tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学基础知识与典型例题(必修4)


数学基础知识与典型例题
三角函数 1.①与 ? 终边相同的角 ? 的集合:__________________________ 角 的 概 念 ②第一象限角的集合:_____________________________ 2.角度与弧度的互换关系:______________________ 3.弧长公式:____________ 扇形面积公式:___________

__ 例 1.已知 ? 为第三象限角,则 在的象限是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 例 2. 已 知 角 ? 的 终 边 经 过 点 P(4,?3) ,求 2 sin ? ? cos ? 的值.

? 所 2

1.三角函数定义:在角 ? 终边上任取一点 P( x, y) (与原点不重合) ,记

r?

x 2 ? y 2 ,则 sin ? ? ____, cos? ? ____, tan? ? ____

2.各象限角的三角函数值符号: 一全二正弦,三切四余弦

例 3. 若 ? 是 第 三 象 限 角 , 且

cos
三 角 函 数 的 定 义

?

? ? ? ? cos ,则 是( 2 2 2

)

(A)第一象限角(B)第二象限角 (C)第三象限角(D)第四象限角

sin ?

cos?

tan?

例 4.若 cos ? ? 0, 且 sin 2? ? 0,

则角? 的终边所在象限是( (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限



例 5.化简:① 1 ? sin 2 440? 1.同角三角函数基本关系:_________________________________ 2.诱导公式: 公式(一) 公式(二) ②

sin( 2k? ? x) ? _______; cos( 2k? ? x) ? _______; tan(2k? ? x) ? _______;
公式(三)

sin( ? x) ? _________; cos( ? x) ? ________; tan(? x) ? _________;
公式(四)

sin(? ? ? ) cos(

3? ? ? ) tan(?? ? ? ) 2 5? tan(4? ? ? ) sin( ? ? ) 2

③ cos?

? 3 sin ?

sin(? ? x) ? _________; cos(? ? x) ? _________; tan(? ? x) ? _________;

sin(? ? x) ? _________; cos(? ? x) ? _________; tan(? ? x) ? _________;
例 6.已知点 P( cos ? ,sin ? ) 在直线

2 x ? y ? 0 上, 试求下列各三角函数
式的值:

1

公式(五)

公式(六)

sin(
三 角 函 数 公 式

3? ? x) ? _________: 2 3? cos( ? x ) ? _________: 2

sin(

3? ? x) ? _________: 2 3? cos( ? x ) ? _________: 2
公式(八)

(1) tan ? (2) 3sin ? ? 4cos ? .
2 2

公式(七)

sin(

?
2

? x) ? _________: ? x) ? ________;

sin(

?
2

? x) ? ________: ? x) ? ________;

例 7. 设 ? ? (0,

3 ? ) ,若 sin ? ? , 则 2 5
) ?( )
(C)

cos(

?
2

cos(

?
2

2 cos( ? ?
(A)

?
4

3.两角和与差公式:

7 5

(B)

1 5
?

7 2

(D)4

sin(? ? ? ) ? _______________________________; cos(? ? ? ) ? _______________________________; tan(? ? ? ) ? _______________________________;
4.二倍角公式:

例 8. sin 163

sin 223? +
)

sin 253? sin 313? ? (
( A) ? 1 2 (B) 1 2

(C) ?

3 2

( D)

3 2

sin 2? ? ________________; tan 2? ? _____________; cos 2? ? ________________ ? ______________ ? ___________;
降幂公式: sin
2

例 9. 已 知 tan? ,
2

tan ? 是 方 程

? ? ____________ cos ? ? __________
2

x ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且 ? ,

注: ⑴变形公式: sin x cos x ?

1 sin 2 x ; 2

? ? (?
(A) ? (C) ?

? ?
2 , 2

则 ? ? ? 等于( ) ),

tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? tan ? ? tan ? ,
⑵三角函数恒等变形的基本策略: ① 常值代换: 特别是用“1”的代换,1 ? sin
2

2 ? 3

(B) ?

2 ? ?或 3 3

?
3

? ? cos2 ? = tan 45?



