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斜率乘积为定值的点的轨迹


第 2朝 

高 中数学教 与学  

斜 率 乘 积 力 定值 的 点 的 轲 i 迹 
匡莹萍   孔令辉  

( 江苏 省扬 州市 田家炳 中学 , 2 2 5 0 0 0 )  ( 江苏 省扬 州 中学 , 2 2 5 0 0 2 )  

为切实实施 素质 教 育 , 改革 教学

与学 习  的方式与方法 , 变教教 材为用 教材 , 有机 地开 

轨迹是什么 呢? ( 2 ) 更 一般地 , 到两个定点  ,  

C的斜 率乘积是定值 m 的点 A的轨迹 又是什 
么?  

展校本课程 , 新课 标倡 导研究 性学 习 , 旨在 培  养探索精神和用数学 的意识. 教材 的例题 、 习  
题都是经 过精心 挑选 的 , 如何 发挥 教材例题 、   习题的内在潜 力 , 是 新形 势 下一 线 教 师和 广  大学生面临 的新 的研 究性 课 题. 本 文通 过 一  道课本习题的探 索性思 考 , 抛 砖引 玉 , 期望 对  大家的学习有所 启发.  

我们先来解决一般 的问题 : 以直线 B C为  轴, 线段 B C的 中点 0为原点建 立直角 坐标 
系, 设 B ( 一n , 0 ) , C ( n , 0 ) .  





k  

k   c:  

’ .  

‘  

: m,  

即  m x  一Y  =m n   , 其 中(   ≠±n ) .   对参数 m分类讨论 :   ( 1 ) m =0 时, Y=0 , (  ≠" 1 - n ) , 轨迹是一  条直线( 除去两个点) .  

苏教版选修 2—1 《 圆锥 曲线》习题 2 . 3 . 1  
中习题 5 : 在Z X A B C中, B ( 一6 , 0 ) , C ( 6 , 0 ) , 直 
0 

线A B . 4 C的斜率乘积为W  - , 求顶点 A的轨迹.  
‘+  

( 2 ) H   <0时 , ① 若 m =一1 , 贝 0   + Y  =   n   (   ≠±n ) , 轨迹 是一个 圆( 除去两个点 ) ; ② 
若"   <一1 , 则 一 l " f t l ' t  >n  >0 , 方程 可化为- -   T  
l t "  
2  

该题如果视为轨迹问题的巩固性 练习, 其 
解答是比较容易 的. 但如果是从研究性角度思 

考、 探索 , 其潜 力却是巨大的 , 兹探索如下.  




将 条 件 一 般化 , 提 出 问题 
0 

+  

=1 (   ≠±n ) , 轨迹是焦点在 Y 轴上 

( 1 ) 如果把斜率乘积改为 一 ÷, 顶点A的  
?

●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●…

- ●… ? ●… ? ●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●…

- ●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? .- …

●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●… ? ● 一 

同样 ,  

) 知X 2 +  

>0 .  

零点 ;  

( 2 )当Y o=  : 时, 函数 Y:  


) ) 只有 

所以 , 无论 方程 ① 是否有解 , 方程 ② 总 
有两 个 不 相 等 的 实 数 解 ,因 而 函 数 , =   - 厂 (   ) ) 至少有两 个 零 点 , 最 多有 三个 零 点 ,   故函数 Y=_ 厂 ( _ 厂 (  ) )的零点个数是 2或 3 .  

个零 点 ;  

( 3 )当  。 <Y o<   时, 函数 Y=  
有 2个零点 ;  

) )  

( 4 )当Y 。=  , 时, 函数 Y= 八_ 厂 (  ) )有 3  
个零点 ;  

类 似上面的求解过程 , 对方程 ③ 、 ④ 进一  步讨论 , 可 以得 出一般结论 :  
如 果 函数  ) =a x   +   +c (   ∈R ) ( a  

( 5 )当 Y o<  。 时, 函数 Y=, (   ) ) 有4  
个零点.  

>0 )的零 点 为  ,   : (   <   ) , 最 小 值 为 

Y o ( 显然 Y o<0 ) , 那么 , 函数 Y= 凡厂 (  ) ) 的零  点个数由 Y   确定 :   ( 1 )当Y 。>  : 时, 函数 Y=厂 ( . 厂 (  ) ) 没有 



本 文开始 的高 一联 考 试题 中, Y o∈ [   。 ,   ) , 根 据这个 结论 , 函数 Y=   ) )的零点 

有 2个或 3个 , 故选 A .  
47 ?  

?

