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平面几何四个重要定理


第一讲
四个重要定理:

平面几何四个重要定理

梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P、Q、R 共线 的充要条件是 塞瓦(Ceva)定理 △ABC 的三边 BC、 件是 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该

四边形内 接于一圆。 (塞瓦点) CA、AB 上有点 P、Q、R,则 AP、BQ、CR 共点的充要条 。 。

西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三 角形的外接圆上。

例题 1. 过△ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F,交 CB 于 D。

求证:



【分析】 连结并延长 AG 交 BC 于 M, 则 M 为 BC 的中点。

DEG 截△ABM→ (梅氏定理)

DGF 截△ACM→

(梅氏定理)



=

=

=1

2.(95 全国竞赛) 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别交于 E、F、G、H,在弧 EF 和弧 GH 上分 别作⊙O 的切线交 AB、BC、CD、DA 分别于 M、N、P、Q。 求证:MQ//NP。 【分析】由 AB∥CD 知:要证 MQ∥NP,只需证 ∠AMQ=∠CPN, 结合∠A=∠C 知,只需证 △AMQ∽△CPN



,AM·CN=AQ·CP。

连结 AC、 其交点为内切圆心 O。 MN 与⊙O 切于 K, BD, 设 连结 OE、 OK、 OF。 OM、 ON、 记∠ABO=φ , ∠MOK=α ,∠KON=β ,则 ∠EOM=α ,∠FON=β ,∠EOF=2α +2β =180°-2φ 。 ∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β -φ =α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ +α =∠AOE+∠MOE=∠AOM

又∠OCN=∠MAO, ∴△OCN∽△MAO, 于是 ∴AM·CN=AO·CO 同理,AQ·CP=AO·CO。



3.(99 全国竞赛)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC。 证明:连结 BD 交 AC 于 H。对△BCD 用塞瓦定理,可得

因为 AH 是∠BAD 的角平分线,由角平分线定理,

可得

,故



过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I,过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。





所以

,从而 CI=CJ。

又因为 CI//AB,CJ//AD,故∠ACI=π -∠BAC=π -∠DAC=∠ACJ。 因此,△ACI≌△ACJ,从而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC。 4.已知 AB=AD,BC=DC,AC 与 BD 交于 O,过 O 的任意两条直线 EF 和 GH 与四边形 ABCD 的四边 交于 E、F、G、H。连结 GF、EH,分别交 BD 于 M、N。求证:OM=ON。(5 届 CMO) 证明:作△EOH 点。 △E’OH‘,则只需证 E’、M、H‘共线,即 E’H‘、BO、GF 三线共

记∠BOG=α ,∠GOE’=β 。连结 E‘F 交 BO 于 K。只 需证 =1(Ceva 逆定理)。

= = =1

注:筝形:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。 对应于 99 联赛 2:∠E’OB=∠FOB,且 E‘H’、GF、BO 三线共点。求证: ∠GOB=∠H‘OB。 事实上,上述条件是充要条件,且 M 在 OB 延长线上时结论仍然成立。 证明方法为:同一法。 蝴蝶定理:P 是⊙O 的弦 AB 的中点,过 P 点引⊙O 的两弦 CD、EF,连结 DE 交 AB 于 M,连结 CF 交 AB 于 N。求证:MP=NP。 【分析】 GH 为过 P 的直径, 设 F PF‘,PA F’F, 显然‘∈⊙O。 P∈GH, 又 ∴PF’=PF。 ∵PF

PB,∴∠FPN=∠F’PM,PF=PF‘。

又 FF’⊥GH,AN⊥GH,∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180°,∴P、 M、D、F‘四点共圆。 ∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M,PN=PM。 【评注】一般结论为:已知半径 为 R 的⊙O 内一弦 AB 上的一点 P, 过 P 作两条相交弦 CD、 连 CF、 EF, ED 交 AB 于 M、N,已知 OP=r,P 到 AB 中点的距离为 a,则 。(解析法证明:利用二次曲线系知识)

课后练习
1.设四边形 ABCD 外切于一圆,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的切点,若直线 HE 与 GF 相交于 N 点,则直线 BD 必通过点 M.(用梅氏定理证 HE 与 DB 的交点和 GF 与 DB 的交点为同 一点) 2.任意四边形 ABCD 的一组对边 BA 和 CD 交于 M,过 M 作割线交另一组对边所在的直线于 H、 L,交对角线所在直线于 H ? 、 L ? ,求证:
1 MH ? 1 ML ? 1 MH ? ? 1 ML?

