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江西省上饶市铅山一中 横峰中学 弋阳一中 德兴一中2015-2016学年高一上学期四校第三次联考数学试题


2015-2016 学年度上学期四校联考(第三次月考) 高一数学(直升班) 命题:德兴一中 雷大放 考试时间:120 分钟 审题:德兴一中 王 春 满分:150 分

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1.已知集合 A={1,3,4,5},B={(x,y)| x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合 B 的真子集个 数为( ) A.

3 B.7 C.15 D.31 ( )

2. 已知函数 f ( x) ? A. ? 2,3?

x ? 2 ? lg(3 ? x) ,则 f ( x) 的定义域为
B. ? 2,3? ) C. {x ? 2} D. ?2?

3.下列命题中,错误的是(

A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两条直线不一定平行 C.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D.若直线 l 不平行于平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线 4. 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz 中 的 坐 标 分 别 是 (2,0,2),(2,2,0),(0,2,2),(1,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以 zOx 平面为投影面, 则得到主视图可以为 ( )

5.x 为实数,表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=]在(-1,1)上( A.是奇函数
2 2

)

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.是增函数

6.若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点,到直线 l : y ? x ? b 的距离为

2 2 ,则 b 取值范围为(
A. (?2, 2)

) B. [?2, 2] C. [0, 2] D. [?2, 2)

? ?log3x?x>0?, 7. 已知函数 f(x)=? 2 ?-x -4x?x≤0 ?, ?

此函数图像上的两个不同点关于原点对称的

情况一共有(

)

A.0 种 8. 定 义 在

B.1 种 上的函数 ,则

C.2 种 满足 ( ) C.

D.3 种 且 时,

A.

B.

D.

9.棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,过 C、M、D1 作正方体的截面, 则截面的面积是 ( A.16 B.18 ) C. 4 10 D. 5 10

10.若动点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 分别在直线 l1:x+y-10=0 和 l2:x+y-6=0 上移动, 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为( A. B.
2

). D.
2 2

C.
2

11. 已知圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9 , M 、 N 分别是 圆 C1 、 C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17 ( )

12. 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都有 x+k∈D,且 f(x +k)>f(x)恒成立, 则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时,f(x)=|x-a|-2a,若 f(x)为 R 上的“2 015 型增函数”,则实数 a 的取值范 围是( A. ? ??, )

? ?

2015 ? ? 4 ?

B. ?

? 2015 ? , ?? ? ? 4 ?

C. ? ??,

? ?

2015 ? ? 6 ?

D. ?

? 2015 ? , ?? ? ? 6 ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 两两垂直,且 AB=BC=CD=2.则它的外接球的表面积为 ________. 14.已知关于 x 的方程 x -|x|+a-1=0 有四个不同的实数解,则实数 a 的取值范围为
2

________________.

15.两圆(x-1) +(y+5) =50 与(x+1) +(y+1) =10 的公共弦所在的直线方程是 ________. 16.已知 f(x)=m(x-2m) (x+m+3) ,g(x)=2 -2.若任意 x ? R ,f(x)<0 或 g(x)
x

2

2

2

2

<0,则 m 的取值范围是_________.

三、解答题:解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 70 分) 17. ( 本小题满分 10 分)已知全集 R,集合 A ? {x | (1)求 A ? B 和 CR A ? B ; (2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A .

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0}. 3

18.(本小题满分 12 分)根据下列条件,分别求直线方程: . (1)求经过直线 x-y-1=0 与 2x+y-2=0 的交点,且平行于直线 x+2y-3=0 的直线 方程; (2)已知直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,(m∈R)恒过定点 A,求过点 A 且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程.

19.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)设 g (t ) ? f (2t ? a), t ? ??1,1? ,求 g (t ) 的最大值;

20.(本小题满分 12 分)如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP, AD=DC=PD=2,E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平 面 ABCD(图(2) ) .

(1)求证:平面 EFG∥平面 PAB; (2)若点 Q 是线段 PB 的中点,求证:PC⊥平 面 ADQ; (3)求三棱锥 C-EFG 的体积.

21. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 2x-y-3=0 上, 且经过点 A(5,2), B(3,2), (1)求圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过点 P(2,1)且与圆 C 相交,所得弦长为 2 6,求直线 l 的方程; (3)设 Q 为圆 C 上一动点,O 为坐标原点,P(2,1), 试求△OPQ 面积的最大值.

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) 定义域是 ? x x ?

? ?

? k , k ? Z , x ? R? ,且 2 ?

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? ?
(1)证明: f ( x) 为奇函数; (2)求 f ( x) 在 ? ? 1,?

1 1 ,当 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3x . 2 f ( x)

? ?

