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北京市海淀区2008年高三一模试题及答案-数学(理科)


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(理科)
2008.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1? i 2 ) 的值等于 (1) ( ( ) 1? i (A)1 (B)i (C) ?1 (D) ?i
(2)若 O 是△ABC 所在的平面内的一点,且满足

BO ? OC ? OC ? OA ? 0 ,则△ABC 一定是 ( (A)等边三角形 (B)斜三角形 (C)等腰直角三角形 )

?

??? ???? ?

??

???? ??? ?

?

(D)直角三角形

(3)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y ? f ( x) 的图象可 能是 ( )

y
2

y
2

y
2 2 x

y
2 2 x

-2

O
(A)

x

-2

O
(B)

-2

O
(C)

-2

O 2
(D)

x

(4)若集合 A ? 1,

?

m 2 ? ,集合 B ? ? 2, 4 ? ,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? ? 4 ? ”的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件





(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

2 (5) 已知圆 x ? ? y ? 1? ? 2 上任一点 P ? x, y ? ,其坐标均使得不等式 x ? y ? m ≥0 恒成立,则实数 m 的 2

取值范围是 (A) ?1, ?? ? (B) ? ??,1? (C) ? ?3, ?? ?

( (D)



? ??, ?3?

(6) 2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾 救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调度, 决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组 3 列列车 先开出,那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有 (A)36 种 (B)108 种 (C)216 种 ( )

(D)432 种

2 (7) 直线 l 过抛物线 y ? x 的焦点 F, 交抛物线于 A, 两点, B 且点 A 在 x 轴上方, 若直线 l 的倾斜角 ? …

?
4

,

则|FA|的取值范围是





1

(A) [ ,

1 3 ) 4 2

(B) ( ,

1 3 2 ? ] 4 4 2

(C) ( ,

1 3 ] 4 2

(D) ( ,1 ?

1 4

2 ] 2

y
(8) 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 . f ?(x) 为 f (x) 的导函 数,已知函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示.若两正数 a, b 满足

b?2 的取值范围是 f (2a ? b) ? 1 ,则 a?2 1 1 1 (A) ( , ) (B) (??, ) ? ? 3, ?? ? 3 2 2

O

x





(C) ( , 3)

1 2

(D) (??, ?3)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.
(9)若双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a =__________. 9 a2

n 2 3 n (10)若 ?1 ? x ? ? 1 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ? ? x ,

? n ? N ? ,且 a : a
*

1

2

? 1: 3 ,则 n ?

.

(11)在北纬 60° 圈上有 A,B 两地,它们在此纬度圈上的弧长等于 的球面距离为______________.

?R ( R 是地球的半径),则 A,B 两地 2
. ;

(12)若向量 a,b 满足: ? a ? b? ? ? 2a ? b? = ?4 , 且|a|=2,|b|=4,则 a 与 b 的夹角等于 (13)已知点 P ? 2, 2 ? 在曲线 y ? ax ? bx 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 ,那么 ab ?
3

3 函数 f ? x ? ? ax ? bx , x ? [? ,3] 的值域为____________.

3 2

(14)数列 an 满足: a1 ? 2, an ? 1 ?

? ?

1 (n ? 2, 3, 4, ) ? ,则 a4 = an?1

;若 an 有一个形如

? ?

an ? Asin( n ? ? )? B的通项公式,其中 A, B, ? , ? 均为实数,且 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ?
此通项公式可以为 an = (写出一个即可).

?
2

,则

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
(15) (本小题共 12 分)
2 已知在△ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.

2

(16) (本小题共 13 分) 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ )采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ )采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ? 为摸出两球中白球的个数,求 ? 的期望和 方差.

(17) (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD ,

P

PC ⊥ AD . 底 面 A B C D 梯 形 , AB // DC , 为 AB ? BC . PA ? AB ? BC , 点 E 在 棱 PB 上 , 且 P E? 2 E B . (Ⅰ )求证:平面 PAB ⊥ 平面 PCB ; (Ⅱ )求证: PD ∥ 平面 EAC ; (Ⅲ )求二面角 A ? EC ? P 的大小.
D

E

A

B

C

(18) (本小题共 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, Sn ? nan ? 2n(n ?1) (n ? 1, 2,3,?). (Ⅰ )求证:数列 {an } 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式;

(Ⅱ )求 lim ?

? 1 1 1 ? ? ?? ? ?; n ?? a a an?1an ? ? 1 2 a2 a3
S S 2 S3 ? ? ? ? n ? 400? 若存在,求 n 的值;若不存在,说 2 3 n

(Ⅲ )是否存在自然数 n ,使得 S1 ? 明理由.

