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江苏省无锡市2015-2016学年高二下学期期末考试 数学(理)


江阴市 2016 年春学期普通高中期末考试试卷 f ( x) 高二数学(理科)
命题单位:江阴市教师发展中心 一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分。请直接将答案填在答题卡对应的横线上) 1.设集合 A={ 1,2.3},B={-1,1,3,5},则集合 A∩B = ▲ . 2. 若复数 z 满足 z-2i=zi(其中 i 为虚数单位)。则复数 z

的模为 ▲ . 3.若 3 名学生报名参加数、理、化、生四科竞赛,每人选报 1 项,则不同的报名方式有 ▲ 种(用数字作 答) 4.函数 y= 4 ? 2 x ? log2 ( x ? 1) 的定义域是 ▲ . 5.某篮球运动员投篮投中的概率为 数表示) 6.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个角不大丁 60 度”时,应假设“三角形的 文字作答) 7. ( x ?
2

2 ,则该运动员“投篮 3 次恰好投中 2 次”的概率是 ▲ .(结果用分 3

▲ ” (用

1 ) 的展开式中的常数项为 ▲ . 5 x3

8.已知函数 f ( x) ? ?

?log2 ( x ? 1), x>0
2 ?- x ? 2 x, x ? 0

, 若函数有 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 则实数 m 的取值范围是 ▲ .

9.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) ,满足关系 f ( x) - g ( x) = 2 ,则 f(1)·g(0)的值为 ▲ . 10.有三张卡片的正、反两面分别写有数字 0 和 1.2 和 3.4 和 5,某同学用它们来拼一个三位偶数 ,不同 的个数为 ▲ .

x

11.甲,乙两人参如一次英语口语考试,已知在试题库中任取一题,甲能答对的概率为 率为

2 ,乙能答对的概 3

1 ,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格。则甲、乙两人至少 2
▲ .

有一人考式合格的概率为

m 12.从装有编号为 1,2,3,?,n+1 的 n+1 个球的口袋中取出 m 个球(1≤m≤n,m、n∈N),共有 Cn ?1 种 m 0 m 取法。在这 Cn ?1 种取法中,不取 1 号球有 C1 Cn 种取法;必取 1 号球有 C1 Cn 1 m ?1

种取法,所以

m 1 m ?1 m m m? m C10Cn ? C1 Cn ? Cn ? Cn ?1 ,即 Cn Cn ?1 成立。试根据上述方法,则有当 1≤k≤m≤n,k、m、n∈N 时, 0 m 1 m ?1 m? 2 m? k Ck Cn ? Ck Cn ? CknCn ? ... ? Ckk Cn ?



.

-1-

a2 13.已知函数 f ( x) ? ? x ln x ? ax 在(0,e) 上是增函数,函数 g ( x) =| e ? a |+ ,当 x∈[0,ln3]时, 2
x

函数 g ( x) 的最大值 M 与最小值 m 的差为
10

3 , 则 a= 2



.

14.已知 ?1 ? x? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ....... a10 x10 ,则 a0 ?

a1 a 2 a ? ? ......? 10 ? 2 3 11



.

二、解答题(本大题共 6 题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分〉 对于复数 z1 ? m ? i, z2 ? m ? (m ? 2)i (i 为虚数中单位,m 为实数).

(1)若 z2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围; (2)若 z1 , z2 满足 z2 ? z1 ? ni ,求实数 m、n 的值. ▲▲▲

16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? lg(2 ? x) ? lg(? x) (1)求函数 f ( x) 的解析式及定义域; (2)解不等式 f ( x) <1. ▲ ▲▲

17. (本题满分 14 分) 一个暗箱中有大小相同的 4 只求,其中有 k(k∈N)只白球,其余的为黑球,每次从中取出一只球,取 到白球得 1 分,取到黑球得 2 分,甲从暗箱中有放回地依次取出 2 只球,而乙球是从暗箱中一次性取出 2 只球。

-2-

(1)当 k=2 时,分别写出甲、乙总得分 ? 、 ? 的分布列. (2)试求甲总得分比乙总得分高的概率,并求概率最大时 k 的值. ▲ ▲▲

18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ?3x (1)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求所有的实数 a,使得对任意 x∈[1,2],求函数 f ( x) 的图像恒在函数 g ( x) ? 3x ? 1 图像的下方. ▲ ▲▲

19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ,(a 为常数) (1)当 a=-2 时,求函数的单调区间; (2)若对任意的 x∈[ , e ]时, f ( x) ≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. ▲ ▲▲

1 e

20.(本题满分 16 分)

x 2n ) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a2 n x 2 n (n ∈ N) 2 1 (1)若 a3 ? ? ,求 n 的值; 2
已知 (1 ? (2)当 n=5 时,求系数 ai (i ∈N,i≤2n)的最大值和最小值;

-3-

(3)求证 | an | < ▲ ▲▲

2n (n∈N﹡). 2n ? 1

江阴市 2016 年春学期普通高中期末考试评分标准 高二数学(理科)
一.填空题 1. {1,3} 2. 2 3. 64 4. (1,2] 5.

4 9

6. 三个内角都大于 60 度(可相同意义不同表达) 7.2
m 12. Cn ?k

8.(0,1) 二.解答题

9. ?

3 4

10. 20

11.

47 54

13.

5 2

14.

