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2013年对数与对数函数高考复习题


对数与对数函数高考复习题
1.(2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b 2.log225· 32 2· 59=( log log ) A.3 B.4 C.5 C. b ? a ? c D.6 D. b ? c ? a

x 3.(201

0 山东文数)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为

?

?

(

) D. ?1, ?? ? ? )

A.

? 0, ?? ?

B.

? 0, ?? ? ?

C.

?1, ???

4.[2011· 重庆卷] 下列区间中,函数 f(x)=|ln?2-x?|在其上为增函数的是( 4 3 A.(-∞,1] B.?-1,3? C.?0,2? D.[1,2) ? ? ? ? 5.函数 y ? log1 ( x2 ? 5x ? 6) 的单调增区间为(
2

)

5 A.( ,+∞) 2

B.(3,+∞)

5 C.(-∞, ) 2

D.(-∞,2) )

2 6.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2?x2011)=8,则 f(x1)+f(x2)+?+f(x2 )=( 2 2011 A.4 B.8 C.16 D.2loga8

7.若函数 y = log 1 | x + a |的图象不经过第二象限,则 a 的取值范围是(
2



(A)( 0,+ ∞ ),

(B)[1,+ ∞ )

(C)( – ∞,0 )
x

(D)( – ∞,– 1 ]

8.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2012 +log2012x,则方程 f(x)=0 的 实根的个数为( A.1 ) B.2 C.3 D.5

9. (2010 全国卷 1 文数) (7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) , a ? b 的 则 取值范围是 (A) (1, ??) ( ) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

10.(2010 天津理数)若函数 f(x)= ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2





) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)
1

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

11.已知实数 a,b 满足 log1 a ? log1 b ,下列五个关系式: 、a>b>1,(2)、0<b<a<1, (1)
2 3

(3)、b>a>1,(4)、0<a<b<1,(5)、a=b,其中不可能成立的关系式有



12.设 a,b,c 均为正数,且 2a ? log1 a, ( )b ? log1 b, ( )c ? log2 c 比较 a,b,c 大小
2 2

1 2

1 2

13.|1+lg0.001|+

1 lg2 -4lg3+4+lg6-lg0.02 的值为________. 3 。

14. 函数y ? loga ( x ? 2012 ? 2013 a ? 0, a ? 1),恒过点 ) (

15.(2011·上海交大附中月考)函数 f(x)=lg(x+ -6)( a∈R)的值域为 R,则实数 a 的取 值范围是________. 16.(理)(2011·浙江省宁波市“十校联考”)设 a>0,a≠1,函数 f (x)= a x 则不等式 loga(x-1)>0 的解集为________. 17.[2011· 天津卷] 已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________.
2

a x

?x?1 有最大值,

18.(文)已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)若函数 f(x)有最小值为-2,求 a 的值.

19.设 P:关于 x 的不等式 2|x|<a 的解集为 ?,Q:函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R.如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 a 的取值范围.

2

20.设 a>0,a≠1,函数 y=a

lg( x 2 ? 2 x ? 3)

有最大值,求函数 f(x)=loga(3-2x-x2)的单调区间.

21.(2011·金华模拟)设集合 A={x|2( log1 x ) -7log2x+3≤0},若当 x∈A 时,函数 f(x)
2

2

=log2

x x ·log2 的最大值为 2,求实数 a 的值. a 4 2

22.已知函数

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) .

(1) 求函数 f ( x) 的定义域 I ; (2) 判断函数 f ( x) 在定义域 I 上的单调性,并说明理由; (3)当 a , b 满足什么关系时, f ( x) 在 ?1, ? 上恒取正值。 +?

3

对数与对数函数高考复习题答案
1.解析 ?l o g 3

2 ?

log ?2 2

log b?c ? 3 2

log2 3 ? log2 2 ? log3 3 ? log3 ? ?a ? b?a ? b ? c . 答案 A
3 lg2 lg25 lg2 2 lg9 2lg5 2 2lg3 2.D [解析] 原式= · · = · · =6. lg2 lg3 lg5 lg2 lg3 lg5 3 答案:A 4.

5[答案]

D

5 2 1 2 2 2 [解析] 由 x -5x+6>0 得 x>3 或 x<2,由 s=x -5x+6=(x- ) - 知 s=x -5x+6 2 4 在区间(3,+∞)上是增函数,在区间(-∞,2)上是减函数,因此函数 y=log1 2 +6)的单调增区间是(-∞,2),选 D. 6.C [解析] 依题意有 loga(x1x2?x2011)=8, 而 f(x2)+f(x2)+?+f(x2 ) 1 2 2011 =logax2+logax2+?+logax2 =loga(x1x2?x2011)2 1 2 2011 =2loga(x1x2?x2011)=2×8=16. 7.D 8[答案] C [解析] 当 x>0 时,f(x)=0 即 2012 =-log2012x,在同一坐标系下分别画出函数 f1(x) =2012 ,f2(x)=-log2012x 的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程 f(x)=0 只 有一个实根,又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以当 x<0 时,方程 f(x)=0 也有一个 实根,又因为 f(0)=0,所以方程 f(x)=0 的实根的个数为 3.
x x

(x -5x

2

9.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ?

1 ? 2 ,从而错选 D,这也 a

4

是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f ( a ) ? a ?