3

(19) (本小题共 13 分) 已知点 A, B 分别是射线 l1 : y ? x ? x ≥ 0? ,l2 : y ? ? x ? x ≥ 0? 上的动点,O 为坐标原点, ?OAB 且 的面积为定值 2. (I)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 N ? 0,2? 作直线 l ,与曲线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线 l1 , l2 分别交于点 R, S ,若点

P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点,求此时直线 l 的方程.

(20) (本小题共 14 分) 一个函数 f ? x ? ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a, b, c 都在 f ? x ? 的定义域内,就有

f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 也是某个三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“保三角形函数”.
(I)判断 f1 ? x ? ? 由; (II)如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0,??? ,证明 g ? x ? 不是“保三角形函数”; (III)若函数 F ? x ? ? sin x , x ?

x , f2 ? x ? ? x , f3 ? x ? ? x2 中,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,并说明理

? 0, A? 是“保三角形函数”,求 A 的最大值.
x? y x? y cos ) 2 2

(可以利用公式 sin x ? sin y ? 2sin

4

海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 题号 答案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) A (6) C (7) D (8) C

2008.04

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分.有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) (9) 2 (10) 7 (11)

?R
3

(12) 120

?

(13) ?3, ? ?2,18?

(14)2, an ? 3 sin[

2? ? 3k ? 1? ? 1 n ? ]? (k ?N ) 3 3 2
3 sin( 2? ? 1 n ? ) ? 即可) 3 3 2

(注意:答案不唯一,如写成 an ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) (15) (共 12 分) 解: )由所给条件,方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 . (Ⅰ ∴ tan( A ? B) ? 2分 4分 6分

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B 2?3 ? ? ?1 1? 2? 3
?

? (Ⅱ ∵ A ? B ? C ? 180 , ∴C ? 180 ? ( A ? B) . )

由(Ⅰ )知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 , ∵ C 为三角形的内角,∴sin C ?

2 2
3 , 10

8分

3 ∵ t a nA ? , A 为三角形的内角,∴sin A ?

10 分

AB BC ? sin C sin A 5 3 ? ?3 5. ∴ BC ? 2 10 2
由正弦定理得: (16) (共 13 分) 解: )记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A, (Ⅰ

11 分 12 分

5

(Ⅱ )由题知 ? 可取 0,1,2, 依题意得 3 2 3 3 2 2 3 3 P (? ? 0 )? ? ? P ?( ? 1 )? ? ? ? ? ,? ( , P 5 4 10 5 4 5 4 5 则 E? ? 0 ?

2 , 5 3 摸出一球得黑球的概率为 , 5 2 3 3 2 12 . ∴ P(A)= × + × = 5 5 5 5 25 12 . 答:两球颜色不同的概率是 25
摸出一球得白球的概率为

4分 5分

6分

2 1 1 ?2 ) ? ? , ? 5 4 10

9分 11 分

3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? , 10 5 10 5
2 2 2

3

? 4? 3 ? 4? 3 ? 4? 1 9 D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? . ? 5 ? 10 ? 5 ? 5 ? 5 ? 10 25
答: 摸出白球个数 ? 的期望和方差分别是 (17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ )∵ PA⊥ 底面 ABCD, ∴PA ? BC . 又 AB⊥ BC, PA ? AB ? A , ∴BC ⊥ 平面 PAB . 又 BC ? 平面 PCB , ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PCB . (Ⅱ )∵ PA⊥ 底面 ABCD, ∴ 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. AC 又∵ PC⊥ AD, ∴ AC⊥ AD. 在梯形 ABCD 中,由 AB⊥ BC,AB=BC,得 ?BAC ? ∴?DCA ? ?BAC ?

13 分

4 5



9 25

.

2分 4分

5分

?
4



?

P N H E

4 又 AC⊥ AD,故 ?DAC 为等腰直角三角形.
∴DC ?



2 AC ? 2

?

2 AB ? 2 AB .
DM DC ? ? 2. MB AB
7分

?

A
D M

B

连接 BD ,交 AC 于点 M ,则

PE DM ? ? 2, 在 ?BPD 中, EB MB ∴PD // EM 又 PD ? 平面 EAC,EM ? 平面 EAC,
6

P

C

N H E C B

∴ PD∥ 平面 EAC. (Ⅲ )在等腰直角 ?PAB 中,取 PB 中点 N ,连结 AN ,则 AN ? PB . ∵ 平面 PAB ⊥ 平面 PCB ,且平面 PAB ? 平面 PCB = PB , ∴ AN ? 平面PBC .

9分

在平面 PBC 内,过 N 作 NH ? 直线 CE 于 H ,连结 AH ,由于 NH 是 AH 在平面 CEB 内的 射影,故 AH ? CE . ∴?AHN 就是二面角 A—CE—P 的平面角. 在 Rt ?PBC 中 , 设 C B? 12 分

1 2 a, 则 PB ? PA2 ? AB2 ? 2a , BE ? PB ? a , 3 3

NE ?

