.等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列 ,这个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公比 ,公比通常用字母 q 表示

an (q≠0).即: =q(n≥2,q≠0,n∈N*). an-1 若公比 q=1,则这个数列为常数列,

2.如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比 数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 如果 G 是 a、b 的等比中项,则 G= ± ab . 容易看出, 一个等比数列从第 2 项起, 每一项(有穷等比数 列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.
n-1 a q (a1,q 均不为 0). 3.等比数列的通项公式:an= 1

重点难点展示

重点:等比数列的定义和通项公式的应用. 难点:1.等比数列通项公式的推导和类比思想方法运用. 2.等比数列与指数函数的关系.

学习要点点拨

1.通过具体实例,观察、归纳、并类比等差数列定义得 an+1 出等比数列定义,定义式 a =q(n∈N*).因为 q≠0,故等比 n 数列{an}中每一项均不为零.

a2 a3 a4 2.在定义式中,依次令 n=1,2,3??得到 =q, =q, a1 a2 a3 an an - =q,?? =q,将这些式子相乘得到 =qn 1,∴an=a1qn a1 an-1
-1

,这种导出通项公式的方法称作累乘法,应注意体会运用. 另外类比等差数列通项公式推导方法,可由 an+1=anq,依

次取 n=1,2,??迭代得出通项公式.

3.等比数列的判断主要用定义式,有时也用其变式 a2 an+1(n≥2). n=an-1· 4.等比数列的增减性.
? ?a1>0 ? ? ?q>1 ? ?a1<0 或? ? ?0<q<1 ? ?a1<0 时{an}为递增数列;? ? ?q>1 ? ?a1>0 或? ? ?0<q<1



{an}为递减数列;q=1 时为常数列;q<0 时为摆动数列.

5.①在等差数列中,等差中项唯一,在等比数列中,等 比中项是互为相反数的两个值,即 G=± ab,这一点同学们务 必要记熟,再就是任意两个实数都有一个等差中项存在,但任 意两个实数间未必存在等比中项,如 0 和任一实数,或一正数 一负数间都不存在等比中项.只有同号的两个数才存在等比中 项. ②在等比数列中,an 是 an-k 和 an+k 的等比中项(n>k).即 a2 an+k,特别地 a2 an+1(n≥2). n=an-k· n=an-1·

6.若{an}是等差数列,bn=ban,则{bn}为等比数列,反之 若{an}为等比数列(an>0),bn=lg an,则{bn}为等差数列. 7.若有三个数成等比数列:可设为 a1,a1q,a1q2,或设 a1 为 q ,a1,a1q. 8.在通项公式中的四个量 an,a1,n,q 中,已知任意三 个可求第四个量.

思路方法技巧

命题方向

等比数列通项公式

[例 1] 求 an. [分析]

已知等比数列{an}, 若 a1+a2+a3=7, a1a2a3=8,

(1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数

a1 和 q,故需建立 a1 与 q 的两个方程,组成方程组求解,因 此只需将已知条件改写成 a1 与 q 的关系式即可. (2)由等比中项的定义知,a2 是 a1 与 a3 的等比中项,故 可先由 a1a2a3=8 求得 a2,再解关于 a1 与 a3 的方程组,即可 获解.

[解析]

解法 1:由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q2,

代入已知得,
2 ? ?a1+a1q+a1q =7 ? 2 ? a · a q · a q ? 1 1 1 =8 2 ? ?a1?1+q+q ?=7 ?? ? ?a1q=2 2 ? ?a1?1+q+q ?=7, ,?? 3 3 ? ?a1q =8

① ②

2 由②得 a1= ,代入①得 2q2-5q+2=0, q 1 ∴q=2,或 q=2. 当 q=2 时,a1=1,an=2n-1; 1 当 q=2是,a1=4,an=23-n.

解法 2:∵a1a3=a2 2, ∴a1a2a3=a3 2=8, ∴a2=2.
? ?a1+a3=5 从而? ? ?a1a3=4

,解之得 a1=1,a3=4,或 a1=4,a3=1,

1 当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q=2. 故 an=2n 1,或 an=23 n.
- -

a2 解法 3: 由等比数列的定义可知 a1= q , a3=a2q, 代入 a1a2a3 =8,得 a2=2, 2 ∴a1=q,a3=2q, 2 代入 a1+a2+a3=7,得 +q+2q=7,可解得 q=2,或 q q 1 =2. 以下同解法 1.

