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2.4.1抛物线及其标准方程


2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中的抛物线!

将物体抛出后在空中运动 形成的曲线

1.根据定义手工画抛物线 —实践体验

点M 随着K 运动的过程中, 始终有 | MF |?| MK |,即点 M 到定点F的距离与它到 定直线l的距离相等.

l
? ? ? M ? F ? ? ? ? ?

?

实 践 体 验
? ?

手 工 画 抛 物 线



2、抛物线的几何定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
(另一说法:到定点和定直线的距离的 N

l
M

比等于1)
定点F叫做抛物线的焦点。

· ·F

定直线l 叫做抛物线的准线。

MF ︳ ︳ 即: 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

3.抛物线的标准方程的推导:
l

想 一 想

N

M

· · F

如何建立直角 坐标系?

过F做直线FK垂直于直线l,垂足为K。以直线KF为x 轴,线段KF的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直 角坐标系xOy。 l y 设︱KF︱= p(焦准距) p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 设动点M的坐标为(x,y), 由定义可知,

N
K o

M

· · F

x

p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

4.抛物线的标准方程:
方程 y2

= 2px(p>0)叫做

l

y
M

抛物线的标准方程。
p ?p ? 其中焦点F ? ,0 ? , 准线方程为x ? ? , 2 ?2 ? 开口向右.

N
K o

· F x ·

其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离(焦准距)

开口向左呢?
p 焦点F ( ? , 0) 2 p 准线l : x ? 2
p2 2 p (x ? ) ? y ? ? x 2 2
2

y l

· o F·
M

N
x K

y ? ?2 px

开口向上呢?
p 焦点F (0, ) 2
p 准线l : y ? ? 2
p2 p x ?(y? ) ? y? 2 2
2

y

l

o

· ·x
F
M

K

N

x ? 2 py
2

开口向下呢?
p 焦点F (0, ? ) 2 p 准线l : y ? 2
p2 p x ?(y? ) ? ? y 2 2
2

y l

K

N

o
F

· ·
M

x

x ? ?2 py
2

5.归纳与思考
(1)与椭圆、双曲线相比,方程有何不同特征?

(2)与二次函数相比,表达式有何不同特征?

l

··x o
M

y F

K N

x2 = 2py

y=ax2

方程的四种形式及方程系数与曲线要素的对应关系 图 形
l
y

方程
x

焦点

准线

归纳总结

o F

y2 = 2px (p>0) y2 = -2px (p>0)

p p F ( ,0 ) x ? ? 2 2
p F ( ? ,0 ) 2

2 y

= mx

y
F

l

o
y

x

p x? 2

左右开口型

o

F

l
y

x

x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0)

p p F (0, ) y ? ? 2 2

2 x

= ny

l

oF

x

p p F (0,? ) y ? 2 2

上下开口型

6、巩固练习
1.抛物线 y ? 16 x 2 的焦点坐标是( D ) 1 1 (C )( , 0) (D) (0, ) ( B )(0, 4) (A) (4, 0) 64 64 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

(1) y ? ?20x
2

F ( ?5,0), l : x ? 5
1 1 F (0, ), l : y ? ? 8 8 5 5 F ( ,0), l : x ? ? 8 8

(2) y ? 2 x
2
2

2

(3)2 y ? 5x ? 0

(4) x ? 16 y ? 0 F (0, ?4), l : y ? 4

例1、根据下列条件写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(0,-2);
.

x ? ?8 y
2

(2)准线方程为l : y ? ?1 (3)焦点到准线的距离是2.

x ? 4y
2

y ? 4 x, y ? ?4 x,
2 2

x ? 4 y, x ? ?4 y
2 2

小结 1、抛物线的几何定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
(另一说法:到定点和定直线的距离的 N

l
M

比等于1)
定点F叫做抛物线的焦点。

· ·F

定直线l 叫做抛物线的准线。

MF ︳ ︳ 即: 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

2、方程的四种形式及方程系数与曲线要素的对应关系 图 形
l
y

方程
x

焦点

准线

归纳总结

o F

y2 = 2px (p>0) y2 = -2px (p>0)

p p F ( ,0 ) x ? ? 2 2
p F ( ? ,0 ) 2

2 y

= mx

y
F

l

o
y

x

p x? 2

左右开口型

o

F

l
y

x

x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0)

p p F (0, ) y ? ? 2 2

2 x

= ny

l

oF

x

p p F (0,? ) y ? 2 2

上下开口型

作业布置
一、课后练习: 课本P67 练习1~3
《风向标》P51 二、课后探究:课本P66 例2


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