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第27届复赛第九题补充一种解法


第 27 届全国中学生物理竞赛复赛压轴题另解
原题:已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0 ,粒子 1 静止,粒 子 2 以速度 v0 与粒子 1 发生弹性碰撞. 1.若碰撞是斜碰,考虑相对论效.试论证:碰后两粒子速度方向的夹角是 锐角、直角还是钝角.若不考虑相对论效应结果又如何? 2.若碰撞是正碰,考虑相对论效应,试求碰后两粒子的速度. 原解: 1. 假设碰撞

后球 1 和球 2 的速度方向之间的夹角为 ?(见图 1) , 则由能量守恒和动量守恒可得 图1 (1)
2

v2 v0
0

?

m0

m0 v1

m0c2 ? m0c2? 0 ? m0c2? 1 ? m0c2? 2

? m0 v0? 0 ?
其中 ? 0 ?

2

? ? m0 v1? 1 ? ? ? m0 v2? 2 ? ? 2 ? m0 v1? 1 ?? m0 v2? 2 ? cos ?
2

(2)

1
2 1 ? v0 / c2

, ?1 ?

1
2 1 ? v1 / c2

,?2 ?

1
2 1 ? v2 / c2



由(1) 、 (2)式得

1? ? 0 ? ?1 ? ? 2
2 2 ?0 ?1 ? ? 12 ? ? 2 ? 2(v1v2 / c2 )?1? 2 cos?

(3) (4)

由(3) 、 (4)式得

cos? ?

2 2 ?0 ? 1 ? ( ? 12 ? ? 2 ) 2 ( ? 1 ? 1 )( ? 2 ? 1 ) 2 c ? c ?0 2v1 v2? 1? 2 v1 v2? 1? 2

(5)

??
即为锐角.

π 2

(6)

在非相对论情况下,根据能量守恒和动量守恒可得

1 1 1 2 2 m0 v 0 ? m0 v 2 m0 v 2 1? 2 2 2

(7)
2

? m0 v0 ?

2

? ? m0 v1 ? ? ? m0 v2 ? ? 2 ? m0 v1 ?? m0 v2 ? cos ?
2

(8)

对斜碰, v1 的方向与 v2 的方向不同,要同时满足(1)和(2)式,则两者方向的夹角

??
即为直角.

π 2

2.根据能量守恒和动量守恒可得

m0 c ?
2

m0 c 2
2 1 ? v0 c2

?

m0 c 2
2 1 ? v1 c2

?

m0 c 2
2 1 ? v2 c2

(10)

m0 v0 1? v c
2 0 2

?

m0 v1 1? v c
2 1 2

?

m0 v2
2 1 ? v2 c2

(11)



?0 ?
则有

1
2 1 ? v0 / c2

, ?1 ?

1
2 1 ? v1 / c2

,?2 ?

1
2 1 ? v2 / c2

2 2 2 v0 ? c 1 ? 1/ ? 0 , v1 ? c 1 ? 1/ ? 1 , v2 ? c 1 ? 1/ ? 2

代入(10) 、 (11)式得

1? ? 0 ? ?1 ? ? 2
2 2 γ0 - 1 = γ12 - 1 + γ 2 -1

(12) (13)

解(12) 、 (13)两式得

?1 ? 1


?2 ? ?0

(14)

?1 ? ? 0


?2 ?1

(15)

v1 ? v 0 , v2 ? 0 , (或 v1 ? 0 , v2 ? v0 不合题意)
另外解法: 建立一个速度大小为 u =

v0
2 v0 1+ 1- 2 c

, 方向与粒子 Y v0 X(X’) Y’ u

2 初速度同向的运动惯性参考系,且以粒子 2 运动方向为运动参考 系和静止参考系横轴正方向(如图 2) 。由于运动参考系相对于粒 子 1 的速度为 u ,则粒子 1 相对于运动参考系的速度为 - u ,而粒 子 2 相对于运动参考系的速度为

图2

v0 v=

v0
2 v0 1+ 1- 2 c 2 v0 2 v0 v( ) 0 1 + 1- 2 -1 v0 c = = =u 2 2 2 v0 v0 v0 ( 1+ 1- 2) - 2 1+ 1- 2 c c c

v0 - u = v0 u 1- 2 12 c v0 ( 1 + 1 - 2 )c 2 c

即以在运动参考系中,粒子 1、2 以大小相等方向相反的速度运动,又由于两粒子质量也相等,由动量与 能量守恒可得碰撞后的速度仍然是大小相等方向相反,且大小依然为 u (见图 3)。因为两粒子碰后必然 、 、 有一个的速度与 X 轴夹角为锐角,则设碰后粒子 2 速度方向与 X 轴夹角为锐角 θ ,则在运动参考系中粒 子 2 的 速 度 可 以 正 交 分 解 为 v2 x ' = u c o s θ, θ , v2 y ' = u sin θ ; 而 粒 子 1 的 速 度 为 v1x ' = -u c o s

v1y ' = -u sin θ 。则在静止参考系中:
v2 x = v 2 x '+u u (1 + cosθ ) = v2 x ' u u 2 cosθ 1+ 2 1+ c c2