1? ? 上的表达式; 2?

(3)是否存在正整数 k ,使得 x ? ? 2k ? 若存在求出 k 的值,若不存在说明理由.

? ?

1 ? ,2k ? 1? 时, log3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 有解, 2 ?

2015-2016 学年度上学期四校联考(第三次月考) 高一数学答题卷

题号 得分

选择题

填空题

17

18

19

20

21

22

总分

一、选择题(12×5 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 15 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 70 分) 17.

18.

19.

20.

21. .

22.

2015-2016 学年度上学期四校联考(第三次月考) 高一数学(1-4 班)(参考答案) 命题:德兴一中 雷大放 考试时间:120 分钟 审题:德兴一中 王 春 满分:150 分

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1~~5 CDDBC 6~~10 BCABD AC

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13. 12? 5 14.1<a< 4 15. x-2y+4=0 16. ?4 ? m ? 0

三、解答题(共 70 分) 17. ( 本小题满分 10 分)已知全集 R,集合 A ? {x |

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0}. 3

(1)求 A ? B 和 CR A ? B ; (2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A . 【解析】 : A ? {x | (1)

1 ? 3x ? 9} ? (?1, 2) ; B ? {x log2 x ? 0} ? (1, ??) 3

A ? B ? (1, 2) , ??????2 分
??????5 分

CR A ? B ? ? ??, ?1? ? ?1, ???
(2) A ? B ? (?1,1] ,

??????7 分 ??????10 分

B ? A ? [2, ??)

18.(本小题满分 12 分)根据下列条件,分别求直线方程: . (1)求经过直线 x-y-1=0 与 2x+y-2=0 的交点,且平行于直线 x+2y-3=0 的直线 方程; (2)已知直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,(m∈R)恒过定点 A,求过点 A 且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程. (1)因为直线 x-y-1=0 与 2x+y-2=0 的交点为(1,0). 1 与直线 x+2y-3=0 平行的直线的斜率为- , ??? ?3 分 2 1 所以所求的直线方程为 y=- (x-1),即 x+2y-1=0. ? ?6 分 2 (2)法一:因为 l 与直线 2x+y-5=0 垂直,所以 2(2m+1)+(m+1)=0,解得:m=-

3 , ??????9 分 5
再代入 l 方程,化简得所求直线方程为:x-2y-1=0. ???12 分 1 法二:恒过定点 A(3,1),与直线 2x+y-5=0 垂直的直线的斜率为 , ??????9 分 2 1 所以直线为 y-1= (x-3),即 x-2y-1=0. ??????12 分 2 19.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 .

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)设 g (t ) ? f (2t ? a), t ? ??1,1? ,求 g (t ) 的最大值;

【答案】 (1) f ( x) ? x 2 ? x ? 1; (2) m ? ?1 ; (3) g (t ) max

?a 2 ? 5a ? 7 a ? ? 1 ? 2 ?? ? a 2 ? 3a ? 3 a ? ? 1 ? 2

【解析】 (1)令因为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 因为 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 恒成立

因为 f(0)=0,所以 c=1

所以 a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax2 ? bx ? 1) ? 2x,2ax ? a ? b ? 2x 恒成立

? 2a ? 2 ? a?b?0 ∴?
?a ? 1 ? b ? ?1 2 解得: ? ∴f(x)=x -x+1

??????5 分

(2) g (t ) ? f (2t ? a) ? 4t 2 ? (4a ? 2)t ? a2 ? a ? 1, t ???1,1? 对称轴为: t0 ? 当

1 ? 2a 4

1 1 ? 2a ? 0 ,即: a ? ? 时, 2 4

g (t )max ? g (?1) ? 4 ? (4a ? 2) ? a2 ? a ? 1 ? a2 ? 5a ? 7 .
②当

1 1 ? 2a ? 0 ,即: a ? ? 时,如图 2 2 4

g (t )max ? g (1) ? 4 ? (4a ? 2) ? a2 ? a ? 1 ? a2 ? 3a ? 3
?a 2 ? 5a ? 7 a ? ? 1 ? 2. ?? 1 ? a 2 ? 3a ? 3 a ? ? ? 2

综上所述: g (t ) max

??????12 分

20.(本小题满分 12 分)如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD =DC=PD=2,E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(图(2) ) .

(1)求证:平面 EFG∥平面 PAB; (2)若点 Q 是线段 PB 的中点,求证:PC⊥平面 ADQ;

(3)求三棱锥 C-EFG 的体积.

