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浙江省元济高级中学2015-2016学年高二上学期期中综合练习数学卷


元济高级中学 2017 届高二第一学期期中综合练习卷(一)
班级______姓名___________学号______
一.选择题: 1.已知过点 A(m, ?2) 和 B(4, m) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 ( A. ? 8 B. 0 C. 2 D. 10 2.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 2 : 3 B. 2 : 9 C. 4 : 9 D. 8 : 27 3.如右图,一个简单几何体三视图的正视图与 侧视图都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮 廓为正方形,则其体积是( ) A. )

3 6 4 3 3

B.

4 2 3
8 3

正视图

侧视图

C.

D.

4.已知两不同平面 ? , ? ,不同直线 m, n ,下列命题中不 正确的是( ) . A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? . B.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? . C.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n . D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . 2 2 5.已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方 程为( )A. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 B. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 C. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 D. ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 6.已知 a, b, c 是三条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个不重合的平面 ① a // ? , b // ? ? a // b ② a // c, c // ? ? a // ? ③ a ? ? , a // ? ? ? ? ? ④ a ? ? , ? ? ? ? a ? ? ,其中正确命题的序号是( ) A.③ B.②③ C.①②③ D.①②④ 2 2 7.动点 M 在圆 ( x ? 4) ? y ? 16 上移动,则 M 与定点 A(?4,8) 连线的中点 P 的轨迹方程为 2 2 2 2 ( ) A ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 B. x ? ( y ? 3) ? 4 2 2 2 2 C. x ? ( y ? 4) ? 4 D. x ? ( y ? 4) ? 4
2 2 8.若圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,

俯视图

则直线 l 的倾斜角的取值范围是(

)A.[

? ?
12 4 ,

]

B.[

? 5? ? ? ? , ] C.[ , ] D. [0, ] 12 12 6 3 2

9.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 4, 长为 4 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上 运动, 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的中点 P 的轨迹的面积( ) A. 16? B. 8? C. 4? D. 2? 10.如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点,则下列结论正确的是( A.①②③ B.①② C.②③ D.③④
D1 A1 M D C A B B1 C1

)

①线段 A1M 与 B1C 所在直线为异面直线; ②对角线 BD1⊥平面 AB1C; ③平面 AMC⊥平面 AB1C; ④直线 A1M//平面 AB1C.

二、填空题: 11.在直角坐标系中,直线 3x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? ? . 32 12.已知正方体的外接球的体积是 π ,则正方体的棱长等于 . 3 2 2 2 2 13.已知两圆 x +y =10 和(x-1) +(y-3) =20 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程 是 . 14.如图,在直四棱柱 ABCD ? A 上, 1B 1C1D 1 中,点 E , F 分别在 AA 1 , CC1

3 1 且 AE ? AA1 , CF ? CC1 ,点 A, C 到 BD 的距离之比为 4 3
3 : 2 , 则 三 棱 锥 E ? BCD 和 F ? ABD 的 体 积 比

D1 A1 E D

C1 B1 F C B

VE ? BCD = VF ? ABD



15.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取 A 值范围是 . 三、解答题: 16.已知直线 l 经过直线 3x+4y-2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P,且垂直于 直线 x-2y-1=0 . (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S.

17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AD⊥AB, CD∥AB, AB ? 2 AD ? 2 ,CD ? 3 ,直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60°,点 M、N 分别是 PA, PB 的中点. (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB .

18.如图,已知圆 C : x2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0 ,点 A (0,6 ) . (1)求圆心在直线 y ? x 上,经过点 A ,且与圆 C 相切的 圆 N 的方程; (2) 若过点 A 的直线 m 与圆 C 交于 P, Q 两点, 且圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的

1 ,求直线 m 的方程. 4

19.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90? , ?PAB ? 60? , AB ? BC ? CA , PA ? 2 , 且平面 PAB ? 平面 ABC . (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的正切值; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的正切值. P C

A

B

20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接点 M、 N 均在直线 x=5 上,圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13,圆弧 C2 过点 A(29,0).

(1)求圆弧 C2 的方程; (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA= 30PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请 说明理由; (3)已知直线 l:x-my-14=0 与曲线 C 交于 E、F 两点,当 EF=33 时,求坐标原点 O 到直线 l 的距离.

元济高级中学 2017 届高二第一学期期中综合练习卷(一)

一.选择题 题号 答案 二. 填空题 5π 150 0 11. 6


考 答 案
4 C
d高

1 D

2 C

3 C

5 D
gkstk] 考网

6 A


7 D

8 B


9 D

10 A

?

?

4 3 12. 3

13. x+3y=0

14.

3 2
(1)由 ?

15. 1 ? 2 2 ? b ? 3
?3x+4y-2=0 ?2x+y+2=0 ? ?x=-2 解得 ? . ?y=2 ?

