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高一数学-2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一数学试题
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案填在答题卡相应的位置上 ) ......... 1.已知集合 A ? ?0,1, 2? , B ? ??2, 0, 2? ,则 A ? B =▲. 2.式子 3 a a 用分数指数幂表示为▲. 3. 函数 f ( x) ? a 4.函数 f

( x) ?
x ?1

? 3(a ? 0, a ? 1) 的图象一定过定点 P ,则 P 点的坐标是▲.

x ?1 的定义域为▲.
?2 x , x ? 0 ,若 f (a ) ? ?2 ,则 a 的值为▲. ?x ?1 , x ? 0

5. 已知函数 f ( x) ? ? 6. 若函数 f ( x) ?

x ?1 ? a 为奇函数,则实数 a 的值是▲. x
2

7. 函数 f ( x) ? ( )1? 2 x ? x 的值域是▲. 8. 已知 a ? 2
? 1 3

1 2

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则 a, b, c 的大小关系是▲. 3 2 3
x

9.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数), 则 f (?1) =▲. 10. 设 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,则 log5 12 ? ▲(结果用 a , b 表示) . 11.下列两个对应中是集合 A 到集合 B 的函数的有▲. (1)设 A ={1,2,3,4}, B ={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x ? 2x ? 1 ; (2)设 A ? {0,1,2} , B ? {?1,0,1,2} ,对应法则 f : x ? y ? 2 x ? 1; (3)设 A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x 除以 2 所得的余数; (4) A ? B ? R ,对应法则 f : x ? y ? ? x . 12.已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 4 在 ? ??,1? 是减函数,则实数 a 的取值范围是▲.
2

?a x ( x ? 0), 13. 函数 f ( x) ? ? 满足 [ f ?x1 ? ? f ?x2 ?](x1 ? x2 ) ? 0 对任意定义域中 ?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0).
的 x1 , x2 成立,则实数 a 的取值范围是▲.

1

14.已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ?
2

, x ? 2.

,函数 g ? x? ? b ? f ? 2 ? x? ,其中 b ? R ,若函数

y ? f ? x? ? g ? x? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是▲.
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域 内作答,解答时应写出文 ...... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知全集 U ? R ,若集合 A ? {x | 3 ? x ? 10}, B ? {x | 2 ? x ? 7} ,则(结果用 区间表示) (1)求 A ? B, A ? B, (CU A) ? (CU B) ; (2) 若集合 C ? {x | x ? a}, A ? C ,求 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 计算:(1) 27 ? ( 2 ?1)2 ? 2log2 3 ? ? log 2 3? ;
0 2 3

(2) (lg 5) ?
2

2 lg 5 ? lg 8 ? (lg 2) 2 . 3

2

17.(本小题满分 14 分) 已知奇函数 y ? f ( x) 的定义域是 [?4, 4] ,当 ?4 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的值域; (3)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

18. (本小题满分 16 分) 销售甲、乙两种商品所得利润分别是 y1 , y2 万元,它们与投入资金 x 万元的关系分别为 , 函数 y1 , y2 对应的曲线 C1 , C2 如图所示. y1 ? m x ?1 ? a, y2 ? bx(其中 m, a, b 都为常数) (1)求函数 y1 , y2 的解析式; (2)若该商场一共投资 8 万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.

y

8 5

C2 C1

O

8

x

3

19.(本小题满分 16 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

1 ? 3x a ? 3x ?1

(1)若 a ? 1 ,求证函数 f ( x) 不是奇函数; (2)若此函数是奇函数, ①判断并证明函数 f ( x) 的单调性; ②对任意的正数 x ,不等式 f [m(log3 x)2 ?1] ? f [?m(log3 x) ? 2] ? 0 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 若在定义域内存在实数 x0 , 使得 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数有 “飘移点”x0 . (1)函数 f ? x ? ?

1 是否有“飘移点”?请说明理由; x
2 x

1? 上有“飘移点” (2)证明函数 f ? x ? ? x ? 2 在 ? 0, ;
(3)若函数 f ? x ? ? lg ?

? a ? ,求实数 a 的取值范围. ? 在 ? 0, ?? ? 上有“飘移点” 2 ? x ?1?

4

高一数学试题参考答案
1

1.{0,2}

2 2. a

3.(1,4)

4. {x | x ? 1}

5.-3

6. ?1

1 [ , ??) 7. 4
12. ?

8.

c?a?b

9. ?3

2a ? b 10. 1 ? a

11.(1) (3)

0,1?

13.

1 (0, ] 4
得 f (2 ? x ) ? ?

14:由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , 0? x ? 2, ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 0? x?2 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x) ? f (2 ? x) ? b ? 0 有 4 个不同的解, 即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x) ? f (2 ? x) 的图象
的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b? 2. 4
8 6 4 2

15

10

5 2 4 6 8
5

5

10

15

考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合. 15.解(1)∵ B ? {x | 2 ? x ? 7} , A ? {x | 3 ? x ? 10}, , ∴ A? B ? x 3 ? x ? 7

? , A ? B ? ? x 2 ? x ? 10? (CU A) ? (CU B) ? (??,3) ? ?10, ???
a 的取值范围是 ?a a ? 3?
2 3 3

?