试题解析: (1)证明:∵E、F 分别是 PC,PD 的中点, ∴EF∥CD 又 CD∥AB. ∴ EF∥AB. ∵EF ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. 同理,EG∥平面 PAB, ∵ EF ? EG ? E ,EF ? 平面 EFG,EG ? 平面 EFG ∴平面 EFG∥平面 PAB. (2)解:连接 DE,EQ, ∵E、Q 分别是 PC、PB 的中点,∴EQ∥BC,又 BC∥AD.∴ EQ∥AD ∵平面 PDC⊥平面 ABCD,PD⊥DC,∴PD⊥平面 ABCD.∴PD⊥AD, 又 AD⊥DC, PD ? DC ? D ∴AD⊥平面 PDC,∴AD⊥PC. 在△PDC 中,PD=CD,E 是 PC 的中点, ∵ DE ? AD ? D ∴DE⊥PC, ?????4 分

∴PC⊥平面 ADEQ,即 PC⊥平面 ADQ. ?????8 分

(3)VC-EFG=VG-CEF=

1 1 1 1 S△CEF·GC= ×( ×1×1)×1= .?????12 分 3 3 2 6

21. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 2x-y-3=0 上, 且经过点 A(5,2), B(3,2), (1)求圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过点 P(2,1)且与圆 C 相交,所得弦长为 2 6,求直线 l 的方程; (3)设 Q 为圆 C 上一动点,O 为坐标原点,,P(2,1),试求△OPQ 面积的最大值. (1)设圆心 M(x0,y0),由题意可知,圆心应在线段 AB 的中垂线上,其方程为 x=4.

由?

?x=4, ? ?2x-y-3=0 ?

得圆心 M(4,5),∴半径 r=|PA|= 10.
2 2

∴圆的标准方程为(x-4) +(y-5) =10.

?????4 分

(2)当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=2,此时,圆心到直线的距离为 2,符合题意. 当直线的斜率存在时,设直线方程为 y-1=k(x-2),整理得 kx-y+1-2k=0, |4k-5-2k+1| |2k-4| 则圆心到直线的距离为 d= = . k2+1 k2+1 ?2k-4? 2 2 2 由题意可知,d +( 6) =r ,即 +6=10, k2+1 3 解得 k= . 4 故所求直线方程为 3x-4y-2=0 或 x=2. ?????8 分
2

1 (3)直线 OP 的方程为 y= x,即 x-2y=0. 2 |4-2×5| 6 ∴圆心到直线的距离为 d= = 5. 2 5 2 +1 6 则圆上的点到直线的最大距离为 d+r= 5+ 10, 5 又∵|OP|= 1 +2 = 5, 1 1 5 2 ?6 ? ∴△OPQ 面积的最大值为 |OP|(d+r)= × 5? 5+ 10?=3+ . ?????12 分 2 2 2 ?5 ? 22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) 定义域是 ? x x ?
2 2

? ?

? k , k ? Z , x ? R? ,且 2 ?

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? ?
(1)证明: f ( x) 为奇函数; (2)求 f ( x) 在 ? ? 1,?

1 1 ,当 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3x . 2 f ( x)

? ?

1? ? 上的表达式; 2?

(3)是否存在正整数 k ,使得 x ? ? 2k ? 在求出 k 的值,若不存在说明理由. 【解析】(1) f ?x ? 2? ? f ?x ? 1 ? 1? ? ?

? ?

1 ? ,2k ? 1? 时, log3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 有解,若存 2 ?

1 ? f ?x ? ,所以 f ?x ? 的周期为 2, f ?x ? 1?

所以 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? 0 ? f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ,所以 f ?x ? 为奇函数.?????3 分

1 1 当- 1 ? x ? ? 时, ? ? x ? 1则f (? x) ? 3? x 2 2 (2)
因为 f ( x) ? ? f (? x) ,所以当 ? 1 ? x ? ?

1 时, f ( x) ? ?3? x .?????6 分 2

(3)任取 x ? ? 2k ?

? ?

1 ? ?1 ? ,2k ? 1? ? x ? 2k ? ? ,1?,? f ?x ? ? f ?x ? 2k ? ? 3 x ?2 k 2 ? ?2 ?

1 ? ? log3 (3x?2k ) ? x 2 ? kx ? 2k在x ? ? 2k ? ,2k ? 1?有解, 2 ? ?
1 即x 2 ? (k ? 1) x ? 0在x ? (2k ? ,2k ? 1)有解, k ? N ? . 2 1 1 ? (0, k ? 1) ? (2k ? ,2k ? 1) ? ? ? k ? 1 ? 2k ? )( k ? N ? ) ? 无解 2 2
所以不存在这样的 k ? N , 使得 x ? ? 2k ?
?

? ?

1 ? ,2k ? 1? 时, log3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 有解. ?????12 分 2 ?


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