1 1 ,所以 a+b= a ? a a

1 2 由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ?(0,1)上 a

为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞). 10.【答案】C 【解析】 本题主要考查函数的对数的单调性、 对数的基本运算及分类讨论思想, 属于中等题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。

?a ? 0 ?a<0 ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ?
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ?a ? 2 ? a ? a ? ?
【温馨提示】 分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解, 解对数不等式既要注意真数大 于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 11.2, 1,3,5成立

12.2^a=log(1/2)a,(1/2)^b=log(1/2)b,(1/2)^c=log? c a 是方程2^x=log(1/2)x 的解, 是 y=2^x 与 y=log(1/2)x 交点的的横坐标 b 是方程(1/2)^x=log(1/2)x 的解 是 y=(1/2)^x 与 y=log(1/2)x 交点的横坐标 c 是方程(1/2)^x=log? x 的解 是 y=(1/2)^x 与 y=log? x 交点的横坐标 在同一坐标系内画出涉及的函数图像 就可以看出 a<b<c

5

13 解析:原式=|1-3|+|lg3-2|+lg300=2+2-lg3+lg3+2=6. 答案:6 14.(2013,2014) 15[答案] (-∞,9] [解析] ①a≤0 时,x+ -6 能取遍一切正数, ∴f(x)的值域为 R; ②a>0 时,要使 f(x)的值域为 R,应使 x+ -6 可以取到所有正数,故 x>0 时,x+ - 6 的最小值 2 a-6≤0,∴0<a≤9,综上 a≤9. 16[答案] {x|1<x<2} 1 2 3 3 2 [解析] ∵t=x +x+1=(x+ ) + ≥ , 2 4 4

a x

a x

a x

f(x)=ax2+x+1 有最大值,∴0<a<1,
∴不等式 loga(x-1)>0 化为 0<x-1<1, ∴1<x<2. 17.2011· 天津卷] 18 【解析】 ∵log2a +log2b=log2ab≥1, ∴ab≥2, ∴3a+9b=3a+32b≥2 3a·2b=2 3a 2b≥2 32 3 ?1-x>0, ? 18[解析] (1)由? 得-3<x<1, ? ?x+3>0, 所以函数的定义域为{x|-3<x<1}.


2ab

=18.

f(x)=loga[(1-x)(x+3)],
6

设 t=(1-x)(x+3)=4-(x+1) , 所以 t≤4,又 t>0,则 0<t≤4. 当 a>1 时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}, 当 0<a<1 时,y≥loga4,值域为{y|y≥loga4}. (2)由题意及(1)知:当 0<a<1 时,函数有最小值, 1 所以 loga4=-2,解得 a= . 2 19 解:P:∵2|x|≥1,且不等式 2|x|<a 的解集为 ?,∴a≤1. Q:ax2-x+a>0 恒成立. ①若 a=0,则-x>0(不符合题意,舍去); ? ?a>0, 1 ②若 a≠0,则? ?a> . 2 2 ?Δ=1-4a <0 ? ∵P 和 Q 有且仅有一个正确,∴P 真 Q 假或者 P 假 Q 真. 1 若 P 真 Q 假,则 a≤ ; 2 若 P 假 Q 真,则 a>1. 1 综上可得,所求 a 的取值范围为(-∞, ]∪(1,+∞). 2
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2

20 解:设 t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当 x∈R 时,t 有最小值 lg2. 又因为函数 y=a 所以 0<a<1. 又因为 f(x)=loga(3-2x-x2)的定义域为{x|-3<x<1}, 令 u=3-2x-x2,x∈ (-3,1),则 y=logau. 因为 y=logau 在定义域内是减函数, 当 x∈ ( ?3, ?1] 时,u=-(x+1)2+4 是增函数, 所以 f(x)在 ( ?3, ?1] 上是减函数. 同理,f(x)在[-1,1)上是增函数.故 f(x)的单调减区间为 ( ?3, ?1] ,单调增区间为[-1,1). 21[解析] ∵A={x|2(log2x) -7log2x+3≤0} 1 ={x| ≤log2x≤3}={x| 2≤x≤8}, 2 而 f(x)=(log2x-a)(log2x-2)=(log2x) -(a+2)log2x+2a, 1 令 log2x=t,∵ 2≤x≤8,∴ ≤t≤3. 2 ∴f(x)可转化为 g(t)=t -(a+2)t+2a,其对称轴为直线 t= ①当 t=
2 2 2

lg( x 2 ? 2 x ? 3)

有最大值,

a+2
2



a+2 7

3 ≤ ,即 a≤ 时, 2 4 2
7

[g(t)]max=g(3)=2? a=1,符合题意; ②当 t=

a+2 7

3 > ,即 a> 时, 2 4 2

1 11 [g(t)]max=g( )=2? a= ,符合题意. 2 6 11 综上,a=1,或 a= . 6
22.解析: (1)

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) 要意义, a x ? b x ? 0 -----------2 分

(只要学生得出答案,没有过程的,倒扣一分,用指数函数单调性或者直 接解出)

a ?a? a ? b ? 0 ? ? ? ? 1(a ? 1 ? b ? 0 ? ? 1) b ?b?
x x

x

? 所求定义域为 ? 0, ?? ? -----------------------------------------4 分
(2)函数在定义域上是单调递增函数------------------------------5 分 证明: ?x1 , x2 ,0 ? x1 ? x2 ---------- -----------------------------6 分

?a ?1 ? b ? 0

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2 -----------------------------------------7 分
? a x1 ? b x1 ? a x2 ? b x2 ? ln(a x1 ? b x1 ) ? ln(a x2 ? b x2 ) -----------------------------------9 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以原函数在定义域上是单调递增函数-------------------------10 分 (3)要使 f ( x) 在 ?1, ? 上恒取正值 +? 须 f ( x) 在 ?1, ? 上的最小值大于 0--------------------------11 分 +? 由(2) ymax ? f (1) ? ln(a ? b) ------------------------------12 分

? ln(a ? b) ? 0 ? a ? b ? 1
所以 f ( x) 在 ?1, ? 上恒取正值时有 a ? b ? 1 -------------------14 分 +?

8


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