1 2 11 PB ? a , CE ? CB 2 ? BE 2 ? a, 6 6 3
由 NH ? CE , EB ? CB 可知: ?NEH ∽ ?CEB , ∴

NH CB ? . NE CE

代入解得: NH ?

a . 22
AN 2 ? 11 . a , ∴tan AHN ? NH 2
13 分

在 Rt ?AHN 中, AN ?

即二面角 A—CE—P 的大小为 arctan 11 . 解法二: (Ⅱ )以 A 为原点, AB, AP 所在直线分别为 y 轴、 z 轴,如图建立空间直角坐标系.

14 分

设 PA ? AB ? BC ? a ,则 A? 0,0,0? , B ? 0, a,0? , C ? a, a,0? , P ? 0,0, a ? , E ? 0,

? ?

2a a ? , ?. 3 3?

5分 设 D ? a, y,0? ,则

??? ? ???? CP ? ? ?a, ?a, a ? , AD ? ? a, y,0 ? ,
? CP ? AD , ??? ???? ? ∴ CP ? AD ? ?a2 ? ay ? 0 , 解得: y ? ? a . ? DC ? 2 AB . 连结 BD ,交 AC 于点 M , DM DC ? ? 2. 则 7分 MB AB PE DM ? ? 2, 在 ?BPD 中, EB MB ∴PD // EM .
7

又 PD ? 平面 EAC,EM ? 平面 EAC, ∴ PD∥ 平面 EAC. 9分

??? ? ??? ? (Ⅲ )设 n1 ? ? x, y,1? 为平面 EAC 的一个法向量,则 n1 ? AC, n1 ? AE ,
?ax ? ay ? 0, ? ∴? 2ay a ? 3 ? 3 ? 0. ?
解得: x ?

1 1 1 1 , y ? ? ,∴ n1 ? ( , ? ,1) . 2 2 2 2

11 分

设 n2 ? ? x ', y ',1? 为平面 EBC 的一个法向量,则 n2 ? BC, n2 ? BE ,

??? ?

??? ?

?ax ' ? 0, ??? ? ??? ? a a ? 又 BC ? ? a,0,0 ? , BE ? (0, ? , ) ,∴ ? ?ay ' a 3 3 ? 3 ? 3 ? 0, ?
解得: x ' ? 0, y ' ? 1 ,∴ n2 ? ? 0,1,1? . 12 分

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 3 . ? n1 n2 6
3 . 6

13 分

∴ 二面角A—CE—P的大小为 arccos (18) (共 14 分)

14分

解: )当 n …2 时, an ? S n ? S n?1 ? nan ? (n ? 1)an?1 ? 4(n ? 1) , (Ⅰ 得 an ? an?1 ? 4 (n ? 2,3, 4,?) . ∴ 数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项,4 为公差的等差数列. ∴an ? 4n ? 3.

2分 3分 4分 5分 6分

Sn ?
(Ⅱ lim ? ) n? ?

1 (a1 ? an )n ? 2n 2 ? n . 2

? 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? = lim ? an ?1an ? n?? ? 1? 5 5 ? 9 9 ?13 ? 4n ? 7 ?? 4n ? 3? ? ? a1a2 a2 a3 ? ?

= lim
n ??

1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? )? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( 4? 1 5 5 9 9 13 4n ? 7 4n ? 3 ?
1? 1 ? 1 ?1 ? ?= . 4 ? 4n ? 3 ? 4
8

8分

= lim
n ??

10 分

(Ⅲ )由 Sn ? 2n2 ? n 得: ∴S1 ?

Sn ? 2n ? 1 , n

11 分 13 分 14 分

S S 2 S3 ? ? ? ? n ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 . 2 3 n 2 令 n ? 400 ,得 n ? 20 ,所以,存在满足条件的自然数 n ? 20 .
(19) (共 13 分) 解: (I)由题可设 A ? x1 , x1 ? , B ? x2 , ?x2 ? , M ? x, y ? ,其中 x1 ? 0, x2 ? 0 .

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 则? x1 ? x2 ?y ? , ? ? 2

(1)
1分

(2)

∵?OAB 的面积为定值 2, ∴S ?OAB ?

1 1 OA ? OB ? 2 2

?

2 x1

??

2 x2 ? x1 x2 ? 2 .

?

2分 4分 5分

(1)2 ? (2)2 ,消去 x1 , x2 ,得: x2 ? y2 ? 2 .
由于 x1 ? 0, x2 ? 0 ,∴x ? 0 ,所以点 M 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 2 ( x ? 0 ) . (II)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 由?

? y ? kx ? 2, ? x ? y ? 2,
2 2

2 2 消去 y 得: 1 ? k x ? 4kx ? 6 ? 0 ,

?

?