高中教学教 与学  
的椭圆( 除去 两个点 ) ; ③ 若 一1<m <0 , 则  轨迹 是焦点在 轴 上的椭 圆 


2 0 1 3 焦 

,   >一 r ol l 。> 0

率 乘 积 等 于 定 值一 V “ 0   - ( 、  0 或 尝 一   /   勺 充 要 条 件 是 :  
E, F, 0三点共线.  
证 明  必 要 性 : 由 F, F, 0 蔓点 共 线 , 得 

( 除去两个点 ) .  
( 3 ) , n>0 时, 方 程 可 化 为  一  
m n 

:l (  

是直径 , 上 面已经证 明.   充分性 : 设连 结 E、 0的线段 交椭 圆 于 F   点, 则E F   为直径. 由必要性知道直线 P E , P F  

≠±n ) , 轨迹 是双曲线 ( 除 去两个点 ) .   由此不难看出 , 问题 ( 1 )的轨迹是焦点在 
Y 轴 上的 椭 圆 .  

二、 逆 向思考 。 拓展探 索 

的 斜 率 乘 积 等 于 定 值一  ( 或 紊 ) , 而 直 线  
P E , P F 的 斜 率 乘 积 也 等 于 定 值一  ( 或   ) ,  
故 由同一法 町得 F 与F   重合 , 所 以  , F, 0三  点共线.   作为该结论 的应用 , 我们再看如 下例题 :  

我们 已 经 知 道 斜 率 为定 值 的 点 的轨 迹 

了, 进一步思考逆问题: 椭圆  . + 告 =1 ( a>  
b>0 ) 上任一动点 P ( x , y ) 到长轴 的两个顶点  A , ( 一n , 0 ) , A   ( n , 0 )的斜 率乘积 等于多少? 到  短轴的两 个顶点 曰   ( 0 ,一b ) , B   ( 0 , b )的斜率  乘积呢? 到椭 圆任 意一条直径 ( 过椭 圆中心的  弦 )的两 个端点的斜率 乘积等 于多少 ?   我们只需 解决 最 后这 个 一 般 性 的 问题.  

设A   、 A   是椭圆 x _ v   + 告 =1 ( n>b > o )  
长轴的网个端点 , P   P   是垂直 于 A . A 。 的弦 , 求  直线 A 。 P , 与直线 A   P : 的交点 P的轨迹方程.  
解  设 A   ( 一0 , 0 ) ,   4   ( n , 0 ) , J i [ ) (  , y ) .  

设椭圆  u + 告= l ( n > b > 0 ) 的 任意一条直 
径为 E F . 因为 E F是直径 , 所 以点  、   ’ 关于 原 

P   ( %, Y o ) , 则P : (   ¨~  ) , k  

’ 

_=‰  

点 0对称. 设 (   。 , Y o ) , 则F ( 一   。 , 一 Y o ) . 由点 
E、 P在 椭 圆 上 , 得 

且直线 A   P   : ,  = 一   一(   +Ⅱ ) , 直 线 
. .

十 n 

A z J P   : ) 一 
)   2  

(   一“ ) ? 两式相乘 , 得 
2  
. .

萼+ 鲁: l ,  + 菩: 1 .  


o   _- Y
0 一

两式相减并整理 , 得 
, l o—Y   Y一 ( ~  o )  
0 一  - _

i (   一n   ) 。  

“ 

b  

5 4? . 一X

( 一  0 )  
L 2  

n   ’  
‘  ?

0 

i o + 鲁:  ?   一 了   …  :  ,  
0   一 n  0 

即  

k  ? k   =一  ‘ ( 定 值) .  
Ⅱ 

f l   l



) (  
r. ~


) = 。 = ( 一   b z ) ,  
  =  .

类 似地 , 我们不难得到 : 双 曲线  一   i   2 =


而 

一 k   同号 , ? ? ?  

由l | ‘ 面 结 

1     b     P   ( 0 >0 , >0 )上任意一点  到 双曲线直 径 

( 过双 曲线 中心的弦)的两个端点 的斜率乘积 
L2  

论得点P 轨迹为双曲 线, 方程为   T一 告 =1 .  
中学数 学研 究性 学 习, 旨在 培 养探 索精 
神和用数学 的意识 , 要求 大 家学 会 提 出问题 

为定值  .  
n 

进 一步研究 , 还可发现如下 的结论 :  

和明确探究方 向, 体验 数学 活动 的过程 , 培 养  创新精神和 应用 能力. 只要 我们 大 家齐 心 协  力, 共 同努力 , 就 …定 会把素 质教 育推 向一个 
更加全面 、 稳定 、 和谐的新阶段.  

结论  若点E , F , P 是椭圆  + 告: l ( n  
>b > 0 ) 或双曲 线  一 告= 1 ( n > 0 , b > 0 )  
上的点 , 点 0是坐标原点 , 则直线 P E, P F ’ 的斜 
?

4 8?  


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