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第24届北京市高中力学竞赛决赛


第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题 届北京市高中力学竞赛决赛试题
(北京四中杯)

一、填空题( 填空题(6 小题, 小题,每小题 9 分,共 54 分) 1. 如图 1 所示,一根长绳悬吊在定滑轮的两侧,体重相同的甲、乙两人分别抓住绳的一端, 甲身体虚弱只能紧紧抓住绳不放,乙身体强壮能用力牵引自己沿绳向上爬行. 经过一段时间,乙 上升的高度为 h,在这段时间内甲上升的高度_______(填小于、等于或大于)h,原因是
如图 2 所示,一个弹簧称上端固定,下端用一根竖直线向下拉弹簧秤,线下端固定,弹 则弹簧秤示数为_____N, 理由是_______ 簧秤示数为 4N. 如果弹簧秤下端悬吊一重为 1N 的重物,
2. _____________________________________________. .

时间 120 分钟 满分 150 分

m2


1


2

h m1

图1 图2 图3 3. 两个物体各重 m 和 m ,用不可伸长绳连接,此绳跨过一定滑轮,滑轮半径为 r.如图 3 所 示,开始时,两物体高度差 h, m > m 。不计滑轮质量和摩擦.由静止释放,问两物体达到同一 高度所需时间____________. A B 4. 如图 4 所示,从同一高度的 A、B 处垂下两根长度相同的绳,绳下端 分别站有质量相同的甲、乙两人,甲旁的绳可认为不可伸长,乙旁的绳有明 显的弹性,当两人分别沿绳爬到 A、B 处时,比较两人做功的多少的结论是 ________________,理由是____________________________. 甲 乙 图4 地球 5. 我们可近似认为地球绕太阳做匀速圆周运动,月球绕地球做匀速 月亮 圆周运动,它们的运动轨迹在同一个面上,以太阳为参考系,月球的运动 轨迹可粗略画成如图 5 所示的虚线,这种画法__________ (填正确或错 太阳 误) ,理由_____________________________________________________. 图5
2 1

如图 6 所示,长为 L 的一段细线,一端固定在 光滑水平面上的 O 点,另一端栓住一质量为 m 的小 O 物体. 开始时,物体距 O 点为 b,b﹤L,给物体一个 初速度 v ,θ 已知. 当物体运动到距 O 点为 L 时线绷 图6 紧,物体绕 O 点做半径为 L 的圆周运动,此时线的张 力等于 ____________. 二、计算题( 计算题(共 96 分) 7. (15 分)悬臂架的端部 A 和 C 处有套环,恰好套在铅垂的圆柱上,可以上下移动. 如果 υρ 在 AB 上作用铅垂力 υρ F ,如图 7 所示,当 F 离开圆柱较远时,悬臂架将被圆柱上的摩擦力卡住而 F离 不能移动.设套环与圆柱间摩擦系数均为 ?,架重不计,求:悬臂架不至于被卡住时,铅垂力 υρ 圆柱的最大距离 x . x
6.
0

A

F B

b

C

图7 8.(18 分)弹性球自高处 h 自由落在水平地板上,球从地板上弹起又垂直落下,这样继续弹 跳. 如果每次碰撞前瞬间速度 ,碰后瞬间速度为
ρ v ρ v'
ρ v ρ =-k (0 k 1) . v'

a

﹤ ﹤ 求弹性球行走的路程。

(空气阻力不计)

(18 分)一小球斜向上抛出,抛出的初速度与水平方向的夹角为 θ,经过一段时间位移与 水平方向夹角为 α,速度与水平方向的夹角为 β,不计空气阻力,则 θ 与 α、β 之间的关系表达式 是什么?
9.

(20 分)2011 年 3 月 11 日日本发生 9 级大地震,地震引发海啸,导致福岛核电站发生 核泄漏. 在核泄漏中,有四种放射性同位素是对人体比较有危险的:碘-131、铯-137、锶-90、钚 -239. 它们放出高能量粒子会对人体造成伤害,导致人体细胞癌变. 人体细胞可以看作质量为 M 的小球,两细胞间的链接物可看作轻杆(设长度为 l),如图 8 所示. 当质量为 m 的高能粒子以 速度 v 垂直于链接物射向人体细胞,与细胞发生正碰并留在细胞里时,忽略人体其它任何影响, 试求两细胞的运动规律和链接物受力大小.
10.

M

m, v

图8

11. 25

( 分)有一颗质量为 m 的小星体 A. 围绕某质量为 M,半径为 R 的大星体作半径为 2R
GM R

的圆周运动. 从远处飞来一速度为 v =

、质量为 2m 的星体 B 与 A 星迎面发生剧烈正碰后

形成一个新的星体 C. 假定碰撞前后位置未发生变化. (1)请通过计算判断新的星体 C 是否会与大星体发生碰撞. (2)如果 B 星从 A 星背面恰好沿着 A 星的运动方向追上它并发生上述碰撞,请通过计算判 断 C 是否会与大星体发生碰撞.