[点评]

解答中易产生的错误是先求得 a1=1,a3=4 或 a1
2

1 =4,a3=1 后,由 a3=a1q 得出 q=± 2 或 q=± ,故求得 an= 2 2n 1 或 an=(-2)n 1 或 an=23 n 或 an=(-2)3 n.
- - - -

上述错误的原因在于忽视了由于 a2=2,a1>0 必有 q>0 这 一隐含条件的限制.

1 1 1 (2011· 浙江杭州一模)已知等比数列前 3 项为2,-4,8, 则其第 8 项是________.

1 [答案] - 256

[解析]

1 1 1 ∵a1=2,a2=a1q=2q=-4,

1 1 1 1 ∴q=-2,∴a8=a1q7=2×(-2)7=-256.

命题方向
[例 2]

等比中项

(2011· 醴陵二中、四中高二期中联考)已知{an}是

等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5= ( ) A.5 C.15 B.10 D.20

[答案] A

[分析]

∵{an}是等比数列,∴a3 是 a2 与 a4 的等比中项,

a5 是 a4 与 a6 的等比中项,因此条件式可以转化为 a3 与 a5 的关 系式.

[解析]

2 a4a6=a2 5,a2a4=a3,

2 2 ∴(a3+a5)2=a3 +2a3a5+a5 ,

=a2a4+2a3a5+a4a6=25, ∴a3+a5=± 5. ∵an>0,∴a3+a5=5.

(2009· 四川)等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列{an}的前 10 项之和是( A.90 C.145 B.100 D.190 )

[答案] B

[解析]

设公差为 d,由题意得 a2 a5, 2=a1·

∵a1=1,∴(1+d)2=1+4d, ∴d2-2d=0,∵d≠0,∴d=2, 10×9 ∴S10=10×1+ ×2=100,故选 B. 2

命题方向

an 与 Sn 的关系及等比数列的判断

[例 3]

已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n )

∈N*),那么数列{an}( A.是等比数列

B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列

[答案] D

[解析]

利用等比数列的概念判断.

由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1.故 a2=(p-1)p, 因此数列{an}成等比数列

? ?p≠0, ?p-1≠0, ?? ? an =p?n≥2?. ? a - ? n 1 a2 ?p-1?p 而 = =p-1. a1 p 故满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D.

[点评]

(1)此题易得出错误的判断,排除错误的办法是熟

悉数列{an}成等比数列的条件: an≠0(n∈N*), 还要注意对任意 an n∈N ,n≥2, 都为同一常数. a n -1
*

(2)判断{an}是否为等比数列,由 Sn=pn 知当 n≥2 时,an =Sn-Sn-1=pn-pn 1=(p-1)· pn 1,
- -

乍看只要 p≠0,p-1≠0 就是等比数列,其实不然,因为 a1=S1=p,并不满足 an;故无论 p 取何实数{an}都不可能是等 比数列.

已知数列{an}满足: lg an=3n+5, 试用定义证明{an}是等 比数列.

[证明]

由 lg an=3n+5,得 an=103n 5,


an+1 103?n+1?+5 则 = =1 000, an 103n+5 ∴数列{an}是公比为 1 000 的等比数列.

合作探究 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an≠0,Sn+1+Sn=kan+
1(|k|>1),问数列{an}是否为等比数列?并说明理由.

[解析]

∵Sn+1+Sn=kan+1,又 Sn+1-Sn=an+1,

∴2Sn+1=(k+1)an+1,则 2Sn=(k+1)an(n≥2). 以上两式相减得 2an+1=(k+1)an+1-(k+1)an (k-1)an+1=(k+1)an (n≥2).

(n≥2).

an+1 k+1 ∴ a = (n≥2). k - 1 n

a2 2 又 S1+S2=ka2,∴2a1+a2=ka2.∴a = . k-1 1 k+1 2 若{an}为等比数列,则 = , k-1 k-1 ∴k=1.这与|k|>1 矛盾,∴{an}不是等比数列.