Y

Y’ u

v2 y

u2 u2 u sin θ 1 c2 c2 = = v2 x ' u u 2 cosθ 1+ 2 1+ c c2 v2 y ' 1 -

u 图3

X(X’)

v '+u u (1 - cosθ ) v1x = 1x = v 'u u 2 cosθ 1 + 1x2 1c c2

u2 u2 v1 y ' 1 - 2 - u sin θ 1 - 2 c c v1 y = = v1x ' u u 2 cosθ 1+ 2 1c c2
设在静止参考系中粒子 1、2 与 X 轴夹角分别为 φ 、 β ,则:

tanφ =

v1 y v1x v2 y v2 x

u2 sin θ 1 - 2 c = 1 - cosθ sin θ 1 = u2 c2 1 + cosθ

tan β =

两粒子速度的夹角为 φ + β ,

u2 u2 sin θ 1 - 2 sin θ 1 - 2 c c + tanφ + tan β 1 - cosθ 1 + cosθ tan(φ + β ) = = 2 1 - tanφ tan β u u2 sin θ 1 - 2 sin θ 1 - 2 c c 1× 1 - cosθ 1 + cosθ sin θ 1 =
即为锐角。 在非相对论情况下,可以认为

u2 2 u2 2 × 2 c 1 c 2 1 - cos2 θ c2 = >0 u2 u 2 sin θ 1 - (1 - 2 ) c
u2 = 0 ,则 c2

sin 2 θ tanφ ×tan β = =1 1 - cos2 θ
即φ + β =

π ,两粒子速度的夹角为直角。 2
o

若碰撞为正碰,两球均被反弹,则 θ = 180

v2 x =

u (1 + cosθ ) =0 u 2 cosθ 1+ c2

v2 y

u2 u sin θ 1 - 2 c = =0 2 u cosθ 1+ c2
u (1 - cosθ ) u (1 + 1) = = v0 u 2 cosθ u2 11+ 2 c2 c

v1x =

u2 - u sin θ 1 - 2 c v1 y = =0 2 u cosθ 1c2
即得到所求答案。现在来看第一小题中本解法的答案与原解法的答案是否一致。

cos α =

(γ1 - 1) (γ 2 - 1) 2 v2 v2 2 1 c = ×(1 - 1 - 12 )(1 - 1 - 2 )c v1v 2 γ1 γ 2 v1v 2 c c2

v1 = v12x + v12y

u2 u2 u 2 2 cos θ sin 2 θ u (1 - cosθ ) 2 c2 2 c2 = [ ] +[ ] = u 2 cosθ u 2 cosθ u 2 cosθ 111c2 c2 c2 - u sin θ 1 -

u2 u 2 + 2 cosθ - 2 sin 2 θ c v2 = 2 u cosθ 1+ c2

u2 u 2 cosθ 2 2 u2 2 2 u (2 - 2 cosθ - 2 sin θ) c (1 ) - u (2 - 2 cosθ - 2 sin 2 θ) v12 c c2 c 1- 2 = 1= 2 2 c u cosθ 2 u cosθ 2 c 2 (1 ) c 2 (1 ) 2 c c2 u 2 cosθ u 2 cosθ 2 u2 2 2 c 2 [1 - 2 + ( ) ] u ( 2 2 cos θ 2 2 2 sin θ) c c c = 2 u cos θ c 2 (1 )2 c2 u4 2 2 c - 2u + 2 c = 2 u cosθ 2 c 2 (1 ) c2
2

u4 u2 u2 c - 2u + 2 ( 1 - cosθ ) cv2 c c c2 1 - 1 - 12 = 1 = 1 = c u 2 cosθ 2 u 2 cosθ u 2 cosθ 2 c (1 ) c(1 ) (1 ) c2 c2 c2
2 2