2 ? 3

(D)

? 3

②角的配凑:用已知角表示未知角

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、

例 10. 求下列各式的值:

??

? ??
2

?

? ??
2

、? ?

? ??
2

?

? ??
2

、 ? ? (? ? ? ) ? ? 、

1 ? tan 75? ① 1 ? tan 75?
②tan17?+tan28?+tan17?tan28?

? ? (? ? 30? ) ? 30? 等
③降次与升次。即倍角公式升次与降幂公式降次。 ④切化弦。 ⑤辅助角公式: 例 11. 已 知 锐 角 ?,? 满 足

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )

3 5 cos?= ,cos(?+?)= ? ,求 cos?. 13 5

2

1.三角函数的性质: 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

一个周期 内的图像

定义域 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 值域 最小正周 期 当且仅当 x=_____________ 函数取最大值 1; 当且仅当 x=______________ 函数取最小值-1; 增区间: 减区间: 当且仅当 x=_____________ 函数取最大值 1; 当且仅当 x=_____________ 函数取最小值-1; 增区间: 减区间: 增区间: 减区间:

最值



单调性 奇偶性 对称轴方 程 对称 中心 2.函数 y ? 函数 y ? 频率是 3.函数 y

Asin(?x ? ? ) ? K 的性质:
,最小值是 ,周期是 ,

的最大值是 Asin(?x ? ? ) ? K(其中A ? 0,? ? 0) ,相位是 ,初相是 ;

? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0, k ? 0) 的图象的作法:
0

⑴五点作图法,列表取点如下:

?x ? ?
x
y

? 2

?

3? 2

2?

⑵由函数 y ? sin x 的图像变换得到函数 y ? 三 角 函 数 ①由函数

Asin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0 ,)图像:

y ? sin x 的 图 像 ____________________ 得 函 数 y ? sin ?x 的 图 像 __________________ 得 函 数

y ? sin(?x ? ? ) 的图像___________________得函数 y ? Asin(?x ? ? ) 的图像_________________得函数 y ? Asin(?x ? ? ) ? k 的图像。
3

②由函数

y ? sin x 的 图 像 ____________________ 得 函 数 y ? sin( x ? ? ) 的 图 像 ______________ 得 函 数

y ? sin(?x ? ? ) 的图像 __________________ 得函数 y ? Asin(?x ? ? ) 的图像 _____________________ 得
函数 y ? 三 角 函 数

Asin(?x ? ? ) ? k 的图像。

注:⑴以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象 . .......... ⑵函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质以函数 y ? sin x 为基础,通过图像变换来把握. 如 y ? sin x

?图像变化为 ?? ?? y ? A sin(? x ? ? ) (A>0, ? >0)相应地,函数 y ? sin x 的单调增区间
变为 ??? ??

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? 2 ? 2 ?
的增区间. 例 12.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin( 2 x ?

?
2

? 2 k? ≤ ? x ? ? ≤

?
2

? 2k? 的解集是函数 y ? A sin(? x ? ? )

?
3

? 的是( 2



) B. y ? tan( 2 x ?

?
3

) C. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

D. y ? tan( 4 x ?

?
6

)


例 13.将函数 y ? sin 4 x 的图象向左平移 A. ?

?

? 12

B. ?

?
3

C.

? 3

? 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象, 则? 等于( 12 ? D. 12


例 14.函数 y ? 2 cos( x ?

? ?

2 )( ≤ x ≤ ? ) 的最小值是( 3 6 3
(C ) ? 1

( A) ? 2

( B) ? 3

( D)1
)

例 15. 若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是( (A) ? ? 1, ? ?

?
3

(B) ? ? 1, ? ? ?

?
3

(C) ? ?

1 ? ,? ? 2 6

(D) ? ?

1 ? ,? ? ? 2 6

1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x 2 2 ⑴求 f ?x ? 的最小正周期; ⑵求 f ?x ? 的单调递增区间。
例 16.已知函数 f ? x ? ?