(提示:AD、BC 交于 O(平行显然也成立),利用 AO 与△BML、△CML 的梅氏定理) 3.已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。 (提示:过 A 作 BC 的平行线交△ABC 的外接圆于 D,连结 BD。则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。)

4.若正五边形 ABCDE 的边长为 a,对角线长为 b,试证:

b a



a b

=1.

(提示:证 b2=a2+ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)

第二讲

注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图 形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性 质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. A D 例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BP=CQ, A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使 ∠BAP=∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形?试 C B Q P 证明你的结论. 图1 答: 当点 A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明:如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA. 在△DBP=∠AQC 中,显然 ∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C. 由 BP=CQ,可知 △DBP≌△AQC. 有 DP=AC,∠BDP=∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP. 则 A、D、B、P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 AB=DP. 所以 AB=AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆,使证明很顺 畅. 例 2 如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形, E P ∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE. G D 证明:如图 2,分别过点 A、B 作 ED、EC A 的平行线,得交点 P,连 PE. C 由 AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有 B F = PA=ED,PB=EC. 图2 显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE. 由∠BAF=∠BCE,可知 ∠BAF=∠BPE. 有 P、B、A、E 四点共圆. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处

利用“平行线间距离相等”“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某 、 些线段“送”到恰当位置,以证题.

例 3 在△ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线,M、N、 Q 为垂足.求证: PM+PN=PQ. 证明:如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD A N 于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC M P E D 于 K、G,连 PG. F 由 BD 平行∠ABC,可知点 F 到 AB、BC G K C B 两边距离相等.有 KQ=PN. Q 显然,
EP PD



EF FD



CG GD

,可知 PG∥EC.

图3

由 CE 平分∠BCA,知 GP 平分∠FGA.有 PK=PM.于是, PM+PN=PK+KQ=PQ. 这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PM=PK,就有 PM+PN=PQ.证法非常简捷. 3 为了线段比的转化

由于 “平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加 平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例 4 设 M1、M2 是△ABC 的 BC 边上的点,且 BM1=CM2.任作一直线分别交 AB、AC、AM1、AM2 于 P、 Q、N1、N2.试证:
AB AP



AC AQ



AM AN

1 1



AM AN

2 2

.

证明:如图 4,若 PQ∥BC,易证结论成立. 若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E. 由 BM1=CM2,可知 BE+CE=M1E+ M2E,易知
AB AP
AM AN
1 1

A

P N1 B Q N2 D 图4 E



BE DE

,

AC AQ


AM AN

CE DE
2 2

M1 M2 C

,
M 2E DE



M 1E DE

,



.
M 1E ? M 2 E DE



AB AP


AB AP

AC AQ


AC AQ

BE ? CE DE

= +



AM AN

1 1



AM AN

2 2

.

所以,





AM AN

1 1

AM AN

2 2

.

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于是问题迎刃 而解. 例 5 AD 是△ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证:∠FDA=∠EDA. 证明:如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分 Q M P A N 别交直线 DE、DF、BE、CF 于 Q、P、 F K N、M. E 显然,
BD AN



KD KA



DC AM

.
B D 图5 C

有 BD·AM=DC·AN. 由
AP

(1)



AF

= . = .

AM BC

,有 (2)

AP= 由

BD FB BD · AM
AQ



BC AE

AN BC

,有 (3)

DC

AQ=

EC DC · AN BC

对比(1)、(2)、(3)有 AP=AQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分∠PDQ. 所以,∠FDA=∠EDA. 这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式, 就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来. 4 为了线段相等的传递

当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系 传递开去. 例 6 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且∠MDN=90°.如果 BM2+CN2=DM2+DN2,求证:AD2=
1 4

(AB2+AC2).

证明:如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交 ND A 延长线于 E.连 ME. 由 BD=DC,可知 ED=DN.有 M N △BED≌△CND. 于是,BE=NC. C B D 显然,MD 为 EN 的中垂线.有 E EM=MN. 图6 2 2 2 2 2 2 2 由 BM +BE =BM +NC =MD +DN =MN =EM2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE=90°.有 ∠ABC+∠ACB =∠ABC+∠EBC=90°. 于是,∠BAC=90°.
1 ?1 ? 所以,AD = ? BC ? = (AB2+AC2). 4 ?2 ?
2
2

这里,添加 AC 的平行线,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路. 例 7 如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点, C 分别在半圆上取点 E、F,使 EA=DA,FB=DB. E 过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C.求证:CD 平 分 EF. 证明:如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G、H 为垂足,连 FA、EB.易知 A D O G DB2=FB2=AB·HB, 图7 AD2=AE2=AG·AB. 二式相减,得

F

H

B

DB2-AD2=AB·(HB-AG), 或 (DB-AD)·AB=AB·(HB-AG). 于是,DB-AD=HB-AG, 或 DB-HB=AD-AG. 就是 DH=GD. 显然,EG∥CD∥FH. 故 CD 平分 EF. 这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线 EG、 FH,从而得到 G、H 两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有
DM BN

= =

AM
D

A E M B N 图8 C

AN ME
NC ME NC

, 或
DM ME



DM BN





BN NC

.