建模应用引路

[例 4]

培育水稻新品种,如果第一代得到 120 粒种子,

并且从第一代起,由各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120 粒种子,到第 5 代大约可以得到这个新品种的种子多少 粒(保留两个有效数字)?

[ 解析]

由于每代的种子数是它的前一代种子数的 120

倍,逐代的种子数组成等比数列,记为{an},其中 a1=120,q =120,因此,a5=120×1204≈2.5×1010. 答:到第五代大约可以得到种子 2.5×1010 粒.

一个工厂今年生产某种机器 1 080 台, 计划到后年把产量 提高到每年生产机器 1 920 台. 如果每一年比上一年增长的百 分率相同,这个百分率是多少(精确到 1%)?

[解析]

设这个百分率为 x,据题意:

1 080(1+x)2=1 920, ∴(1+x)2≈1.77 778, ∴x≈0.33=33%. 答:这个百分率是 33%.

探索延拓创新

命题方向
[例 5] +1(n∈N*)

构造法解题

已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1,bn=an

(1)求证{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

[分析]

bn+1 (1)欲证{bn}是等比数列,须证 为常数,又 bn bn

=an+1,∴bn+1=an+1+1,故只须将条件式变换为 an+1+1 与 an+1 的关系式即可获证. (2)只要求出了{bn}的通项公式,就可以求出 {an}的通项 公式.

[解析]

(1)∵an+1=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1)即 bn+1=2bn, ∵b1=a1+1=2≠0.∴bn≠0, bn+1 ∴ b =2, n ∴{bn}是等比数列. (2)由(1)知{bn}是首项 b1=2 公比为 2 的等比数列, ∴bn=2×2n 1=2n 即 an+1=2n,


∴an=2n-1.

2an 1 在数列{an}中,已知 a1=2,an+1= ,证明数列{a - an+1 n 1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.

[解析]

2an 由 a1=2,an+1= 可知,对 n∈N*,an≠0. an+1

2an 1 1 1 由 an+1= 两边取倒数得, = + . an+1 an+1 2 2an
? 1? 1 即 -1=2?a -1?, an+1 ? n ?

1

1 1 ∵a1=2,∴a -1=-2. 1 1 1 1 ∴数列{ -1}是首项为- ,公比为 的等比数列. an 2 2

?1? 1 1?1?n-1 ∴ -1=- ?2? =-?2?n. an 2? ? ? ?

2n ∴an= n . 2 -1

合作探究 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn 且满足 an + 2Sn· Sn - 1 = 0 1 (n≥2),a1= . 2
? ?1? ? (1)求证:?S ?是等差数列; ? ? n? ?

(2)求 an 的表达式.

[分析] 1

1 (1)由 an 与 Sn 的关系 an=Sn-Sn-1 消去 an, 构造S - n

,证明其为常数. Sn-1 1 (2)由(1)可求S ,进而求出 Sn,再求 an. n

[解析]

(1)证明:∵an=Sn-Sn-1

(n≥2),

又 an=-2Sn· Sn-1, ∴Sn-1-Sn=2Sn· Sn-1,Sn≠0. 1 1 ∴S - =2 Sn-1 n (n≥2). 为首项,以 2 为公

? 1 1 ?1? ? 由等差数列的定义知?S ?是以S =a =2 ? ? n? ? 1 1

差的等差数列.

1 (2)由(1)知 =2+(n-1)×2=2n, Sn 1 ∴Sn=2n. 1 当 n≥2 时,有 an=-2Sn· Sn-1=- , 2n?n-1? 1 又∵a1=2, ?1 ?n=1? ?2 ∴an=? 1 ?- ?n≥2? ? 2n?n-1?

.

命题方向

等差、等比数列的综合应用及方程的思想

[例 6]

三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果

它们分别加上 1、3、9,就成为等比数列,求此三个数. [分析] 因为所求三数成等差数列,故可设这三数为 a

-d、a、a+d,再根据已知条件寻找关于 a、d 的两个方程, 通过解方程组即可获解.

