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导数学习中的四个常见疑难易错问题解析


2009年

第48卷

第7期

数学通报

49

导数学习中的四个常见疑难易错问题解析
蒋文化
(江苏省南京市第一中学210001)

导数是高中数学新课程新增的重点内容,是 解题的重要工具,也是高考的重点内容之一,导数 概念是微积分的核心概念之一,具有丰富的实际 背景和广泛的应用,但是许多同学由于概念不清、 审题不细、考虑不周,常常发生错误.笔者根据亲 身教学实践,针对学生解题中出现的错误及学习 中的困惑,对导数学习中的常见疑难易错问题进 行分类解析,旨在正本清远,帮助学生走出误区,
~1.

所以切线的斜率是一厂(z-)=zi
所以切线方程为

y一(专z{十号)一zj(x--x,)
因为点P(2,4)在切线上,

①?

所以4一(专zi+号)2zi(2一z-)
即(卫1—2)2(zl+1)=0

所以zl=2或zl=

提高解题质量。
问题1

曲线在某点处的切线与过某点的切

代入①,化简后得所求的切线方程为 4z—y一4----0或z—y+2----0.

线问题 曲线y一,(z)在点P(z。,Y。)处的切线是指 以点P为切点的切线,若存在,只有一条,其方程 为y一弘=,7(zo)(z_zo),而曲线Y=,(z)过点 P的切线,其切点不一定是点P,且切线也不一定 只有一条,此时无论点P是否在曲线Y=,(z) 上,一般解法是:先设切点为Q(zt,f(x。)),切线

问题2在区间(n,6)内/(z)>o(或/(z)
<o)是函数厂(z)在此区间上为增(或减)函数的 什么条件?

众所周知,在区间(a,b)内厂(z)>0(或 /(z)<o)是函数,(z)在此区间上为增(或减)函
数的充分条件,但是否为必要条件常常彝不清楚. 事实上,我们只要举两个反例即可说明不是必要 条件.如,(z)一z3在(一∞,+o。)上是增函数,

方程为y一厂(zt)一/(z.)?(z—z,)

①,再把

点P坐标代入方程①解得z。,最后把解得的z。 (.--f能不止一个)代入方程①化简即得所求的切线
方程.

但/(o)=o,厂(z)一3x2>/0;再如厂(z)=一z+
sin

z在(一。。,+oo)上为减函数,但/(z)一一1

+cos

z≤0,且使厂(z)一0的点有无穷多个,即

例1

已知曲线厂(z)一÷z3+÷,求曲线过

为(2kn,一2kn)(志∈Z),由于这些点是离散的,不 能构成区间,因此不影响函数的单调性.所以在区

点P(2,4)的切线方程. 错解

因为/(z)一----X2,

间(口,6)内厂(z)>o(或/(工)<o)是函数,(z)
在此区间上为增(或减)函数的充分不必要条件. 一般地,可导函数厂(z)在区间(口,6)上是增(或 减)函数的充要条件是:对任意的z∈(口,6)都有

所以切线的斜率七=/(2)=4,
所求切线方程为,一4—4(辱一2),即4z—y
一4=0.

分析上述解答错在概念不清,误把曲线在 点P处切线当成曲线过点P的切线求解. 正解 设曲线与过点P的切线相切于点

厂(z)≥o(/(z)≤o),且,,(z)在(口,6)的任何子
区间内都不恒等于零.特别是在已知函数的单调 性求参数的取值范围时,要注意等号是否成立.
例2

已知函数厂(z)一nz3+3x2一z+1在

Q(m言z3-T了4),
因为厂(z)--一-'X2,

R上是减函数,求a的取值范围.(2004年全国I
文)

