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【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修二课后练习:点线面综合问题 二


学科:数学 专题:点线面综合问题 主讲教师:纪荣强 北京四中数学教师

题1 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,点 M 是 BC 的中点,点 N 是 AA1 的中 点. (1)求证:MN∥平面 A1CD; (2)过 N,C,D 三点的平面把长方体 ABCD-A1B1C1D1 截成两部分几何体,求所截成的两部分 几何体的体积的

比值.

题2 已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影可能是:①两条平行直 线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中, 正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).

题3 设 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C.若 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β D.若 a⊥b,a⊥α,b?α,则 b∥α

).

题4 正三棱锥 A-BCD,底面边长为 a,侧棱为 2a,过点 B 作与侧棱 AC、AD 相交的截面,在这样 的截面三角形中, 求(1)周长的最小值;(2)周长为最小时截面积的值;(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥 的体积与三棱锥体积之比.

题5 若四面体各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是 个可能的值)

.(只须写出一

题6 一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示,其中正视图、侧视图均为边长为 a 的正方形. (1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图; (2)若多面体底面对角线 AC、BD 交于点 O,E 为线段 AA1 的中点,求证:OE∥平面 A1C1C; (3)求该多面体的表面积.

(1)

(2)

题7 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1, P、Q 分别是 CC1、C1D1 的中点.求证:AC∥平面 BPQ.

题8 如图,在四棱锥 E—ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M 为 CE 上 一点,且 BM⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BC; (2)如果点 N 为线段 AB 的中点,求证:MN∥平面 ADE.

题9 如图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体, 其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结 论中不正确的是( A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 ). B.四边形 EFGH 是矩形 D.Ω 是棱台

课后练习详解
题1 答案:见详解. 详解: (1)设点 P 为 AD 的中点,连结 MP、NP,

∵点 M 是 BC 的中点,∴MP∥CD.∵CD?平面 A1CD,MP?平面 A1CD, ∴MP∥平面 A1CD.∵点 N 是 AA1 的中点,∴NP∥A1D. ∵A1D?平面 A1CD,NP?平面 A1CD,∴NP∥平面 A1CD. ∵MP∩NP=P,MP?平面 MNP,NP?平面 MNP, ∴平面 MNP∥平面 A1CD.∵MN?平面 MNP,∴MN∥平面 A1CD. (2)取 BB1 的中点 Q,连结 NQ、CQ、ND,

∵点 N 是 AA1 的中点,∴NQ∥AB. ∵AB∥CD,∴NQ∥CD,∴过 N、C、D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD-A1B1C1D1 截成两 部分几何体,其中一部分几何体为直棱柱 QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱 B1QCC1 -A1NDD1, 1 1 1 1 ∴S△QBC= · QB· BC= × 1× 1= ,∴直三棱柱 QBC-NAD 的体积 V1=S△QBC· AB= . 2 2 2 2 ∵长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V=1× 1× 2=2, 3 ∴直四棱柱 B1QCC1-A1NDD1 的体积 V2=V-V1= , 2

1 V1 2 1 1 ∴ = = ,∴所截成的两部分几何体的体积的比值为 . V2 3 3 3 2 题2 答案:①②④. 详解:①、②、④对应的情况如下:

用反证法证明③不可能. 题3 答案:D. 详解:

对于选项 A,要注意直线 a,b 的方向相同时才平行;对于选项 B,可用长方体验证.如图, 设 A1B1 为 a,平面 AC 为 α,BC 为 b,平面 A1C1 为 β,显然有 a∥α,b∥β,α∥β,但得不到 a∥b;对于选项 C,可设 A1B1 为 a,平面 AB1 为 α,CD 为 b,平面 AC 为 β,满足选项 C 的条 件却得不到 α∥β,故 C 不正确;对于选项 D,可验证是正确的. 题4 答案: (1)

11 9 3 55 2 a; (2) a; (3) . 4 16 64

详解: (1)沿侧棱 AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.

如图,当周长最小时,EF 在直线 BB′上,∵ΔABE≌ΔB′AF,∴AE=AF,AC=AD,∴B′B∥CD,

DF DB ? DF = , DB ? AB ? a a 1 1 3 3 11 = = ,∴DF= a,AF= a.又∵ΔAEF∽ΔACD,∴BB′=a+ a+a= a,∴截面三角形 4 2a 2 2 2 4 11 的周长的最小值为 a. 4
∴∠1=∠2=∠3, ∴BE=BC=a, 同理 B′F=B′D=a. ∵ΔFDB′∽ΔADB′, ∴

(2)如图, ∵ΔBEF 等腰, 取 EF 中点 G, 连 BG, 则 BG⊥EF. ∴BG= BE2 ? EG2 = a ? ( a)
2

3 8

2



1 1 3 55 55 3 55 2 a ∴SΔBEF= · EF· BG= · a· a= a. 2 2 4 8 8 64

(3)∵VA-BCD=VB-ACD,而三棱锥 B—AEF,三棱锥 B—ACD 的两个高相同,所以它们体积之比 于它们的两底面积之比,即 题5 答案:

S 9 VB ? AEF EF 2 = △ AEF = = 2 16 S △ ACD CD VB ?CAD

11 14 或 . 6 12

详解:该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求体积公式这个知识点, 实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成 的. 排除{1,1,2} ,可得{1,1,1} , {1,2,2} , {2,2,2} ,然后由这三类面在空间构造满 足条件的一个四面体,再求其体积. 由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为 2,另一边为 1,对棱相 等的四面体. 对于五条边为 2,另一边为 1 的四面体,参看下图所示,

设 AD=1,取 AD 的中点为 M,平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱锥,由对称性可知 AD⊥面

BCM,且 VA—BCM=VD—BCM,所以 VABCD= CM= CD 2 ? DM 2 = 2 ? ( ) =
2 2

1 SΔBCM· AD. 3

1 2

15 .设 N 是 BC 的中点,则 MN⊥BC, 2

MN= CM 2 ? CN 2 =

1 15 11 11 11 ,从而 SΔBCM= × 2× = , ?1 = 2 2 2 2 4

故 VABCD=

1 11 11 × × 1= . 3 2 6

对于对棱相等的四面体,可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方 体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式 V=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 · (a ? b ? c )(b ? c ? a )(c ? a ? b ) , 12

不妨令 a=b=2,c=1,则 V= 题6 答案:(3)5a2. 详解: (1)

14 2 2 · (4 ? 4 ?1)(4 ? 1 ? 4)(1 ? 4 ? 4) = · 7= . 12 12 12

(2)如图,连结 AC、BD,交于 O 点.

∵E 为 AA1 的中点,O 为 AC 的中点. ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线,∴OE∥A1C. ∵OE?平面 A1C1C,A1C?平面 A1C1C,∴OE∥平面 A1C1C. a2 (3)多面体表面共包括 10 个面,SABCD=a2,S A B C D = , 2 1 1 1 1

S

ABA1

=S

=S B BC
1

=S C DC
1

a2 = , ADD1 2 S

AA1 D1

=S

B1 A1 B

=S

C1 B1C

=S

DC1 D1

1 2a 3 2a 3a2 a2 a2 3a2 = × × = ,所以该多面体的表面积 S=a2+ +4× +4× =5a2. 2 2 4 8 2 2 8 题7 答案:见详解. 详解:连接 CD1、AD1,

∵P、Q 分别是 CC1、C1D1 的中点, ∴PQ∥CD1,又 CD1?平面 BPQ,PQ?平面 BPQ,∴CD1∥平面 BPQ. 又 D1Q=AB=1,D1Q∥DC∥AB,∴四边形 ABQD1 是平行四边形,∴AD1∥BQ, 又∵AD1?平面 BPQ,BQ?平面 BPQ,∴AD1∥平面 BPQ. 又 AD1∩ CD1=D1,∴平面 ACD1∥平面 BPQ. ∵AC?平面 ACD1,∴AC∥平面 BPQ.

题8 证明:(1)因为 BM⊥平面 ACE,AE?平面 ACE,所以 BM⊥AE. 因为 AE⊥BE,且 BE∩BM=B, BE、BM?平面 EBC,所以 AE⊥平面 EBC. 因为 BC?平面 EBC,所以 AE⊥BC. (2)法 1:取 DE 中点 H,连接 MH、AH.

因为 BM⊥平面 ACE,EC?平面 ACE,所以 BM⊥EC. 因为 BE=BC,所以 M 为 CE 的中点. 1 所以 MH 为△EDC 的中位线,所以 MH 平行且等于 DC. 2 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 DC 平行且等于 AB. 故 MH 平行且等于 AB.因为 N 为 AB 的中点,所以 MH 平行且等于 AN. 所以四边形 ANMH 为平行四边形,所以 MN∥AH. 因为 MN?平面 ADE,AH?平面 ADE, 所以 MN∥平面 ADE. 法 2:取 EB 的中点 F,连接 MF、NF. 因为 BM⊥平面 ACE,EC?平面 ACE, 所以 BM⊥EC. 因为 BE=BC,所以 M 为 CE 的中点,所以 MF∥BC. 因为 N 为 AB 的中点,所以 NF∥AE, 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 AD∥BC. 所以 MF∥AD. 因为 NF、MF?平面 ADE,AD、AE?平面 ADE, 所以 NF∥平面 ADE,MF∥平面 ADE. 因为 MF∩NF=F,MF、NF?平面 MNF, 所以平面 MNF∥平面 ADE. 因为 MN?平面 MNF, 所以 MN∥平面 ADE. 题9 答案:D. 详解:∵EH∥A1D1,∴EH∥BC,∴EH∥平面 BCC1B1. 又过 EH 的平面 EFGH 与平面 BCC1B1 交于 FG,∴EH∥FG.故 A 成立. B 中,易得四边形 EFGH 为平行四边形,∵BC⊥平面 ABB1A1,∴BC⊥EF, 即 FG⊥EF,∴四边形 EFGH 为矩形.故 B 正确. C 中可将 Ω 看做以 A1EFBA 和 D1DCGH 为上下底面,以 AD 为高的棱柱.故 C 正确.


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