6分

设点 P 、 Q 、 R 、 S 的横坐标分别是 xP 、 xQ 、 xR 、 xP ,

?1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 24 ?1 ? k ? ? 0, ? 4k ∴ xP , xQ ? 0 得 ? 由 xP ? xQ ? ? 0, ? 1? k 2 ? ?6 ? xP xQ ? ? 0, ? 1? k 2 ?
解之得: ? 3 ? k ? ?1 .

8分

∴ xP ? xQ ?

?x

P ? xQ ? ? 4 xP xQ ? 2

2 6 ? 2k 2 . k 2 ?1

9分

由?

? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xR ? , 1? k ? y ? x, ? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xS ? , ?1 ? k ? y ? ? x,
9

由?

∴ xR ? xS ?

4 . k ?1
2

10 分 11 分 12 分

由于 P, Q 为 RS 的三等分点,∴ xR ? xS ? 3 xP ? xQ . 解之得 k ? ?

5 . 3 5 x?2. 3

经检验,此时 P, Q 恰为 RS 的三等分点,故所求直线方程为 y ? ?

13 分

(20) (共 14 分) 解: (I) f1 ? x ? , f2 ? x ? 是“保三角形函数” f3 ? x ? 不是“保三角形函数” , . 任给三角形,设它的三边长分别为 a, b, c ,则 a ? b ? c ,不妨假设 a 剟c, b 由于 a ? b ? a ? b ? c ? 0 ,所以 f1 ? x ? , f2 ? x ? 是“保三角形函数”.
2 2 2

1分

c,
3分

对于 f3 ? x ? ,3,3,5 可作为一个三角形的三边长,但 3 ? 3 ? 5 ,所以不存在三角形以 32 ,32 ,52 为 三边长,故 f3 ? x ? 不是“保三角形函数” . 4分

( II ) 设 T ? 0 为 g ? x ? 的 一 个 周 期 , 由 于 其 值 域 为 ? 0,??? , 所 以 , 存 在 n ? m ? 0 , 使 得

g ? m? ? 1, g ? n? ? 2 ,
取正整数 ? ?

n?m , 可 知 ?T ? m, ?T ? m, n 这 三 个 数 可 作 为 一 个 三 角 形 的 三 边 长 , 但 T

g ? ? T ? m ? 1, g ? ?T ? m? ? 1, g ? n? ? 2 不能作为任何一个三角形的三边长.故 g ? x ? 不是“保三角形函 ?
数”. (III) A 的最大值为 一方面,若 A ? 取 8分

5? . 6

9分

5? ,下证 F ? x ? 不是“保三角形函数”. 6

? 5? 5?
2 , 6 , 6

? ? 0, A ? ,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但
5? 1 5? 1 ? ,sin ? 不能作为任何一个三角形的三边长,故 F ? x ? 不是“保三角形函数”. 6 2 6 2
11 分

sin

?
2

? 1,sin

5? 时, F ? x ? 是“保三角形函数”. 6 5? ) ,则分类讨论如下: 对任意三角形的三边 a, b, c ,若 a, b, c ? (0, 6 (1) a ? b ? c …2? , 5? 5? ? ? ? ? ,同理, b, c ? , 此时 a …2? ? b ? c ? 2? ? 6 6 3 3
另一方面,以下证明 A ?
10

∴ a , b, c ? (

? 5?
3 ,

1 1 1 ) ,故 sin a,sin b,sin c ? ( ,1] , sin a ? sin b ? ? ? 1 …sin c . 6 2 2 2

同理可证其余两式. ∴ sin a,sin b,sin c 可作为某个三角形的三边长. (2) a ? b ? c ? 2?

a?b c ? ? ? ,可得如下两种情况: 2 2 a?b ? c a?b ? ≤ 时,由于 a ? b ? c ,所以, 0 ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 ? c a?b 由 sin x 在 (0, ] 上的单调性可得 0 ? s i n ? s i n ≤ ; 1 2 2 2 a?b ? c a?b ? ? 时, 0 ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2
此时, 同样,由 sin x 在 ? 0, 总之, 0 ? sin

? ?

??

c a?b ? 上的单调性可得 0 ? sin 2 ? sin 2 ? 1 ; 2?

c a?b ? sin ≤1 . 2 2 5? 又由 a ? b ? c ? 及余弦函数在 ? 0, ? ? 上单调递减,得 6

cos

a ?b a ?b c 5? ? cos ? cos ? cos ? 0, 2 2 2 12
a?b a ?b c c cos ? 2sin cos ? sin c . 2 2 2 2 5? 时, F ? x ? 是“保三 6
14 分

∴ sin a ? sin b ? 2sin

同理可证其余两式,所以 sin a,sin b,sin c 也是某个三角形的三边长.故 A ? 角形函数”. 综上, A 的最大值为

5? . 6

说明:其他正确解法按相应步骤给分.

11


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