4

平面向量 1.向量的有关概念 (1)向量:既有_____又有____的量.向量的_______叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)理解零向量、相等向量、单位向量、共线向量、相反向量的概念。 注:①向量不能比较大小,向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量 a 与 b 相等,记为 a ? b ②共线向量又称为平行向量。规定: 0 与任一向量共线. 0 与任一向量垂直。 2.向量的运算 运 算 图形语言 符号语言

?

?

?

?

?

?

坐标语言
???

OA + OB =_____
加法与 减法

???

???

记 OA =(x1,y1), OB =(x1,y2) 则 OA ? OB =_____________

???

??? ? ??? ?

OB ? OA =_____
OA + AB =______
???

???

???

??? ? ??? ? OB ? OA =_______________

???

实数与向 量的乘积

???

AB =λ a ,λ ∈R

?

记 a =(x,y),则λ a =______________ 记 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b =________________
? ?

?

?

?

?

两个向量 的数量积

a ? b ? _________
? ?

注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质 可以简化向量的运算,例如 ( a ± b ) = a ? 2 a? b ? b ,但要注意两个向量的数量积不满足结合律,即
2

?2

? ?

?

2

(a ? b)c ? a(b ? c)
3.运算性质及重要结论: ⑴平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 a ,有且只有一对 实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 ①其中 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的__________; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e1 , e2 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如
' 果 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 且 a ? ?1' e1 ? ?2 e2 ,那么_____________.

?? ?? ? ? ? ?

?

?

? ?

?? ?? ?

?? ?? ?

?

? ?

? ? ?

?

? ?

? ? ?

⑵向量坐标与点坐标的关系: ①当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若 A( x, y) ,则 OA =_______________ ②当向量起点不在原点时,若 A( x1 , y1 )
???

B( x2 , y2 ) ,则 AB =_______________________

???

③中点坐标公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 AB 的中点坐标为__________________ 三角形的重心坐标公式 : ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,则 ?ABC 的重心的坐标 是_______________________

? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a // b ? ______________ ? _________________ ? ? ⑷设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ______________ ? ___________________
⑶设非零向量 a
5

⑸两个向量数量积的重要性质: ①___________________________ (求线段的长度);②____________________________________(求角度)。

注:①____________叫做向量 b 在 a 方向上的投影。数量积的几何意义是数量积 a ? b 等于 a 的模与 b 在 a 方向 上的投影的积. ②若 a =(x,y),则 a =____________;如果 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , ∴________________________________,这就是平面内两点间的距离公式. 练习: 1.河水的流速为 2m/s, 一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸, 则小船在静水中的速度大小为( A.10m/s B.2 26m/s C.4 6m/s
?
?

?

?

?

?

?

?

???? ?

)

D.12m/s
?

2.已知 AM 是 ?ABC 的 BC 边上的中线,若 AB = a , AC = b ,则 AM 等于(
? ? ? ? ? ? ? ?



1 1 1 1 (a - b ) B. ( b - a ) C. ( a + b ) D. ? ( a + b ) 2 2 2 2 ? ? ? ? 3.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( )
A. A. ?3
?

B. ?1
?

C. 1

D. 3
? ?

4.已知向量 a =(4,2), b =( x ,3),且 a ∥ b ,则 x 的值是( A.6 B.-6 C.9 D.12
? ?

)

5.已知向量 a ? (?3,2) , b ? (?1,0) ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( A. ?

)

1 7
?

B.

1 7

C.

1 6

D.

?

1 6
?

6.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | =( A. 7 B. 10 C. 13 D.4



7.已知 a =(3,4), b =(5,12),则 a 与 b 夹角的余弦值为( A.
63 65
?



B. 65
?

C.

13 5
?

D. 13
?

8.已知向量 a , b 满足 a ⊥ b ,| a |=1,| b |=2,则|2 a - b |=( A.0 B.2 2 C.4 D.8
?

)

9.如图, ?ABC 为等腰三角形, ?A ? ?B ? 30 ,设 则表达式为( A. ) B. C. D.



