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立体几何教案02-简单几何体的表面积和体积


简单几何体的表面积和体积
一、考纲要求及近三年高考分布 柱、椎、台、球及其简单组合体,表面积和体积的求解,为高考中的 A 级考点。虽说难度较低,但有关本 节的内容,在过去五年的江苏高考中均有涉及(10 年为大题,其他各年为填空) ,可以说是个必得勿失的 考点, 二、知识点梳理 1、柱体、台体、锥体的侧面积公式

注意体会柱体、锥体、台体侧面积公式之间

的统一性。 2、空间几何体的体积公式

V 柱体= Sh.
1 3 1 V 台体= h(S ? SS ' ? S ') . 3

V 锥体= Sh .

3、球的表面积和体积.

S球面 ? 4? R2 .

4 V 球= ? R 3 . 3
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三、典型例题? 题型一:几何体的表面积和体积——注重几何体的“分割”与“补形” 例 1、 (2012 泉州模拟)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为___________

例 2、 设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为 a, 顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为___________

例 3、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且△ADE、△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为________.

例 4、 如图所示, 已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截, 剩下部分的母线长最大值为 a, 最小值为 b,那么圆柱被截下部分的体积是____________.

例 5、正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为________.

例 6、一个圆锥形封闭容器,不计厚度,内部盛少许水,容器的高为 h,若将容器放置在水平面上,则水 面高为 h1 ,且 h1 ?

1 h ,现将圆锥倒置,水面高为 h 2 ,则 h 2 为_________ 3

题型二:几何体的展开与折叠问题 例1、 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为________

例 2、锥的半径为 r,母线长为 4r,M 是地面圆上任意一点,从M处拉一根绳子,环绕圆锥的侧面再回到 M, 最短绳长为________
A C B

例 3、如图,正三棱柱 ABC ? DEF 的底面边长为 1,高为 8,一质点自 A 点出发,沿着 三棱柱的侧面绕行两周到达 D 点的最短路线的长为 ____ .

D

E

F

2

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例 4、如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? a , BC ? b , BB1 ? c ,并且 a ? b ? c ? 0 .求沿着长 方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长.
D1 A1 D A a B B1 b C1 c C

(趣味补充:正方体有 11 种展开图,感兴趣的话,你课后可以去查一查相关资料) 四、同步练习? ㈠填空题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个_________

主视图

左视图

俯视图

2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为_________ 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4,5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 _________ 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为_________ 5.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是 _________ 6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长分别是 9 和 15 ,则这个棱柱的 侧面积是________ 7.一个棱柱至少有_____________个面,面数最少的一个棱锥有_____________个顶点,顶点最少的一个 棱台有___________条侧棱。 8.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 9. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 中心, 若正方体的棱长为 a , 则三棱锥 O ? AB1D1 的 体积为_____________。

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10 .如图, E , F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、面 BCC 1 B1 的中心,则四边形

BFD1 E 在该正方体的面上的射影可能是____________。
11. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 , 这个 长 方体的对角线长是 ___________ ;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为

3,5,15 ,则它的体积为___________.
㈡解答题 1. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐 (供融化高速公路上的积雪之用) , 已建的仓库的底面直径为 12 M , 高 4 M ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直 径比原来大 4 M (高不变) ;二是高度增加 4 M (底面直径不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些?

2.将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
0

? 六、课后作业? ㈠填空题 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平面 图形的面积是__________
0

2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为__________ 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是_________

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4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面 的半径为__________

5.棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是__________

6.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,

EF // AB , EF ?
为_________

3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 ,则该多面体的体积 2

7.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 ,则圆台的侧面积 为____________

0

8 . Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为 ____________ 9.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体

10.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4, 5 , 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运 动到另一个端点,其最短路程是______________

11. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

图(1)

图(2)

12 . 若 圆 锥 的 表 面 积 为 a 平 方 米 , 且 它 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆 , 则 这 个 圆 锥 的 底 面 的 直 径 为 _______________。
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㈡解答题 1.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它的深 度为多少 cm ?

2.已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. ? ? ? 七、拓展训练? 如图所示, 在 正 三 棱 锥 P-ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心) 中 ,AB=4 ,PA=8 ,过 A 作 与 PB ,PC 分 别 交 于 D 和 E 的 截 面 ,则 截 面 △ ADE 的周长的最小值是.
A E V F C

? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解后反思:此题的破解关键在于三角恒等变换的灵活应用,对于计算要求较高 ? 如图,在直三棱柱 ABC ﹣ A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ ACB=90°, AC=6 , BC=CC1= ,P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解后反思: :此题的破解钥匙在于找寻空间四边形 A 1BCC1 ,以 BC1 为界展开图形,在分析时要学会排除干 扰条件
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八、题 题型方法总结归纳 1、必须熟悉掌握锥体的体积公式,锥体的体积求解在历年江苏高考中高频出现; 2、善于分析立体图形, “割” “补”自如;如球内接几何体类型题,主要突破口为补全几何体为柱体;又 如多面体均可分割为若干个三棱锥; 3、立体图形的展开类型题,注意展开后的图像形状,不要忘记可能会有不同的展开方式; 4、比较综合的题型如求线段和的最值问题,可能会与解三角形的相关知识结合,要具备灵活运用的思维 高度.

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