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2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案


全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ?10 ? 0}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ?1} . 当 A B ? ? 时, 实数 m 的取值范围是( ) . (A) . 2 ? m ? 4 (B). m ? 2 或 m ? 4 (C). ? ? m ? 4<

br />1 2

(D). m ? ? 或 m ? 4

1 2

2.过原点的直线 l 交双曲线 xy ? ?2 2 于 P、Q 两点,其中点 P 在第二 象限,将下半平面沿 x 轴折起使之与上半平面成直二面角,线段 PQ 的最短长度是( ) . (A) . 2 2 (B). 3 2 (C). 4 2 (D).4 3.设 a, b, c 均为非零复数,令 w ? ? ?
1 2
a b c a?b?c 3 的 i ,若 ? ? ,则 b c a a ?b?c 2

值为( ) . (A) . 1 (B). ? w (C). 1, w, w2 (D). 1, ?w, w2 4 . 设 f ( x) 是 (0, ??) 上 的 单 调 函 数 , 且 对 任 意 x ? ( 0 ,? ? ) ,都有 ' f [ f ( x) ? lo 6 若 x0 是 方 程 f ( x) ? f ( x) ? 4 的 一 个 解 , 且 2 g x? ] . ) . x0 ? (a ?1, a)(a ? N * ) ,则 a 的值为( (A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D).4 5.内直径为
4 3 ? 2 ,高为 20 的圆柱形容器中最多可以放入直径为 2 3

的小球的个数是( ) . (A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D).39 6 . 已 知 实 数 x , y 满 足 17( x2 ? y 2 ) ? 30xy ?16 ? 0 . 则 16 x 2 ? 4 y 2 ? 16 xy ? 12 x ? 6 y ? 9 的最大值是( ) . (A) . 7 (B). 29 (C). 19 (D).3 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.若 2a ? 2b ? 2a?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a?b?c ,则 2c 的最大值是 . 8. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 则异面直线 A1D 与 B1D1 AB ? AA1 ? 4, AD ? 3 , 的距离为 .
x2 y 2 3 9.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,斜率为 1 且过点 M (b,0) 的 a b 2 32 直线与椭圆交于 A、 B 两点. 设 O 为坐标原点, 若 OA ? OB ? cot ?AOB , 5

则该椭圆的方程是 . 10.将 11 个完全一样的小球放入 6 个不相同的盒子中,使得至多有
1/7

3 个空盒子的放法有 11.已知函数 f ( x) ? ?
x

种.

设方程 f ( x) ? x 在区间 (0, n ] 内所有 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0, 1 实根的和为 Sn ,则数列{ }的前 n 项和= . Sn 2a 12 .数列 { an } 中, an ? 2an?1 ? n?1 ? n ? 1(n ? 2),则此数列的通项公式 n . an = 三.解答题 13 . 设 关 于 x 的 方 程 x2 ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 实 根 ? , ? ( ?? ?), 函 数
2x ? m . x2 ? 1 (1)求 ? f (? ) ? ? f ( ? ) 的值; f ( x) ?

?2 ? 1, x ? 0,

(2)判断 f ( x) 在区间 (? , ? ) 的单调性,并加以证明; (3)若 ? , ? 均为正实数,证明: | f (
?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . ??? ???

2 14.已知数列{ an }满足 a1 ? 3, an?1 ? an . ? nan ? ?(n ? N ? , ? 为实数) (1)若 an ? 2n 恒成立,求 ? 的取值范围;

(2)若 ? =-2,求证:

1 1 ? ? a1 ? 2 a2 ? 2

?

1 ?2. an ? 2

2/7

15.如图, 锐角△ABC 中, AB<AC,且点 D 和 E 在边 BC 上, 满足 BD=CE. 若在△ABC 内存在点 P 满足 PD||AE 且∠PAB=∠EAC, 证明: ∠PBA=∠PCA.
A

P

G

B

D

E

F

C

3/7

16.设点 P 为圆 C1:x2 ? y 2 ? 2 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足 为 Q.点满足 2 ? MQ ? PQ . (1)求点 M 的轨迹的方程; (2)过直线 x ? 2 上的点 T 作圆 C2 的两条切线,设切点分别为 A、B, 若直线 AB 与(1)中的曲线 C2 交于两点 C、D,求
| CD | 的取值范围. | AB |

y P
M

A
C
O

T
x

Q

D

B

4/7

参考答案:
1. (B). 2. (D).3. (C).4. (B).5. (C) 6. (A) .

x2 y2 4 6 34 ? ? 1. . 8. . 9. 3 16 4 17 2n 11. . 12. an ? (n ? 1)(2n?1 ?1) . n ?1
7.

10. 4212 .

13. 解: (Ⅰ)∵ ? , ? 是方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两个根, ∴ f (? ) ?