此式表明,DM=ME 的充要条件是 BN=NC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例 8 如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长 A 后得交点 E、F,对角线 BD∥EF,AC 的延长 线交 EF 于 G.求证:EG=GF. B 证明:如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、 M AF 于 M、N.由 BD∥EF,可知 MN∥BD.易知 C E G S△BEF=S△DEF. 图9 有 S△BEC=S△ⅡKG- *5ⅡDFC. 可得 MC=CN. 所以,EG=GF. 例 9 如图 10,⊙O 是△ABC 的边 BC 外的旁 A 切圆,D、E、F 分别为⊙O 与 BC、CA、AB 的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证:AK 平 B 分 BC. F Q 证明:如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别 K 交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、 OE、OF. O 由 OD⊥BC,可知 OK⊥PQ. 图 10 由 OF⊥AB,可知 O、K、F、Q 四点共圆,有 ∠FOQ=∠FKQ. 由 OE⊥AC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有 ∠EOP=∠EKP. 显然,∠FKQ=∠EKP,可知 ∠FOQ=∠EOP. 由 OF=OE,可知 Rt△OFQ≌Rt△OEP. 则 OQ=OP.

D N F

C P E

于是,OK 为 PQ 的中垂线,故 QK=KP. 所以,AK 平分 BC. 综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平 行线在平面几何证题中发挥应有的作用.

练 习 题
1. 四边形 ABCD 中,AB=CD,M、N 分别为 AD、BC 的中点,延长 BA 交直线 NM 于 E,延长 CD 交直线 NM 于 F.求证:∠BEN=∠CFN. (提示:设 P 为 AC 的中点,易证 PM=PN.) 2. 设 P 为△ABC 边 BC 上一点,且 PC=2PB.已知∠ABC=45°,∠APC=60°.求∠ACB. (提示:过点 C 作 PA 的平行线交 BA 延长线于点 D.易证△ACD∽△PBA.答:75°) 3. 六边开 ABCDEF 的各角相等,FA=AB=BC,∠EBD=60°,S△EBD=60cm2.求六边形 ABCDEF 的面 积. (提示: EF、 分别交直线 AB 于 P、 设 DC Q,过点 E 作 DC 的平行线交 AB 于点 M.所求面积与 EMQD 面积相等.答:120cm2) 4. AD 为 Rt△ABC 的斜边 BC 上的高,P 是 AD 的中点,连 BP 并延长交 AC 于 E.已知 AC:AB=k.求 AE:EC. (提示:过点 A 作 BC 的平行线交 BE 延长线于点 F.设 BC=1,有 AD=k,DC=k2.答:
1 1? k
2

)

5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD⊥AB 于 D,E 为 DB 上一点,过 D 作 CE 的垂线交 CB 于 F.求证:
AD DE



CF FB

.

(提示:过点 F 作 AB 的平行线交 CE 于点 H.H 为△CDF 的垂心.) 6. 在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=4:2:1,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c.求证:
1 a



1 b



1 c

.

(提示:在 BC 上取一点 D,使 AD=AB.分别过点 B、C 作 AD 的平行线交直线 CA、BA 于点 E、F.) 7. 分别以△ABC 的边 AC 和 BC 为一边在△ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG,点 P 是 EF 的中点.求证: P 点到边 AB 的距离是 AB 的一半. 8. △ABC 的内切圆分别切 BC、CA、AB 于点 D、E、F,过点 F 作 BC 的平行线分别交直线 DA、DE 于 点 H、G.求证:FH=HG. (提示:过点 A 作 BC 的平行线分别交直线 DE、DF 于点 M、N.) 9. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交 AB、AC 于点 M、N.求证:OM =ON. (提示:过点 C 作 PM 的平行线分别交 AB、AD 于点 E、F.过 O 作 BP 的垂线,G 为垂足.AB∥GF.)


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