, AC 边上的高为 BD .若用 a, b 表示



10.以 A(2,5),B(5,2),C(10,7)为顶点的三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 11.已知 | a |? 3,| b |? 5, 且a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为( ) 12 A. B.3 C.4 D.5 5
6

12.若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3, x ),满足条件(8 a - b )? c =30,则 x =( A.6 B.5 C.4 D.3
o

?

?

?

?

)

13. 若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

)

14.已知向量 a ? (1,2),b ? (2,?3) , .若向量 c 满足 (c ? a) // b , c ? (a ? b) ,则 c ? ( A. ( , )



7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

15.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 16.已知向量 a ? 3, b ? (1,2) ,且 a

?

?

?

? ? ? b ,则 a 的坐标是____________
0

1 AB =___________ 3

17.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?

?

?

?

?



18.在平面四边形 ABCD 中,若 AB = DC ,且| AB |=| BC |,则四 边形 ABCD 是__________. 19. 已知 a ? 3,
?

??? ?

????

??? ?

??? ?

b

?

且向量 a ,b 不共线, 若向量 a + k b 与向量 a - k b 互相垂直, 则实数 k 的值为 ?4,

?

?

?

?

?

?



20. 已知向量 a ? (cos x,sin x), b ? (? cos x,cos x), c ? (?1,0) .若 x ?

?

?

?

?
6

, 则向量 a 与 c 的夹角为

?

?

; 当

? ? ? 9? x ? [ , ] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1的最大值为 . 2 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 21.已知 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?6, ?4 ? , 则 a ? _____, b ? ______, a 与 b 的夹角的余弦值是_____. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22.已知 a ? 3 , b ? 2 , a 且 b 的夹角为 60 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 的值。

?

??

?

23.已知向量 a ? ?cos A, sin A? , b ? ?? 2,1? ,且 a ? b , ⑴求 tan A 的值;⑵若 f ?x ? ? cos2 x ? tan A sin x

?

?

?

?

?x ? R ?,求 f ?x ? 的值域。 (12 分)

24. 已知向量 a ? ( cos

3 3 x x ? ? x , sin x ), b ? ( cos , ? sin ),且 x ?[- , ]. 3 4 2 2 2 2

(1)求 a ? b 及 a ? b ;(2)若 f ( x) ? a ? b ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值和最小值.

7


推荐相关:

数学基础知识与典型例题(必修4)

数学基础知识与典型例题(必修4)_数学_高中教育_教育专区。人教版数学必修4知识点和典型例题总结,优秀文档 数学基础知识与典型例题三角函数 1.①与 ? 终边相同的角...


必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习

必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习数学基础知识与典型例题 第四章三角函数 1.三角...


必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习

必修4数学三角函数基础知识与典型例题复习_数学_高中教育_教育专区。数学基础知识与典型例题第四章三角函数 弧度数。 1.三角函数定义:利用直角坐标系, 可以把直角三...


高中数学必修4知识归纳 典型试题

自​己​整​理​的​知​识​点​​典​型​的​例​题数学必修 4 知识归纳 一、任意角(逆时针旋转 ? 正角,顺时针旋转 ? 负角)...


高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)

高中数学必修4平面向量知识与典型例题总结(师)_数学_高中教育_教育专区。《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带...


高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析_数学_高中教育_教育专区。必修 3 概率部分...“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 4?...


高中数学必修四——三角函数(知识点总结及经典例题)

高中数学必修四——三角函数(知识点总结及经典例题)...? 3.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)注意隐含...R. 4 4 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最...


高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

评价: 本题重点考察我们对于概率基本知识的理解, 必修 3 概率部分知识点总结 ...2 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6?6 6?6 9 高中数学必修三 ...


新课标人教实验版高二数学必修五(知识点+典型例题讲解)

新课标人教实验版高二数学必修(知识点+典型例题...2RsinB=4RsinA,即 sinB=2sinA. ∵B=A+60° ...在此基础上,通过解三角形,即可求出 CD 的方位角...


高中数学必修四知识点汇总

知识点总结,典型例题分析 第一章 三角函数 1. 正...同角三角函数的基本关系 商的关系【当α ≠kπ +...高中数学必修4知识点汇总... 8页 5下载券 高中...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com