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第7期

错解厂(z)一3ax2+6z—l
因为,(z)在R上是减函数,

子区间内不恒为0,但本例当n一寺时厂(z)=0
在(一3,-4-∞)内恒成立,故不符合题意,应舍去. 因此本例的正确结论是口<÷. 问题3单调区间的记法问题. (1)单调区间是开还是闭的问题. 如果函数,(z)在开区间(口,6)内是单调函数 且函数图像在闭区间[口,6]上是连续不断的,则函 数厂(z)在闭区间[口,6]上也是单调函数,此时的 单调区间写成开区间和闭区间都正确. (2)函数单调区间能否合并问题 函数单调区间能合并的充要条件是:相邻区 间的单调性相同且在公共点处连续.如Y=z3在 (一∞,o)和(o,+o。)上都是增函数且在z=0处 连续,故y=z3的增区问是(一。o,-4-∞).若相邻 两区间在公共点处不连续或无公共点,则两区间 不能合并,只能用“逗号”或“和”字隔开. 例4求函数,(z)=2x3—6x2+7的单调
区间.


所以/(z)<o对z∈R恒成立.
所以口<0且△一36+12a<O. 所以n<一3为所求.

分析/(z)<o是,(z)为减函数的充分不 必要条件,本题忽视了/(z)=0的特殊情形.
正解1/(z)一3ax2-4-6z一1

①当/(z)<o(z∈R)时,厂(z)是减函数.
3ax2-4-6z一1<0(z∈R)铹口<O且△一36-4- 12a<O铮n<一3

所以,当n<一3时,由厂(z)<o,知,(z)(z
∈R)是减函数; ②当a=一3时,,(z)=一3x3十3x2一X-4-1

-----3(z一号)3+詈,由函数y—z3在R上的单
调性,可知当口一一3时,厂(z)(xER)是减函数5 ③当口>一3时,在R上存在一个区间,其上

有/(z)>o,所以,当口>一3时,函数厂(z)(z∈
R)不是减函数. 综上所求口的取值范围是(一∞,一3]. 评注上述解答是高考命题组提供的标准答 案,解答之严谨令人赞叹.但我们通常解题时可作 如下简化:

错解.厂(z)一6x2—12x

令/(z)>o,解得z<o或z>2
所以,厂(z)的单调增区间是 (一oo,o)U(2,+。。),减区间是(O,2). 解析上述解答错在单调增区间的结论表达 上.首先,(一∞,O)U(2,-4-oo)不是一个区间,从 而不是单调增区间;其次,这两个区间没有公共 点,也不能合并;另外,由于,(z)是连续函数,且 ,(o)>,(2),故,(z)在(一∞,o]U[2,-4-∞)上 也不是单调递增.正确结论是:,(z)的单调增区 间是(一∞,o),(2,+o。)(或写成(一∞,o],[2,+ oo));单调减区问是(o,2)(或写成[o,2]).

正解2/(z)一3ax2+6z一1, 因为,(z)在R上是减函数且/(z)在R的
任意子区间上不恒为0,

所以/(z)≤o对z∈R恒成立.
所以口<0且△一36+12a≤O. 所以口≤一3为所求. 例3

已知函数,(z)一掣在(--3,+∞)
/(z)一1(z3a+--31)z由厂(z)在(一3,

问题4/(z。)一0是函数厂(z)在z。处有
极值的什么条件?

内单调递减,求实数口的取值范围. 错解

许多人认为“厂(z。)一0是函数,(z)在z。处
有极值的必要不充分条件”,其实该结论并不正

"4-o。)内单调递减知厂(z)≤o在(一3,-4-∞)内恒
成立. 故口≤÷.

确.不充分的例子如:,(z)一z3在z=0处/(o)
=0,但厂(z)在R上单调递增无极值;不必要的例 子如:厂(z)=I zI在z一0处有极小值0,但因为当

解析/(z)≤o是厂(z)为减函数的必要不
充分条件,,(z)在(一3,4-oo)内为减函数的充要

△z无限趋近于0时,爱=丛尘土匀兰二丛业=
号}不无限趋近于一个常数,所以/(o)不存在.