16.解:

由于点 P 的坐标是(-2,2).所求直线 l 与 x-2y-1=0 垂直, 可设直线 l 的方程为 2x+y+C=0. 把点 P 的坐标代入得 2×(-2)+2+C=0,即 C=2. 所求直线 l 的方程为 2x+y+2=0. (2)又直线 l 的方程 2x+y+2=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是-1 与-2. 1 则直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S= ×1×2=1. 2 17.证明: (1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MN∥AB. 因为 CD∥AB,所以 MN∥CD. 又 CD ? 平面 PCD, MN ? 平面 PCD,所以 MN∥平面 PCD. (2)因为 AD⊥AB,CD∥AB,所以 CD⊥AD, 又因为 PD⊥底面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥PD,又 AD ? PD ? D ,所以 CD⊥平面 PAD. 因为 MD ? 平面 PAD,所以 CD⊥MD, 所以四边形 MNCD 是直角梯形. (3)因为 PD⊥底面 ABCD,所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角, 从而∠PAD= 60? . 在 Rt △ PDA 中, AD ? 2 , PD ? 6 , PA ? 2 2 , MD ? 2 . 在直角梯形 MNCD 中, MN ? 1 , ND ? 3 , CD ? 3 , CN ? 从而 DN 2 ? CN 2 ? CD 2 ,所以 DN⊥CN. 在 Rt △ PDB 中,PD= DB= 6 , N 是 PB 的中点,则 DN⊥PB. 又因为 PB ? CN ? N ,所以 DN ? 平面 PCB .

MD 2 ? (CD ? MN ) 2 ? 6 ,

18.解(Ⅰ)由 x2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0 ,得 ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 50 . 所以圆 C 的圆心坐标为 C(-5,-5), 又圆 N 的圆心在直线 y=x 上, ① 当两圆外切于 O 点时,设圆N的圆心坐标为 ( a, a ) ,则有

(a ? 0)2 ? (a ? 6)2 ? (a ? 0)2 ? (a ? 0)2 ,解得 a=3,
所以圆N的圆心坐标为 (3,3),半径 r ? 3 2 , 故圆 N 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 18 . 当两圆内切时,设切点为 M,则 M 点坐标为(-10,-10) . 因为线段 AM 的中点为(-5,-2) , k AM ?

8 5

所以 AM 的中垂线方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 5) ,即 y ? ? x ?

5 8

5 8

41 8

5 41 ? 41 41 ?y ? ? x ? , 解方程组 ? 8 8 则所求圆的圆心坐标为 (? , ? ) , 13 13 ? ? y ? x,

r 2 ? 2(?

41 89 ? 10) 2 ? 2 ? ( ) 2 , 13 13
41 2 41 89 ) ? ( y ? )2 ? 2 ? ( )2 . 13 13 13 41 2 41 89 ) ? ( y ? )2 ? 2 ? ( )2 . 13 13 13

故圆 N 的方程为 ( x ?

综上可知,圆 N 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 18 或 ( x ?

(Ⅱ)因为圆弧 PQ 恰为圆C圆周的 所以点 C 到直线 m 的距离为 5.

1 , 所以 CP ? CQ . 4

当直线 m 的斜率不存在时,点 C 到 y 轴的距离为 5,直线 m 即为 y 轴, 所以此时直线 m 的方程为 x=0. 当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y ? kx ? 6 ,即 kx ? y ? 6 ? 0 . 所以

| ?5k ? 5 ? 6 | 1? k
2

? 5 ,解得 k ?

48 48 .所以此时直线 m 的方程为 x? y?6?0 55 55

故所求直线 m 的方程为 x=0 或

48 x ? y ? 6 ? 0. 55

19.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90? , ?PAB ? 60? , AB ? BC ? CA , PA ? 2 , P 且平面 PAB ? 平面 ABC . C (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的正切值; A B

(Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的正切值. 解: (Ⅰ)过点 P 作 PO ? AB 于 O ,连接 OC .由平面 PAB ? 平面 ABC ,知 PO ? 平面

ABC ,即 ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角.
因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?, 不妨设 PA=2, 则 OP= 3 , AO= 1,AB=4. 因为 AB ? BC ? CA ,所以 ?CAB ? 60? , OC= 4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 1 ?
2 2

P
C

A

B

O

1 ? 13 . 2
OP 3 39 . ? ? OC 13 13
39 . 13

在 Rt ?OCP中, tan ?OPC ?

即直线 PC 与平面 ABC 所成的角的正切值为

(2)过 C 作 CD ? AB 于D,由平面 PAB ? 平面 ABC ,知 CD ? 平面 PAB. 过点D作 DE ? PA 于 E,连接 CE,据三垂线定理可知 CE⊥PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角 . 由(1)知 AB=4,又 ?APB ? 90? , ?PAB ? 60? , 所以 CD= 2 3 ,DE= 3 .在 Rt△CDE 中,tan ?CED ?
A

P E

C

D

B

CD 2 3 ? ?2 DE 3

故 二面角B —AP —C的正切值为2 20. (本题满分 16 分) (1)圆弧 C1 所在圆的方程为 x +y =169. 令 x=5,解得 M(5,12),N(5,-12). 则线段 AM 的中垂线的方程为 y-6=2(x-17). 令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为 O2(14,0), 又圆弧 C2 所在圆的半径为 r2=29-14=15, 所以圆弧 C2 的方程为(x-14) +y =225(x≥5). (2)假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 30PO,得 x +y +2x-29=0.
? ?x +y +2x-29=0, 由? 2 2 ?x +y =169?-13≤x≤5?, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

解得 x=-70(舍).

?x +y +2x-29=0, ? 由? 2 2 ??x-14? +y =225?5≤x≤29?, ?

2

2

解得 x=0(舍).

综上知这样的点 P 不存在.……………………10 分 (3)因为 EF>2r2,EF>2r1,所以 E、F 两点分别在两个圆弧上. 设点 O 到直线 l 的距离为 d. 因为直线 l 恒过圆弧 C2 所在圆的圆心(14,0), 解:所以 EF=15+ 13 -d + 14 -d , 1 615 2 2 2 2 2 即 13 -d + 14 -d =18,解得 d = . 16 所以点 O 到直线 l 的距离为 1 615 . 4
2 2 2 2



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