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北京市海淀区2008年高三一模试题及答案-数学(理科)


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(理科)
2008.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1? i 2 ) 的值等于 (1) ( ( ) 1? i (A)1 (B)i (C) ?1 (D) ?i
(2)若 O 是△ABC 所在的平面内的一点,且满足

BO ? OC ? OC ? OA ? 0 ,则△ABC 一定是 ( (A)等边三角形 (B)斜三角形 (C)等腰直角三角形 )

?

??? ???? ?

??

???? ??? ?

?

(D)直角三角形

(3)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y ? f ( x) 的图象可 能是 ( )

y
2

y
2

y
2 2 x

y
2 2 x

-2

O
(A)

x

-2

O
(B)

-2

O
(C)

-2

O 2
(D)

x

(4)若集合 A ? 1,

?

m 2 ? ,集合 B ? ? 2, 4 ? ,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? ? 4 ? ”的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件





(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

2 (5) 已知圆 x ? ? y ? 1? ? 2 上任一点 P ? x, y ? ,其坐标均使得不等式 x ? y ? m ≥0 恒成立,则实数 m 的 2

取值范围是 (A) ?1, ?? ? (B) ? ??,1? (C) ? ?3, ?? ?

( (D)



? ??, ?3?

(6) 2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾 救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调度, 决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组 3 列列车 先开出,那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有 (A)36 种 (B)108 种 (C)216 种 ( )

(D)432 种

2 (7) 直线 l 过抛物线 y ? x 的焦点 F, 交抛物线于 A, 两点, B 且点 A 在 x 轴上方, 若直线 l 的倾斜角 ? …

?
4

,

则|FA|的取值范围是





1

(A) [ ,

1 3 ) 4 2

(B) ( ,

1 3 2 ? ] 4 4 2

(C) ( ,

1 3 ] 4 2

(D) ( ,1 ?

1 4

2 ] 2

y
(8) 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 . f ?(x) 为 f (x) 的导函 数,已知函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示.若两正数 a, b 满足

b?2 的取值范围是 f (2a ? b) ? 1 ,则 a?2 1 1 1 (A) ( , ) (B) (??, ) ? ? 3, ?? ? 3 2 2

O

x





(C) ( , 3)

1 2

(D) (??, ?3)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.
(9)若双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a =__________. 9 a2

n 2 3 n (10)若 ?1 ? x ? ? 1 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ? ? x ,

? n ? N ? ,且 a : a
*

1

2

? 1: 3 ,则 n ?

.

(11)在北纬 60° 圈上有 A,B 两地,它们在此纬度圈上的弧长等于 的球面距离为______________.

?R ( R 是地球的半径),则 A,B 两地 2
. ;

(12)若向量 a,b 满足: ? a ? b? ? ? 2a ? b? = ?4 , 且|a|=2,|b|=4,则 a 与 b 的夹角等于 (13)已知点 P ? 2, 2 ? 在曲线 y ? ax ? bx 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 ,那么 ab ?
3

3 函数 f ? x ? ? ax ? bx , x ? [? ,3] 的值域为____________.

3 2

(14)数列 an 满足: a1 ? 2, an ? 1 ?

? ?

1 (n ? 2, 3, 4, ) ? ,则 a4 = an?1

;若 an 有一个形如

? ?

an ? Asin( n ? ? )? B的通项公式,其中 A, B, ? , ? 均为实数,且 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ?
此通项公式可以为 an = (写出一个即可).

?
2

,则

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
(15) (本小题共 12 分)
2 已知在△ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.

2

(16) (本小题共 13 分) 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ )采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ )采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ? 为摸出两球中白球的个数,求 ? 的期望和 方差.

(17) (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD ,

P

PC ⊥ AD . 底 面 A B C D 梯 形 , AB // DC , 为 AB ? BC . PA ? AB ? BC , 点 E 在 棱 PB 上 , 且 P E? 2 E B . (Ⅰ )求证:平面 PAB ⊥ 平面 PCB ; (Ⅱ )求证: PD ∥ 平面 EAC ; (Ⅲ )求二面角 A ? EC ? P 的大小.
D

E

A

B

C

(18) (本小题共 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, Sn ? nan ? 2n(n ?1) (n ? 1, 2,3,?). (Ⅰ )求证:数列 {an } 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式;

(Ⅱ )求 lim ?

? 1 1 1 ? ? ?? ? ?; n ?? a a an?1an ? ? 1 2 a2 a3
S S 2 S3 ? ? ? ? n ? 400? 若存在,求 n 的值;若不存在,说 2 3 n

(Ⅲ )是否存在自然数 n ,使得 S1 ? 明理由.

3

(19) (本小题共 13 分) 已知点 A, B 分别是射线 l1 : y ? x ? x ≥ 0? ,l2 : y ? ? x ? x ≥ 0? 上的动点,O 为坐标原点, ?OAB 且 的面积为定值 2. (I)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 N ? 0,2? 作直线 l ,与曲线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线 l1 , l2 分别交于点 R, S ,若点

P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点,求此时直线 l 的方程.

(20) (本小题共 14 分) 一个函数 f ? x ? ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a, b, c 都在 f ? x ? 的定义域内,就有

f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 也是某个三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“保三角形函数”.
(I)判断 f1 ? x ? ? 由; (II)如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0,??? ,证明 g ? x ? 不是“保三角形函数”; (III)若函数 F ? x ? ? sin x , x ?

x , f2 ? x ? ? x , f3 ? x ? ? x2 中,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,并说明理

? 0, A? 是“保三角形函数”,求 A 的最大值.
x? y x? y cos ) 2 2

(可以利用公式 sin x ? sin y ? 2sin

4

海淀区高三年级第