u2 ( 1 + cosθ ) v c2 = 同理可得: 1 - 1 c u 2 cosθ (1 + ) c2
2 2 2

2 v12 v2 1 cosα = ×(1 - 1 - 2 )(1 - 1 - 2 )c 2 v1v 2 c c

u 2 cosθ u 2 cosθ u2 u2 1 + ( 1 cos θ ) ( 1 + cosθ ) c2 c2 c2 c2 = × × × ×c 2 2 2 2 2 u cosθ u cosθ u u u 2 - 2 cosθ - 2 sin 2 θ u 2 + 2 cosθ - 2 sin 2 θ (1 - c 2 ) (1 + c 2 ) c c 4 u u2 2 2 sin θ 2 4 2 sin θ c c c = × = 2 2 2 u u u u 2 - 2 cosθ - 2 sin 2 θ u 2 + 2 cosθ - 2 sin 2 θ (2 - 2 sin 2 θ ) 2 - 4 cos2 θ c c c 2 u 2 2 sin θ c = u2 u2 4 sin 2 θ - 4 2 sin 2 θ + ( 2 sin 2 θ ) 2 c c 1-

u2 2 2 sin θ c sin α = 1 - cos2 α = 1 - [ ]2 2 2 u u 4 sin 2 θ - 4 2 sin 2 θ + ( 2 sin 2 θ ) 2 c c 4 sin 2 θ - 4 =
2

u2 sin 2 θ c2

u2 u2 2 4 sin θ - 4 2 sin θ + ( 2 sin 2 θ ) 2 c c

4 sin 2 θ - 4 tanα =

u2 sin 2 θ c2

2c 2 1 =

u2 sin 2 θ c2

u2 c2 = tan(φ + β ) u 2 sin θ

解法三:假设碰撞后球 1 和球 2 的动量方向之间的夹角为 ? 。由动量守恒定律可得,球 1 的初动量、两球 的末动量满足三角形关系如图 4 所示 p1 由图可以得到三者满足 ?
2 2 p0 ? p12 ? p2 ? 2 p1 p2 cos?

p2
图4

由能量守恒定律得

p0

E0 ? m0 c 2 ? E1 ? E2
上式变换后

2 4 2 4 ? E12 ? E12 ? m0 c ? 2 E1 ? E 2 ? 2m0 c 2 ?E1 ? E 2 ? ? 2m0 c 2 4 ? E12 ? E12 ? m0 c ? 2 E1 ? m0 c 2 E 2 ? m0 c 2

E02 ? E1 ? E 2 ? m0 c 2

?

?

2

2 4 ? E12 ? E12 ? m0 c ? 2 E1 ? E 2 ? 2m0 c 2 ?E1 ? E 2 ?

?

??

?

2 4 考虑到 E 2 ? p 2 c 2 ? m0 c

代入前面的能量方程
2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 p0 c ? m0 c ? p12 c 2 ? m0 c ? p2 c ? m0 c ? m0 c ? 2 E1 ? m0 c 2 E2 ? m0 c 2 2 2 p0 ? p12 ? p2 ?

2 E1 ? m0 c 2 E2 ? m0 c 2 c2
2 E1 ? m0 c 2 E 2 ? m0 c 2 c2

?

??

?

?

??

?

和动量守恒方程结合可得

2 p1 p 2 ? cos? ?

?

??

?

由于斜碰后两小球动量皆不可能为零,有

cos? ?

2 E1 ? m0 c 2 E2 ? m0 c 2 ?0 2 p1 p2 c 2

?

??

?

即可得为锐角。 同时,由于 E ? m0 c 2? , p ? m0 v? ,相应的代入上式即可得到(5)式。

而所谓的非相对论情况,就是

cos? ?

2 E1 ? m0 c 2 E2 ? m0 c 2 ?0 2 p1 p2 c 2

?

??

v 很小,近似为零,那就有 c

?

即为直角。 当碰撞为正碰时, ? ? 0 ,有

p0 ? p1 ? p2
2 E1 ? m0 c 2 E 2 ? m0 c 2 2 p1 p 2 ? cos? ? ? 2 p1 p 2 c2
转化后可得

?

??

?

?E

?

1

? m0 c 2 E 2 ? m0 c 2 ? p1 p 2 c 2

??

?

2 4 p12 c 2 ? m0 c ? m0 c 2

??

2 2 2 4 p2 c ? m0 c ? m0 c 2 ? p1 p 2 c 2

?

其中,当 p1 ? 0 且 p 2 ? 0

p c ? m c ? m0 c ?
2 1 2 2 0 4 2 2 2 2 4 p2 c ? m0 c ? m0 c 2 ?

p12 c 2
2 4 p12 c 2 ? m0 c ? m0 c 2 2 2 p2 c 2 2 2 4 p2 c ? m0 c ? m0 c 2

? p1c ? p2 c

显然,两式前面那一式要成立的条件只能是 p1 ? 0 或 p 2 ? 0


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