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西交大苏州附中2013-2014高二数学期中复习(3)


西交大苏州附中 2013-2014 学年度第一学期期中复习卷(3)
高 二 数 学
姓名

一、填空题: 1.直线 a//b,a//平面α ,则 b 与平面α 的位置关系是 2.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积是 3.已知直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0, l 2 : (a ? 2) x ? ay ? 1

? 0 ,若 l1 // l 2 ,则实数 a = 4.经过点(1,2) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 条.

5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1 , 2 , 3 ,则此球的面积 为 .

6. 已知 a, b 是直线, α , β , γ 是平面, 给出下列命题: ① a ? ? , b ? ? , a ? b , 则α ⊥β ; ② ? ? ? , ? ? ? , 则α //β ;③ b ? ? , ? ? ? ,则 b // ? ;④ ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,则 a // b ,其中正确 的命题序号是 .. 7.光线由点 P(2,3)射到直线 x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为 8. 若 x,y 满足方程 x ? y ? 4 上,则 x+y 的取值范围为__
2 2

_____.

9.若函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (ab ? 0) , 对任意的实数 x 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , 则直线 ax ? 2by ? c ? 0 的斜率是 10.已知直线 y=-2x+a(a>0)与 圆 x2+y2=9 相交于 A,B 两点,且 OA ? OB ?

? 4

? 4

??? ? ??? ?

9 ,则实数 a= 2

(理科) 已知椭圆 E : 则椭圆 E 的离心率是

???? ???? ? x2 y 2 F P ? F P ? ?6 , F , F ? ? 1( a ? b ? 0) 过点 P ( 3 , 1 ) , 其左、 右焦点分别为 , 且 1 2 1 2 a 2 b2

11.若过点 A(a, a) 可作圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线,则实数 a 的取值范围是
2 2 2

12.(文科)直线 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 截得弦长的最小值为
2 2

(理科)若 A、B 与 F1、F2 分别为椭圆 C: π ,则 tan∠APB= 2

x2 ? y 2 ? 1 的两长轴端点与两焦点,椭圆 C 上的点 P 使得∠ 5

F1PF2=



13. 设 a>0, b>0,4a +b =ab ,则在以 (a, b)为圆心, a+ b 为半径的圆中,面积最小的圆的标准方程是 ____________________ . 2 2 14.如果圆(x-2a) +(y-a-3) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是 _. 二、解答题 15.如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE;
1

(2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求

BF 的值。 BE

16.如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E、F 分别为边 AB、AD 的中点,现将△ADE 沿 DE 折起, 得四棱锥 A—BCDE.(1)求证:EF∥平面 ABC;(2)若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积.

17.已知直线 l 方程为 (2 ? m) x ? (1 ? 2m) y ? 4 ? 3m ? 0 . (Ⅰ)证明:直线 l 恒过定点 M ; (Ⅱ)若直线 l 分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于 A, B 两点,求△ AOB 面积的最小值及此时直线的方程.

2

18. 已知 m ? R ,直线 l : mx ? (m ? 1) y ? 4m 和圆 C : x ? y ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 .
2 2 2

(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

?x ? 0 ? 2 2 2 19.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 及其内部所覆盖. ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
(1)试求圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

3

20. (文科) 已知圆 A 过点 P ( 2 , 2 ), 且与圆 B: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0
2 2 2

对称.(Ⅰ)求圆 A 和圆 B 方程;

(Ⅱ)求两圆的公共弦长; (Ⅲ)过平面上一点 Q( x0 , y0 ) 向圆 A 和圆 B 各

引一条切线,切点分别为 C、D,设 出该定值. (理科)已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

QD ? 2 ,求证:平面上存在一定点 M 使得 Q 到 M 的距离为定值,并求 QC

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点. a 2 b2

(1)若椭圆的离心率为

2 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 2

(2)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? ? , 轴长的最大值.

??? ?

??? ?

?1

2? ? 时,求椭圆长 2 2 ? ?

4

1.

b ?或b ? ?

2、

3 ? 3

3、 0 或 3 4、 2

5. 14 ?

6. ①④ 7. 5 x ? 4 y ? 1 ? 0

2 2? 8. ? -2 2, ? ?

9. -

1 2

10. ( 文科)

3 15 2 2 (理科) 2 3

11. 1 ? a ?

3 2

12. (文科) 2 2

(理科)- 5

? 6 ? 13. (x-3)2+(y-6)2=81 14. ?- ,0? ? 5 ?
17.(Ⅰ)证明:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 化为(x-2y-3)m=-2x-y-4. ? ? ?x-2y-3=0 ?x=-1 由? 得? , ?-2x-y-4=0 ?y=-2 ? ? ∴直线必过定点(-1,-2). …3 分

…………………………………6 分

(Ⅱ)解:设直线的斜率为 k(k<0) ,则其方程为 y+2=k(x+1), 2 ∴OA=| -1|,OB=| k-2 |, …………………………8 分 k 2 1 1 2 1 (k-2) S△ AOB= · OA· OB= |( -1)(k-2)|= |- |. .………………………10 分 2 2 k 2 k ∵k<0,∴-k>0, 2 1 (k-2) 1 4 ∴S△ AOB= [- ]= [4+(- )+(-k)]≥4. 2 k 2 k 4 当且仅当- =-k,即 k=-2 时取等号. k ∴△AOB 的面积最小值是 4, 直线的方程为 y+2=-2(x+1),即 y+2x+4=0.

