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1 集合的概念及其基本运算


一轮复习讲义

集合的概念及其基本运算

要点梳理
1.集合与元素

忆一忆知识要点

确定性 、 互异性 、 无序性 . (1)集合元素的三个特征:
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

列举法 、描述法 、 Venn图、区

间法 . (3)集合的表示法:
(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限 无限集 、 空集 . 集 、

要点梳理

忆一忆知识要点

2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A, 则 (或 ). ? ? A;A ? A;A?B,B?C?A ? C. n 若 A 含有 n 个元素, 则 A 的子集有 2 个, A 的非空 子集有 2n-1 个,A 的非空真子集有 2n-2 个.

(2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B.

要点梳理

忆一忆知识要点

3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B}; 补集:?UA= {x|x∈U,且 x?A} . U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.

[难点正本

疑点清源]

1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个 特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运 用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子 集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到 集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=? 和 A≠?两种可能的情况.

3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元 素 0 的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个 元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合. ??{0}, ??{?}, ?∈{?},{0}∩{?}=?.

集合的基本概念
例 1 已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A, 求实数 2 013a 的值;

(1)1∈A,则 a+2,(a+1)2,a2+3a+3 可以分别为 1,但又 要注意它们互不相同. (2)从集合元素互异性的特点分析,它们必须具备两两不等.

例 1 已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A, 求实数 2 013a 的值。 当 a+2=1,即 a=-1 时,
(a+1)2=0,a2+3a+3=1 与 a+2 相同, ∴不符合题意. 当(a+1)2=1,即 a=0 或 a=-2 时,

①a=0 符合要求. ②a=-2 时,a2+3a+3=1 与(a+1)2 相同,不符合题意.
当 a2+3a+3=1,即 a=-2 或 a=-1. ①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意. ②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意.
综上所述,a=0.∴2 013a=1.

探究提高
(1)加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽 略,求解问题时要特别注意. (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

变式训练 1
若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a 9 0或 =________. 8
∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3

9 当 a≠0 时,Δ=(-3) -4a×2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8
2

集合间的基本关系
例 2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.
? ? 1 B=?x|- <x≤2?. 2 ? ?

A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; 在确定集合 A 时,需对 x 的系数 a 进行讨论.利用数轴分 ? ? 4 1? ? x|a≤x<-a?; ②若 a<0,则 A=? ? ? 析,使问题得到解决. ? ? ③若 a>0,则
? ? 1 4? ? ? A=?x|-a<x≤a? . ? ? ?

例 2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围;

? ? 1 B=?x|- <x≤2?. 2 ? ?

当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,
1 ?4 > - ?a 2 则? ?-1≤ 2 ? a 又 a<0,∴a<- 8.

当 a>0 时,若 A?B,如图,

1 ? 1 - ≥ - ? a 2 则? ?4≤ 2 ?a 又∵ a>0,∴ a≥ 2.
综上,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.

(2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

1 ?4 ?a≤-2 则? ?-1>2 ? a

-8≤a<0 ? ? ,∴? 1 . - <a<0 ? ? 2

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2

当 a>0 时,若 B?A,如图,

1 ? 1 ?-a≤-2 则? ?4≥2 ?a

? ?0<a≤2 ,∴? ? ?0<a≤2

.

又∵a>0,∴0<a≤2.
1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2

(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)、(2)知,a=2.

探究提高
在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不 等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论.分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况都要给出问 题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类 讨论;④归纳结论.

方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在 解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言 与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理 转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范 围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借 助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

失误与防范
1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非 空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关 系;二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或 其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算 的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还 是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩ (?UB)=?这五个关系式的等价性.

知识网络

要点梳理
4.重要结论

忆一忆知识要点

? ? A (1) ??? A A??

?

(2) A ? B ? A ? A ? B
(3) A ? ( A ? B) ? A ? A ? ( A ? B)

(4)六个关系式的等价性 (A, B?U)
A? B ? A A? B ? B 痧 UB? U A A ? (? U B) ? ? (? U A) ? B ? U

A? B ?

要点梳理
(5) 易混的解集 {x| y=f(x)}

忆一忆知识要点

{y| y=f(x)} {(x,y)| y=f(x)}
{x| f(x)=0} {x| f(x)<0}

定义域 值域

点集 方程的解集 不等式的解集

题型一 集合的概念
例1.已知:A={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1}, C={x|x2-2x+1=0}, D={x|(x-1)2<0}, E={(x, y)|y=x2-2x+1}, 则下面结论正确的有??????? ( ② )
①A?B?C?D ③A=E
解析



D 苘C

B? A

④A=B

A=R C={1}

B={ y| y≥0} D=?

E代表抛物线y=x2-2x+1上的点表示的集合

题型一 集合的概念

2 y (1)(10 湖北)设集合 A ? {( x , y ) | x ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } , 4 16 4 则 A∩B 的子集的 个数是 . 2

题型二 集合的运算 例2.设A={x|x>4或x<-2}, B={x|a≤x<a +3}, (1)若A∩B=?,求实数a的取值范围; (2)若A∩B≠?,求实数a的取值范围;
? a ≥ ?2, ? a ≥ ?2, ?? (1) ? ? ?2 ≤ a ≤1. ?a ≤ 1 ?a ? 3 ≤ 4 所以实数a的取值范围 ?2 ≤ a ≤ 1.
-2 4

(2) a ? ?2, 或 a ? 3 ? 4, ? a ? ?2, 或 a ? 1.
所以实数a的取值范围 a ? ?2或 a ? 1.

例2.设A={x|x>4或x<-2}, B={x|a≤x<a +3}, (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (4)若 (痧 ,求实数a的取值范围. R A) ? B ? R A
(3)∵A∩B=B,∴B?A.
-2

4

-2

4

? a ? 3 ≤ ?2或a ? 4, 即 a ≤ ?5或 a ? 4.
所以实数a的取值范围

a ≤ ?5, 或 a ? 4.

(4) ? (痧 R A) ? B ?

? a ≥ ?2, ? ?R A ? {?2 ≤ x ≤ 4},? ? ?a ? 3 ≤ 4

R

A, ? B ? ?R A.

所以实数a的取值范围 ?2 ≤ a ≤ 1.

【1】 A={ x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A, m≤3 则m的取值范围是_________.
解:若B ? ?, 即m ? 1 ? 2m ?1,?m ? 2. ? ? A成立.
?m ? 1 ≤ 2m ? 1, ? 由题意得 ??2 ≤ m ? 1, 若B ? ?, 得 2 ≤ m ≤ 3. ?5 ≥ 2m ? 1 ?

∵{m|m<2}∪{m|2≤m≤3}={m|m≤3}.
即m的取值范围是 m ≤ 3.
A -2

?

? m+1

B

? 2m- 1

?
5

解题是一种实践性技能 , 就像游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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