条件是/(z)≤0且/(z)在(一3,-4-oo)的任一

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数学通报 因此本例正确答案为口一4,6一一11.

51

因此/(z。)一0是函数厂(z)在z。处有极值的既
不充分也不必要条件.教材中由于所涉及的函数 都是可导函数,因此容易使人误解.事实上,

。:例6求函数厂(z)一(z一1)2z芎的极小值及 取得极小值时相应的X值.

/(z。)一。是可导函数厂(z)在z。处有极值的必
要不充分条件.当函数在某点处不可导时,不能直 接断定在该点无极值,此时要考察函数在该点附 近的图像特征,用极值定义来判断. 例5 已知,函数,(z)=z3+ax2+bx+a2 在z一1处有极值10,求a,b的值.

错解/(z)一2(x--1)x了+鲁(z一1)221
9 一上


一三o x 3(x--1)(4x--1) o

因为x≠0,所以/(o)不存在,
所以f(o)不是,(z)的极小值.
‘1

错解.厂(z)=3x2+2ax+6

又当z∈(1,+o。)时/(z)>o,xE(寺,1)时,
所以,当z一1时,厂(z)有极小值0. 解析上述解答错在对极值的概念理解不

因为∽三删2a+b=--3吲。
所以{6—3或{6:一11
解析上述解答错在没有弄清“f7(1)=0是 可导函数,(z)在z一1处有极值的必要不充分条 件”,忽视验证充分性.事实上,当a一一3,b一3

/(z)<o,

清,虽然/(0)不存在,但不能断定f(0)不是
,(z)的极小值.事实上,厂(z)的定义域为R,当

z∈(一∞,o)时,f7(z)<o;当z∈(o,百1)时,
/(z)>o,故,(z)在x=0处有极小值厂(o)一0.
所以,本例正确结论是:当z一0或z一1时,,(z) 有极小值0.

时,/(z)=3(z一1)2≥o,故,(z)在z一1处不存
在极值,应舍去;而当a一4,6=一11时,f7(z)一 322+8z一11一(z一1)(3x+11),易知在z一1处 有极小值,符合题意.‘

(上接第48页) (师生共同完成) 师:数列{b。)是不是等差数列? 生(全体同学):是的,它是以192为首项,
,7

a。+l=A口。+A科1+(2--,1)2”(行∈N。),其中X>O. (I)求数列{a。)的通项公式; (II)(Ⅲ)略. (题眼是a什1=A口。+.=I卅1+(2一A)2”(n∈ N’)中的A科1,两边同除A计1整理得:

lg古为公差的等差数列.


师:至此,通过挖“题眼”本小题得到了圆满解 决,注意:“题眼”即是题目的关键处.下面二题不 妨请同学们思考一下,“题眼”在哪里? 问题1:(08天津卷20)在数列{a。)中,a。=1, a2=2,且’a。+l一(1+q)a。--qa。一1(刀≥2,q≠O). (I)设b。一口。+1一口。("∈N。),证明{b。)是等 比数列; (Ⅱ)求数列{a。)的通项公式; (m)略 (题眼是a。+l=(1+q)a。一q口。一?中的q,对q整 理得:a。+l Ra。一口(口。--a。一1),即以=q玩一1,n≥2) 问题2:(07天津理21)在数列{a。)中,a。一2, 眼”.

斧一(詈)科1一是一(詈)“.?,故 {暑一(詈)”}是以0为尊项,公差为1的等差数
列,所以Fan一(詈)”=咒一1,即,an‘(以一1)A”+
2”)

师:至此,本题得到了圆满解决,通过这道题 的解决过程,大家有什么收获? 生:解题中应注意寻“源头”、瞄“题结”、挖“题

师:依葫芦画瓢做十篇不如理解做一篇;机械 模仿做百题不如刻苦钻一题.

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导数学习中的四个常见疑难易错问题解析
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 蒋文化 江苏省南京市第一中学,210001 数学通报 BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 2009,48(7) 0次

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