(2)∵ C ? {x | x ? a},

A ? C , A ? {x | 3 ? x ? 10}, ∴ a ? 3

16.解:(1)原式=(3 ) —( 2 ? 1 )+3+1=14- 2 (2)原式= (lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2=(lg2+lg5)2=1
2 ? ?- x -2x (?4 ? x ? 0) ;??????????5 分 2 ? ? x -2x (0 ? x ? 4)

17.解:(1)函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ?

(2)函数 f ( x ) 的值域为 [?8,8] ;????????????????12 分 (3)函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [?4, ?1]和 [1, 4] .?????????16

?m ? a ? 0 4 4 ? 18.解: (1)由题意 ? 8 ,解得 m ? , a ? ? , 5 5 3m ? a ? ? 5 ?
4 4 x ? 1 ? , ( x ? 0) ??????????????????4 分 5 5 8 1 又由题意 8b ? 得 b ? 5 5 1 y2 ? x ( x ? 0) ?????????????????7 分 5 (2)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入( 8 ? x )万元 4 4 1 由(1)得 y ? x ? 1 ? ? (8 ? x) , (0 ? x ? 8) ?????????10 分 5 5 5 y1 ?
令 x ? 1 ? t,(1 ? t ? 3) ,则有

1 4 9 1 13 y ? ? t 2 ? t ? = ? (t ? 2) 2 ? , (1 ? t ? 3) , 5 5 5 5 5 13 当 t ? 2 即 x ? 3 时, y 取最大值 . 5 13 答:该商场所获利润的最大值为 万元.????????????16 分 5

19.解: (1) a ? 1 时, ( f x)=

1 1 1 ? 3x f -1)= , ( f 1)=,( x ?1 3 5 1? 3
6

? f ( x) 不是奇函数(定义证明也可以)???????(4 分) (2)① f ( x) 为奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) 1 1- x 3x ? 1 3x ? 1 3 ( f -x)= 1? x ? ? ?( f x)= x ?1 3 ? a 3 ? a ? 3x 3 ? a ,所以 a=3?????(8 分)

( f x)=

1 ? 3x ?(3x ? 1) ? 2 1 2 1 ? ?? ? ? x x ?1 x 3 ?3 3(3 ? 1) 3 3 3 ?1

所以, y ? f ( x) 是 R 上的减函数。 因为x ? R, y ? 3x ? 0且是R上的单调增函数 , 接下来用定义法证明???????(12 分) ② 令t=log x(x ? R ? ),则t ? R , ?原不等式化为f (mt 2 +1)? -f(-mt-2) t ? R 恒 3 成立 又 f (? x) ? - ( f x),?不等式化为f (mt 2 +1)? f(mt+2), t ? R 恒成立。

?不等式化为:mt 2 ?1 ? mt ? 2, m ? R恒成立,

即mt 2 -mt -1 ? 0, m ? R恒成立,
讨论:①m=0 满足条件。

m?0 ? ? m ?(-4,0) ? ? ? m2 ? 4m ? 0 ②?
总之:m ? ? -4,0 ?
(没有考虑 m=0 :扣 1 分)????(16 分)

20.(1)假设函数 f ( x) ?

1 1 1 有“飘移点” x0 ,则 ? ? 1 即 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 由此方程 x0 ? 1 x0 x
1 没有飘移点。 x
???????? (4 分)

无实根,矛盾,所以函数 f ( x) ?

(2)令 h( x) ? f ( x ?1) ? f ( x) ? f (1) ? 2(2 x?1 ? x ?1) 又 h(0) ? ?1, h(1) ? 2,? h(0)h(1) ? 0

即函数f ( x)=2 ? x 有“飘移点”???9 分 所以 h( x)=0在 ? 0,1? 上至少有一实根x0 ,
x 2

(3) 若f ( x)=1g ?

? a ? ? 在 ? 0, ?? ? 上有飘移点 x0 ,即有 2 ? x ?1?
a
2

1g

? a ? a a a a ? 1g ? 2 ? 2 ? ? ? 1g 成立,即 2 2 2 ? x0 ? 1? ? 1 ? x0 ? 1 ? ? x0 ? 1? ? 1 x0 ? 1 2
7

整理得 ? 2 ? a ? x0 ? 2ax0 ? 2 ? 2a ? 0 ,从而关于 x的方程
2

g ( x) ? (2 ? a) x2 ? 2ax ? 2 ? 2a ? 0 在 (0, ??) 上应有实数根 x0 ,
1 ,不符合要求 x0 ? 0 , 2 a 当 0 ? a ? 2 时,由于函数 g ( x) 的对称轴 x ? ? 0, 2?a
当 a ? 2 时,方程的根为 ? 可知,只需要 4a2 ? 4(2 ? a)(2 ? 2a) ? 0 所以 3 ? 5 ? a ? 3 ? 5 ,从而 3 ? 5 ? a ? 2 当 a ? 2 时,由于函数 g ( x) 的图像开口向下,对称轴 x ? 时方程无正根 综上,所以 a 的取值范围是 3 ? 5 ? a ? 2 ?????????16 分

a ? 0 ,纵截距 2 ? 2a ? 0 ,此 2?a

8


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