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河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(五)数学(理)试题(扫描版,word版答案)


2013 年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五)

数学(理科)·答案 (1)A (2) C C (8)C

(3)B (9)B

(4)A (10)A

(5)B (11)D

(6)C (12)D

2? ? ? ?4, 7 ? ? (13) ?
10 (15) 3

(14) 12 2 ? 4 13

(16)②③

解: (Ⅰ)由题意得 x ? 200 ? 0.01 ? 2 , y ? 6 ? 200 ? 0.03 , z ? 0.88 ? 0.2 ? 4.4 . …………………………………………………………………………………………………(3 分) 该地区的超速车辆中超速不低于 20%的频率为 0.06 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.12 .………… 分) (5 (Ⅱ)若在第 2,3,4,5 组用分层抽样的方法随机抽取 12 名司机,则在第 2,3,4,5 组 抽取的人数分别是 6,3,2,1.………………………………………………… ……………(7 分) 设任意选取的 3 人超速在 分)

?20%,80%? 之间的人数是 ? ,则 ? ? 2 或 ? ? 3 .……………(9

P ?? ? 2 ? ?
分)

2 1 C11C1 1 C3 3 ? P ?? ? 3? ? 11 ? 3 3 C12 4, C12 4 ,………………………………………… (11

1 3 11 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 4 4 .……………………… ……………………………………(12 分) 所以

解: (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,因为 A1 B ? 平面ABC , A1 B ? 平面 ABB1 A1 ,所以平面

ABB1 A1 ? 平面 ABC ,………………………………………………………………(2 分)
因为平面

ABB1 A1 ? 平 面 A B C? A B AB ? AC , 所 以 AC ? 平 面 ABB1 A1 , 所 以 ,

A C ? B B. 1
…………………………………………………………………………………………………(4 分)

设平面 PAB 的一个法向量为 ,因为 ??? ? ?n1 ? AP ? 0 ?2? x ? ? 4 ? 2? ? y ? 2 z ? 0 ? ? z ? ?? x , ? ? , , ? ??? ? ? y?0 ?n1 ? AB ? 0 即 ?2 y ? 0 ? ? 所以 ? 令 x ?1得 分) 而平面 ABA1 的一个法向量是
| cos? n1 , n2 ? |? n1 ? n2 n1 ? n2 ?

n1 ? ? x, y, z ?

??? ? AP= ? 2?, ? 2?, ? 4 2



??? ? AB ? ? 0,,? 20



n1 ? ?1, , ? ? 0 ?

,…………………………………………………………………(10

n2 ? ?1,0,0 ?
1 ? 2 5 5





1? ?

2

,解得

??

1 2 ,即 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为

32 ?1,, ? .………………………………………………………………… ………… ………(12 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? 2 b (Ⅱ)为了减少计算量,先考察一般性.设曲线 C 的方程是 a ,
? b? k ? ? 0, ? ? a?, 的斜率是 k ,因为 P 是曲线 C 上位于第一象限内的任意 一点,所以

直线

A1 P

…………………………………………………………………………………………………(5 分) 设 P, Q 的坐标分别是

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则直线 A1 P 的方程是 y ? k ? x ? a ? ,



? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ? y ? k ? x ? a? ?

2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 y 得,? a k ? b ? x ? 2a k x ? a (a k ? b ) ? 0 , 消去 ………… 分) (7

? a ? b2 ? a 2 k 2 ? ? x1 ? ? b2 ? a 2 k 2 . ? 2ab2 k ? y1 ? 2 ? b ? a2k 2 解得 ? ……………………………………………………………………(8
分)

? a ? a 2 ? b2k 2 ? ? x2 ? ? a 2 ? b2k 2 . ? 2ab 2 k 1 ? y2 ? 2 ? ? a ? b2k 2 将上式中的 a 换成 ?a ,k 换成 k 得 ? …………………………… 分) (9
? 2 ?1 ? 4k 2 ? ? x1 ? ? 1 ? 4k 2 , ? ? y ? 4k ? 1 1 ? 4k 2 又上式中的 a ? 2, b ? 1 , 代入可解得 ? ? 2?4 ? k 2 ? ? x2 ? ? 4 ? k2 , ? ? y ? 4k ? 2 4 ? k2 ? ………… (10 分)

kPQ ?
所以

y1 ? y2 1 ? 1? ? ?k ? ? x1 ? x2 5 ? k?,
3? ? 1 ? 0, 1 ? kPQ ? ? ??, ? ? ? ? 10 ? .…………………… ? k 在 ? 2 ? 上单调递增, 所以 (12 分)
f ?( x) ? 1 ? a 2x ? a ? ,x ?0 2x 2x .

因为

g ?k ? ? k ?

(21)解: (Ⅰ)

当 a<0 时,

f ?( x ) ? 1?

a ≥0 x ? ? 0, ?? ? 2x 对一切 恒成立,所以 f ( x ) 的单调递增区间是

? 0, ?? ? ,
(m , 1 m ?)? ? 2 ? 2 ) 因 为 f ( x ) 在 区 间 (m , 1 m 上 单 调 递 增 , 所 以
0≤m ?
分)

??? 0,

,所以

1 3 ;……………………………………………………………………………………(3

? 当 a ? 0 时,由 f ( x)>0 得

x>

a a 0 ? x< f ?( x )<0 得, 2 ,由 2 ,所以 f ( x) 的单调递增 区

? a? ?a ? ? 0, ? ? , ?? ? ?2 ? ,单调递减区间是 ? 2 ? ,……………………………………………………(4 间是
分)

a ? ?m≥ 2 ?a ? ? (m,1 ? 2m) ? ? , ?? ? ? m ? 1 ? 2m ?2 ?, 因为 f ( x ) 在区间 (m,1 ? 2m) 上单调递增, 所以 所以 ? ,

a ? ? m≥ 2 ? , ? 1 ?m ? ? 3 …………… ………………………………………………………………………(5 得?
分)

0?a?


2 a 1 2 ≤m ? a≥ 3 时, 2 3 ,当 3 时, m ? ? .……………………………………(6 分)

综 上 , 当 a<0 时 ,

0≤m ?

2 a 1 1 2 0?a? ≤m ? a≥ 3 时, 2 3 ;当 3 ;当 3 时,

m ? ? .………………………………………………………………………………………(7 分)

(22)解: (Ⅰ)? AC ? BD,??ABC ? ?BCD .………………………………………(2 分) 又? EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC, ? ?ACE ? ?BCD .………………………(5 分) (Ⅱ)? EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE ,

?

?

由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC ,……………………………………………………………(7 分)

CD BC ? EB ,∴ BC =3.………………………………………(10 ∴△ BEC ∽△ CBD ,∴ BC
分)

x2 y 2 ? ?1 解: (Ⅰ)椭圆的参数方程化为普通方程,得 25 9 ,
? a ? 5, b ? 3, c ? 4, 则点 F 的坐标 为 (4, 0) .

? 直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 .…………………………………………………………… 分) (4
(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9cos2 ? ? 25sin2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为

t1 , t2

,则

81 81 ? . | FA | ? | FB |?| t1t2 | = 9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? 9 ? 16sin 2 ? ………………………………(8
分) 当 sin ? ? 0 时, | FA | ? | FB | 取最大值 9 ;

81 . | 当 sin ? ? ?1 时, FA | ? | FB | 取最小值 25 …………………………………………… (10 分)



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