∴ ? ? ? ? m, ?? ? ?1 ,

2? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? 1 , ? ? ? 2 2 ? ?1 ? ? ?? ? (? ? ? ) ? ∴ ? f (? ) ? 1 , 同理可得 ? f ( ? ) ? 1 ∴ ? f (? ) ? ? f (? ) ? 2 ,
(Ⅱ)∵ f ?( x) ? ?
2

……………… (5 分)

2( x ? mx ? 1) 2( x ? ? )( x ? ? ) , ?? 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1)2 当 x ? (? , ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上单调递增. ………………………(10 分) ?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?0, ?? ? ? 0, (Ⅲ)∵ ??? ??? ??? ??? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ) ? f (? ) , ∴? ? ∴由(Ⅱ)可知, f (? ) ? f ( ??? ??? ?? ? ?? ) ? f (? ) , 同理 f (? ) ? f ( ??? ?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | , ……………………………(15 分) ∴| f ( ??? ??? 1 1 由(Ⅰ)可知, f (? ) ? , f ( ? ) ? , ?? ? ?1 , ? ? 1 1 ? ?? |?| ? ? ? | , ∴ | f (? ) ? f ( ? ) |?| ? |?| ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . ∴| f ( ……………………(20 分) ??? ??? 14. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,由 a2 ? 6 ? ? ? 2 ? 2 得 ? ? ?2 , 即 an ? 2n 时, ? ? ?2 . …………………………(5 分) 下面证明当 ? ? ?2 时, an ? 2n . 当 n ? 2 时, a2 ? 2 ? 2 成立;设当 n ? k (k ? 2) 时, ak ? 2k 成立;则当 n ? k ? 1 时,
2 ak ?1 ? ak ? kak ? ? ? ak (ak ? k ) ? ? ? 2k 2 ? 2 ? 2 ? k ?1? (k ?1) ? 2 ? k ?1? ,

故对所有 n ? 2 , an ? 2n 成立.
* 当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 2 ?1 成立, 故对所有 n ? N , an ? 2n 成立.

综上, ? 的取值范围是 ? ? ?2 . ……………………………(10 分) 2 (Ⅱ)当 ? ? ?2 时, an?1 ? 2 ? an ? nan ? 4 ? nan ? 4 ? 2?an ? 2? ? 0 ( n ? 2 ) ,
5/7

?

1 1 1 1 1 1 , …………………(15 分) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n?1 ? ? n?1 ( n ? 3 ) a n ? 2 2 a n?1 ? 2 a1 ? 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2 . ……………(20 分) ? ? ? 2 2 2 2 a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

A
15.证明:如图,作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP , 则 AC ? FB , ?ACE ? ?FBD ,又 BD ? CE , 故 ?AEC ? ?FDB , ………………………(5 分) ?BDF ? ?AEC ,所以 FD / / AE , 又 PD / / AE ,则 P 、 D 、 F 三点共线. ……(10 分) 因此, ?BFP ? ?BFD ? ?EAC ? ?BAP ? ?BGP , 故 B 、 G 、 F 、 P 四点共圆, ?FBG ? ?FPG ? ?BAP ? ?EAP ? ?CAP 又由于 AP ? BG, AC ? BF ,故 ?APC ? ?BGF ,……(20 分) 故 ?ABP ? ?BPG ? ?BFG ? ?ACP . ……(25 分)

P

G

B

D

E

F

C

16.解:(Ⅰ)设点 M ( x,y ) ,由 2 ? MQ ? PQ ,得 P( x, 2 y) , 由于点 P 在 C1:x 所以 x
2
2

? y 2 ? 2 上,

x2 ? y 2 ? 1. ………………(5 分) 2 (Ⅱ)设点 T (2,t ) , A( x1? , y1? ),B( x2? ,y2? ) ,则 AT , BT 的方程为

? 2 y 2 ? 2 ,即 M 的轨迹方程为

x1? x ? y1? y ? 2 , x2? x ? y2? y ? 2 , 又点 T (2, t ) 在 AT 、 BT 上,则有:

2 x1? ? ty1? ? 2 ①, 2 x2? ? ty2? ? 2 ②, 由①、②知 AB 的方程为: 2 x ? ty ? 2 ,
设点 C( x1,y1 ),D( x2 ,y2 ) ,则圆心 O 到 AB 的距离 d ?
2 2

……………………(10 分)

2 4 ? t2

,则

2t 2 ? 4 | AB |? 2 r ? d ? 2 2 ; ……………………(15 分) t ?4 ?2 x ? ty ? 2 ? 2 2 又由 ? x 2 ,得 (t ? 8) y ? 4ty ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 2 4t ?4 t2 2 2 t ?4? 2 t ?8 | y1 ? y2 |? 于是 y1 ? y2 ? 2 ,y1 y2 ? 2 , ∴ | CD |? 1 ? , 2 t ?8 t ?8 4 t ?8

6/7

| AB | (t 2 ? 8) t 2 ? 2 ? 于是 , | CD | (t 2 ? 4) t 2 ? 4


t2 ? 4 ? s
3


2



s?4







| AB | s ? 6s ? 32 6 32 ? ? 1? ? 3 , 3 | CD | s s s 1 1 | AB | ? 1 ? 6m ? 32m3 ,……………………(20 分) 设 ? m,m ? (0, ] ,于是 s 4 | CD | 1 3 2 设 f (m) ? 1 ? 6m ? 32m , f ?(m) ? 6 ? 96m ,令 f ?(m) ? 0 ,得 m ? ., 4


f ( m) 在 (0, ] 上单调递增,故 f (m) ? (1, 2] .,即

1 4

? 2 ? | CD | ,1? 的范围为 ? ?. 2 | AB | ? ?

…………………………………………(25 分)

7/7


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