………………………13 分 ……………………………14 分 …………………15 分

18.解: (Ⅰ)? k ?

m (*) ……………………………2 分 ,? km2 ? m ? k ? 0 , m ?1 1 1 ……………5 分 ? m ? R ,?当 k≠0 时,由 ? ≥ 0 解得 ? ≤ k ≤ 且 k≠0; 2 2 又当 k=0 时,方程(*)有解 m=0, ………………6 分 1 1 综上可得 ? ≤ k ≤ . ………………………………7 分 2 2
2

(Ⅱ)假设直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点则∠ACB=120°.

1 的两段圆弧.………………8 分 2
……………………………10 分

∵圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,∴圆心 C(4,-2)到 l 的距离为 1.

故有

4m ? 2(m 2 ? 1) ? 4m m ? (m ? 1)
2 2
2

2

? 1 ,整理得 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 .

∵ ? ? 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,∴方程 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 无实数解. …………………14 分 因此直线 l 不可能将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧.…………………15 分 2
5

19. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0), P(4,0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部 ,且△ OPQ 是直角三角形,…………3 分, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 ,…………5 分 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 .…………8 分
2 2

(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b …………9 分 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

??? ?

??? ?

10 …………11 分 2

| 2 ?1 ? b | 1 ?1
2 2

?

10 ……12 分解得: b ? ?1 ? 5 .……14 分 2

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 .………16 分注:用第二问结论参照得分。 20. (文科)解: (Ⅰ)设圆 A 的圆心 A(a,b) ,由题意得:

?b ? 2 ? ?1 ? ?a ? 0 ?a ? 2 解得 ? ? A(0,0) ? ?b ? 0 ?a ? 2 ? b ? 2 ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 2 2 2 设圆 A 的方程为 x ? y ? r ,将点 P( 2 , 2 )代入得 r=2
∴圆 A: x ? y ? 4 ,圆 B: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 (Ⅱ)由题意得两圆的公共弦所在直线方程为 l:x-y+2=0,设(0, 0)到 l 的距离为 d,
2 2 2 2

则 d=

0?0?2 2

? 2 , ∴公共弦长 m=2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2

(Ⅲ)证明:由题设得:

? 2, 2 2 x0 ? y0 ? 4 4 4 20 2 2 68 2 2 ∴化简得: x0 ? y0 ? x0 ? y0 ? ? 0 , ∴配方得: ( x0 ? ) 2 ? ( y0 ? ) 2 ? 3 3 3 3 3 9 2 17 2 2 ∴存在定点 M( ,? )使得 Q 到 M 的距离为定值,且该定值为 . 3 3 3
2 ,2c ? 2 , ?a ? 2 , c ? 1 , 则b ? a 2 ? c 2 ? 1 , 2

( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 2) 2 ? 4

(理科) 解: (Ⅰ) e ?

? 椭圆的方程为

x2 ? y =1 , 2

? x2 ? ? y =1, 联立 ? 2 消去y得: 3x 2 ? 4 x ? 0 , 设A( x1,y1 ), B( x2,y2 ) , ? y ? ? x ? 1, ?
1? 4 ?4 则 A ? , ? ? , B(0, 1), ? AB ? 2. 3? 3 ?3
网 ZXXK]

(Ⅱ)设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? OB , ? OA? OB =0 , 即x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
6

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ? a 2 b2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 , ? y ? ? x ? 1, ?

由?=(?2a 2 )2 ? 4a 2 (a 2 ? b2 )(1 ? b2 ) ? 0 ,整理得 a2 ? b2 ? 1 ,
又x1 ? x2 ? a 2 (1 ? b2 ) 2a 2 , ,x1 x2 ? 2 2 a ?b a ? b2
2

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 +x2 )+1 ,
由x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

?

2a 2 (1 ? b2 ) 2a 2 ? ?1? 0, a 2 ? b2 a 2 ? b2

整理得:a 2 ? b2 ? 2a 2 b2 ? 0 , ? b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e2 , 代入上式得
2a 2 ? 1 ? 1 1? 1 , ? a 2 ? ?1 ? 2 2 ? 1 ? e2 1? e ? ?, ?

1 2 1 1 ? ≤e≤ , ? ≤ e2 ≤ , 2 2 4 2 1 3 4 1 ? ≤1 ? e2 ≤ , ? ≤ ≤ 2, 2 4 3 1 ? e2
7 1 ? ≤1 ? ≤3 , 3 1 ? e2 7 3 ? ≤ a2 ≤ , 适合条件a 2 ? b2 ? 1, 6 2

由此得

42 6 42 ≤a≤ , ? ≤ 2a ≤ 6 , 6 2 3

故长轴长的最大值为 6 .

7

8


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