[解析]

设所求之数为 a-d、a、d+d,则由题设得

? ??a-d?+a+?a+d?=15, ? 2 ? ? a + 3 ? =?a-d+1??a+d+9?. ? ? ?a=5, 解此方程组得,? ? ?d=2.

∴所求三数为 3,5,7.

有四个数成等比数列,将这四个数分别减去 1,1,4,13,则 成等差数列,则这四个数为________.

[答案] 3,6,12,24

[解析]

设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3,则 a-1,aq

-1,aq2-4,aq3-13 成等差数列,
2 ? ?2?aq-1?=?a-1?+?aq -4?, ∴? 2 3 ? ?2?aq -4?=?aq-1?+?aq -13?. 2 ? ?a?q-1? =3, 整理得? 2 ? ?aq?q-1? =6.

解得 q=2,a=3.

因此所求四个数为 3,6,12,24.

名师辨误作答

[例 7]

三个正数能构成等比数列,它们的积是 27,平方

和为 91,则这三个数为________. [错解] 1,3,9 或-1,3,-9

a 设三数为q,a,aq,则 ?a a· aq=27 ?q· ? ??a?2+a2+a2q2=91 ?q ① ②

1 由①得 a=3 代入②中得 q=± 3 或 q=± 3. ∴当 q=3 时, 三数为 1,3,9; 当 q=-3 时, 三数为-1, 3, 1 1 -9;当 q=3时三数为 9,3,1;当 q=-3时,三数为-9,3,- 1. 综上可知此三数为 1,3,9 或-1,3,-9.

[辨析]

错解没有注意到“三个正数 成等比数列”,因此 ..

应有公比 q>0.
[正解] 1,3,9

a 设三数为q,a,aq,则 ?a a· aq=27 ① ?q· ? ??a?2+a2+a2q2=91 ② ?q

1 由①得 a=3,代入②中得 q=± 3 或 q=± 3, 1 ∵三个数为正数,∴q>0,∴q=3 或 . 3 当 q=3 时,三数为 1,3,9, 1 当 q=3时,三数为 9,3,1, 综上知,这三个数为 1,3,9.

课堂巩固训练

一、选择题 1.若{an}为等比数列,且 2a4=a6-a5,则公比是( A.0 C.-1 或 2 B.1 或-2 D.-1 或-2 )

[答案] C

[解析]

由 2a4=a6-a5 得 2a1q3=a1q5-a1q4

∵a1≠0,q≠0,∴q2-q-2=0, ∴q=-1 或 2.

2.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于( A.18 C.60 B.24 D.90 )

[答案] C

[解析] 6d),

由条件知 a2 a7 ,∴ (a1 +3d)2= (a1+2d)(a1 + 4 = a3·

8×7 即 2a1+3d=0,又由 S8=8a1+ 2 d=32 得, 2a1+7d=8,所以 d=2,a1=-3, 10×9 故 S10=10a1+ 2 d=60,故选 C.

二、填空题 3.某种细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂 为两个), 经过 4 小时, 这种细菌由 1 个可繁殖成________个?

[答案] 256

[解析]

设逐次分裂后的个数为 an,则{an}构成以 a1=2

为首项,q=2 为公比的等比数列,∴an=2n,经过 4 小时,共 分裂 8 次,∴a8=28=256,∴这种细菌经过 4 小时可由 1 个繁 殖成 256 个.

三、解答题 4.在等比数列{an}中, (1)已知 a4=2,a7=8,求 an; (2)已知 a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求 n.

[解析]

3 ? ?a4=a1q (1)∵? 6 ? a = a q ? 7 1

3 ? ?a1q =2 ,∴? 6 ? ?a1q =8

① , ②

② 3 3 由 得 q =4,从而 q= 4,而 a1q3=2, ① 2 1 于是 a1= 3= , q 2 所以 an=a1q
n-1

1 3 n -1 =2· ( 4) =2

2n-5 3

.

4 ? ?a2+a5=a1q+a1q =18 (2)∵? 2 5 ? a + a = a q + a q ? 3 6 1 1 =9

③ ④

④ 1 ∴由 得 q= ,从而 a1=32. 2 ③ 1 n -1 又 an=1,∴32×( ) =1, 2 1 n-1 1 5 ∴( ) =( ) ,∴n=6. 2 2


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