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2014届高考数学一轮复习 第5讲《单调性》热点针对训练 理


第5讲

函数的性质?

一?

——单调性

1.(2013·吉林市期末质检)下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是( C ) 1 1 A.y=log x B.y= 2 x 2 C.y=sin x D.y=x -x 2.(2013·安徽宿州模拟)若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=

b x

ax2+bx 在(0,+∞)上是( B )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增

b x 所以 a<0 且-b>0,即 a<0,b<0,
2

解析:因为 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,

则函数 y=ax +bx 对称轴方程为 x=- <0,且图象开口向下,故函数 y=ax +bx 的 2a 减区间为[- ,+∞), 2a 2 所以 y=ax +bx 在(0,+∞)上是减函数,故选 B. 3.(2012·广东省肇庆市第二次模拟)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函 数,且满足 f(3x-2)<f(1),则实数 x 的取值范围是( B ) 2 A.(-∞,1) B.( ,1) 3 2 C.( ,+∞) D.(1,+∞) 3
?3x-2>0 ? 解析:由题意知? ? ?3x-2<1

b

2

b

?x>2 ? ,即? 3 ?x<1 ?



2 所以 x∈( ,1),故选 B. 3 4.(改编)若函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是 ( C ) A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 解析:因为 f(x)=|x|在区间[0,+∞)上为增函数,而 f(x)=|x-a|的图象是由 f(x) =|x|的图象向左(右)平移|a|个单位得到的,所以 f(x)=|x-a|在区间[a,+∞)上为增函 数,由题意可知 a≤1,故选 C. 1 3 2 5.函数 y=( )2x -3x+1 的递减区间为 [ ,+∞) . 2 4 3 2 1 2 解析:因为 t=2x -3x+1=2(x- ) - , 4 8 3 3 2 所以 t=2x -3x+1 在[ ,+∞)上是增函数,(-∞, ]上是减函数, 4 4 1 t 又 y=( ) 在 R 上是减函数, 2 1 3 2 所以 y=( )2x -3x+1 在[ , +∞)上是减函数. 2 4 2 6.(1)函数 y=x +bx+c 在[0,+∞)上递增,则 b 的取值范围是 b≥0 ;

1

(2)函数 y=x +bx+c 的单调增区间是[0,+∞),则 b 的值为 0 .
x ? x>1? ?a ? 7.(2013·日照市模拟)若 f(x)=? a ?? 4-2? x+2 ? x≤1? ?

2

是 R 上的单调递增

函数,则实数 a 的取值范围为 [4,8) . 解析:因为 f(x)是 R 上的增函数,

?4-a>0 ? 所以? 2 a ?4-2+2≤a ?
a>1

,解得 4≤a<8.

8.(2012·山东省德州市期末考试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数满足 f(- 3)=2,且对任意的实数 a∈R 有 f(-a)+f(a)=0 恒成立. (1)试判断 f(x)在 R 上的单调性,并说明理由; 2-x (2)解关于 x 的不等式 f( )<2.

x

解析:(1)由 f(-a)+f(a) =0 可得 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 由 f(-3)=2,得 f(0)<f(-3), 又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)为 R 上的减函数. 2-x 2-x 2-x (2)因为 f(-3)= 2,所以 f( )<2 等价于 f( )<f(- 3),又 由(1)可得 >

x

x

x

-3,即

x+1 >0, x 解得 x<-1 或 x>0,
所以,不等式的解集为{x|x<-1 或 x>0}. (a≠0)在(-1,+∞)上的单调性,并证明. x+1 解析:当 a>0 时, 函数 y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,函数 y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 证明:设-1<x1<x2,则 ax1 ax2 f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 ax1? x2+1? -ax2? x1+1? = ? x1+1? ? x2+1? a? x1-x2? = . ? x1+1? ? x2+1? 因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0, 所以当 a>0 时,f(x1) -f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 y=f(x)在(-1,+∞)上是增函数, 又当 a<0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以函数 y=f(x)在(-1,+∞)上是减函数. a 或用导数法:因为 f′(x)= 2(x>-1), ? x+1? 当 a>0 时,f′(x )>0,f(x)在( -1,+∞)上递 增; 当 a<0 时,f′(x)<0,f(x)在(-1,+∞)上递减. 9.判断函数 f(x)=

ax

2

3


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