第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案 届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案

一、填空题 1. 等于;绳对甲、乙两人的拉力大小相等。 2. 4N;线长度发生微小缩短,线拉力减小为 3N。
3. t = 4.

(北京四中杯)

h ( M 1 + M 2 )h = a (M 2 ? M1 ) g

两人做的功相等;甲与绳、乙与绳的出末状态相同,绳的弹性不影响乙做功多少。 5. 错误;太阳对月球的引力总比地球对月球的引力大,以太阳为参考系,月球的运动轨迹 总是凸形的。
6.

二、计算题 7. 解:设 x 为临界状态时的距离 力平衡 N ? N = 0
C A

2 2 mv0 b sin 2 θ l3

fA

力矩平衡 A 为参考点
fA = ? NA

f A + fC ? F = 0

(1) (2) (3)

NA

A b fC a

x

F B

C

NC

a? ? NC b + fC a ? F ? X + ? = 0 2? ? fC = ? NC

联立: X = 2b? 所以 X < 2b? 解:第一次碰撞瞬间速度 v = 2mh 碰撞后速度 v ' = 2mh 。h 为弹起的高度。 所以 h = k h h = k h 第二次 h = k h = k h …… 第 N 次 h = k h = k h 所以 S = h + 2h + 2h + ...... + 2h + ...... = h + 2k h (1 + k
8.
1 1 1 1
2

1

1

2

4

2

2n

2

1

n

n ?1

2

2

1

2

n

+ k 4 + ......)

=h+

2k 2 h 1+ k 2 = h · 1? k 2 1? k 2

9.

解:小球的运动情况如图所示,可得
x = v0t cos θ

v β v0 r θ α x y

又有 v cosθ = v cos β 所以 tan θ = 2 tan α ? tan β 10. 解:设链接物长为 l 忽略人体其他任何影响,碰撞时动量守恒,有:
0

v0 sin θ + v sin β t 2 y v sin θ + v sin β tan α = = 0 x 2 cos θ y=

M l

mv = ( 2M + m ) vC

式中 v 为质心的速度,由此得:
C

m v



vC =

方向与 v 相同,所以系统的质心以 v = 2Mm+ m v 的速度做匀速直线运动。由于整个系统对 质心没有外力矩作用,故系统对质心的角动量守恒,即:
C 2 mvx2 = Mx12ω + ( M + m ) x2 ω

m v 2M + m

其中 x

2

=

Ml 2M + m

+m ; x = 2M l ,分别为碰撞后右边小球和左边小球到质心 C 的距离。 M +m
1

式中 ω 为两细胞对质心的角速度,即两细胞绕质心做匀速圆周运动,同时质心做匀速直线运 动。 ω = ( M mv c + m) l 链接物受力大小为:
Mm 2 v 2 ? Ml ? T = ( M + m)ω ? ?= ? 2 M + m ? l ( M + m )( 2 M + m )
2

2 ? ? M + m ?2 Ml ? M ? ? 2 mv = ?M ? ? + ( M + m) ? ? ?l ω 2M + m ? 2 M + m 2 M + m ? ? ? ? ? ? ?

11.

解:A 星运动的速度 v =
1

GM 2R
1 2 2 2

(1)碰撞剧烈,动量守恒: mv ? 2mv = 3mv (v 为 C 星速度) v
C

=

1? 2 2 3

GM 2R

星的能量 E = E

k

GM ( 3m ) GM ( 3m ) 1 2 + E p = 3mv2 ? =? 2 2R 2 × 1.2 R

根据 E<0,所以轨迹为椭圆。 又根据能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系 E = ? GM2(a3m ) ,所以 a = 1.2R 。形成 C 星的起始位 置为椭圆的远地点,判断是否与大星体相碰,看 r近 ≤ R 。现在 r 近 = 2a-r 远 = 2.4R-2R<R,故一 定相碰。 (2)碰撞剧烈,动量守恒: mv + 2mv = 3mv (v 为 C 星速度) v
1 2 2 2

=

1+2 2 GM 3 2R

C

星的能量 E = E

k

GM ( 3m ) GM ( 3m ) 1 2 + E p = 3mv2 ? =? 2 2R 2 × 5.4 R

根据 E<0,所以轨迹为椭圆。 又根据能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系 E = ? GM2(a3m ) ,所以 a = 5.4R 。形成 C 星的起始位 置为椭圆的近地点, r近 =2R>R ,所以一定不会发生碰撞。 链接物受力大小
Mm 2 v 2 ? Ml ? T = ( M + m)ω ? ?= ? 2 M + m ? l ( M + m )( 2 M + m )
2

2R

O

R


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