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§7 直线的方向向量与平面的法向量


江苏省涟水中学 2013-2014 高二数学教学案

§ 7 直线的方向向量与平面的法向量
教学目标:1.理解直线的方向向量与平面的法向量。 2.会用待定系数法求平面的法向量。 教学重、难点:平面法向量的求法(待定系数法) 教学过程: 一.问题情境: 怎样刻画直线、平面在空间中的“方向”? 二.建构数学: 1. 直线 l 的方向向量: 注:①直线的方

向向量有无数个,它们共线。 ②直线上不同两点所对应的向量就是直线的一个方向向量。 2. 平面 ? 的法向量:

注:①平面 ? 的法向量有无数个,它们共线。 ②平面的法线:与平面垂直的直线。 平面的法向量:平面法线的方向向量。 三.数学应用:
???? ? 例 1:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证: DB1 是平面 ACD1 的法向量。

注:待定系数法求平面的法向量步骤: (1) 建系 (2) 设平面 ? 的法向量 n ? ( x, y, z ) (3) 在 ? 内找两个不共线向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ),b ? ( x2 , y2 , z 2 )

?

?

?

? ? ?n ? a ? 0 (4) 列方程 ? ? ? ?n ? b ? 0
(5) 解方程取其中一组解得法向量。
1

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练习:已知:A(1,2,1),B(3,2,3),C(5,3,1),求平面 ABC 的一个单位法向量。

例 2 :在空间直角坐标系中,设平面 ? 经过点 P(x0 , y0 , z ,平面 ? 的法向量是 0 )

? e ? (A,B,C) , M(x,y,z) 是平面内的任意一点,求 x,y,z 满足的关系式。

思考: P 101 思考 例 3:已知:A(-2,3,-3),B(4,5,9), (1)写出直线 AB 的一个方向向量; (2)若点 M(x,y,z)在直线 AB 上,求 x,y,z 满足的关系式。 (3)设平面 ? 经过线段 AB 的中点,且与直线 AB 垂直,点 P(x,y,z)是平面 ? 内一 点,求 x,y,z 满足的关系式。 (4)求到 A,B 两点距离相等的点 Q(x,y,z)的坐标 x,y,z 满足的关系式。 (5)比较(3),(4)结论,你发现什么?

练习: P 101

1,2.

四.课堂小结:

2

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§ 7 直线的方向向量与平面的法向量作业
班级 姓名 学号 得分 ; 1. 已知向量 a ? (2, 2, 2) ,则向量 a 的单位方向向量是

?

?

2. 已知 a, b 分别是两条直线 l1 , l2 的方向向量, a ? (2, ?1, ?2), b ? (6, ?3, ?6) ,则

? ?

?

?

l1 , l 2 的关系
①. l1 // l2

; ②. l1与l2 相交 ③. l1与l2 异面 ④. l1 ? l2

3.已知点 A ? ?3,5, ?2? ,a ? (?1,1,1) ,在 yoz 面上找一点 B ,使得 AB // a ,则点 B 的坐标为___________; 4. 过点 P (2,-1,1)且与向量 a ? (0, ?1,1) 垂直的平面方程为________________; 5. 已知直线 l 的方向向量与平面 ? 的法向量平行,则直线 l 与平面 ? 的位置关系是 ________________________; 6.若 n1 , n2 分别是平面 ? , ? 的法向量且 ? ? ? , n1 ? (1, 2, x) , n2 ? ( x, x ?1, x) ,则

?

??? ? ?

?

?? ?? ?

??

?? ?

x 的值为
??



7. 已知直线 l1 的方向向量为 a1 ? (?1,0,1) ,直线 l2 的方向向量为 a2 ? (1, ?1,0) ,则

?? ?

l1与l2 的夹角为

; , ? 的法向量为( ,1,2)

8.若直线 l 垂直于平面 ? ,且 l 的方向向量为(t,2,4), 则 t=

1 2

9. 已知 A (1,0,1) ,B(0,1,1) ,C(1,1,0) ,求:平面 ABC 的一个单位法向 量。

3

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10. 在立方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,建立适当的空间直角坐标系,求与直线 AC1 及

? CD1 都垂直的一个向量 a .
A1

D1 B1

C1

D A B

C

11 . 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面为等腰直角三角形,

?ABC ? 90?, AB ? BB1 ? 2 ,建立适当的空间直角坐标系,
求平面 A1 BC 的一个法向量.

C1 A1 B1

C A B

4


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