2047 211 ? 1 (也可写成 ) 11 11

15.(1)因为 z2 在复平面内对应的点位于第四象限,所以 m ? 0, m ? 2 ? 0 ???????2 分 解得: 0 ? m ? 2 . ????????????????????? 5 分 (2)因为 z2 ? z1 ? ni ,所以 m ? (m ? 2)i ? (m ? i)ni , ???7 分 即

? m ? ?n ????????????????????????10 分 ? ?m ? 2 ? m n

消去 n, 解得 m ? 1或m ? ?2 ???????????12 分 所以得 ?

? m ? 1 ?m ? ?2 或? . ????????????????????? 14 分 n ? ? 1 n ? 1 ? ?

16.(1)因为 f ( x ? 1) ? lg(2 ? x) ? lg(? x) , 令 t ? x ? 1 ,则 x ? t ? 1 , 所以, f (t ) ? lg(1 ? t ) ? lg(1 ? t ) , 即 f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ,??????????????????????5 分

由?

?1 ? x ? 0 ,得﹣1<x<1, ?1 ? x ? 0

所以函数 f(x)的定义域是 (?1,1) .??????????????????????7 分

-4-

(2) f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? lg

1? x ? 1 ,??????????????? 10 分 1? x

?1 ? x ? 10, ? 即 ?1 ? x ?????????????????????????????12 分 ? ??1 ? x ? 1,
解得 ?1 ? x ?

9 . 11

??????????????????????????14 分

17.(1)甲总得分 ? 可为 2,3,4.

2 1 1 2 1 1 1 1 P(? ? 2) ? ( ) 2 ? , P(? ? 3) ? C2 ? ? ? , P(? ? 4) ? ( ) 2 ? .?? 3 分 4 4 2 2 2 4 4

? 甲总得分 ? 的分布列:

?
P

2

3

4

1 4

1 2

1 4

????????????????????? 4 分 乙总得分? 可为 2,3,4.

P(? ? 2) ?

2 1 1 2 C2 C2 ? C2 C2 1 2 1 ? P ( ? ? 3) ? ? P ( ? ? 4) ? ? .?? 7 分 , , 2 2 2 C4 6 C4 3 C4 6

?

2

3

4

? 乙总得分? 的分布列:

P

1 6

2 3

1 6

??????????????????????? 8 分 (2)由(1)知当 k ? 2 时,甲总得分比乙总得分高的概率为

P(? ? ? ) ? P(? ? 3) ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 3)
1 1 1 1 1 2 7 ? ? ? ? ? ? ? . 2 6 4 6 4 3 24
???????????????10 分

当 k ? 1 时,甲总得分比乙总得分高的概率为

C1 ? C1 9 3 P(? ? ? ) ? P(? ? 4) ? P(? ? 3) ? ( )2 ? 1 2 3 ? . ????????12 分 4 C4 32
当 k ? 3 时,甲总得分比乙总得分高的概率为

3 1 C32 1 1 1 P(? ? ? ) ? P(? ? 3) ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? C ? ? ? 2 ? ? ? , 4 4 C4 4 4 4
1 2

-5-

比较三者得,当 k ? 2 时甲总得分比乙总得分高的概率达到最大. ??????14 分 18.(1) f ( x) ? x x ? a ? 3x ? ?

? x2 ? (3 ? a) x, x ≥ a, ? 2 ? ?? x ? (3 ? a) x, x ? a,

???????????2 分

a ?3 ? a≥ , ? ? 2 由 f ( x) 在 R 上是增函数,则 ? ???????????????????4 分 ?a ≤ a ? 3 , ? 2 ?
即 ?3 ≤ a ≤ 3 ,所以 a 的取值范围为 ?3 ≤ a ≤ 3 .????????????????6 分 (2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x x ? a ? 1 ,

1 1 1 1 1 , ? ? x ? a ? ,得 x ? ? a ? x ? , x x x x x 1 1 故只要 x ? ? a 且 a ? x ? 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x x 1 1 在 x ?[1, 2] 时,只要 x ? 的最大值小于 a 且 x ? 的最小值大于 a 即可,????8 分 x x
即 x?a ? 而当 x ?[1, 2] 时, y ? x ?

1? 3 1 ? 单调递增,所以 ? x ? ? ? ;?????????11 分 x 2 x ? ?max

当 x ?[1, 2] 时, y ? x ?

1? 1 ? 单调递增,所以 ? x ? ? ? 2 ,??????????14 分 x ?min x ?

所以

3 ? a ? 2 .????????????????????????????16 分 2
'

19.(1) f ( x) 的定义域为(0, ? ? ).当 a ? ?2 时, f ( x) ?

?2 ?1 . x

由 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(2, ? ? );
' 由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,所以函数 f ( x) 的单调递减区间为(0,2); ???? 3 分

(2)解法一: 对任意的 x ? [ ,e] 时, f ( x) ? 0 恒成立,即只需 f ( x)min ? 0 即可。 f ' ? x ? ? 当 a ? 0 时在 ? , e ? 上 f ' ? x ? ? 0 恒成立,即 f ? x ? 在 ? , e ? 上单调递增。所以 e e

1 e

a a?x ?1 ? x x

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

1 1 ?1? 1 f ? x ?min ? f ? ? ? ? a ? 0 ,解得 a ? 。又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 。???6 分 e e ?e? e
当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 得 x ? ?a ?e ? a ? 0 ①当 ? a ?

1 1 ?1 ? ?1 ? 即 ? ? a ? 0 时,在 ? , e ? 上 f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 ? , e ? 上单调递增。所以 e e ?e ? ?e ?

-6-

1 1 1 ?1? 1 f ? x ?min ? f ? ? ? ? a ? 0 ,解得 a ? 。又因为 ? ? a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 。?9 分 e e e ?e? e
②当

1 1 1 令 f ' ? x ? ? 0 得 ?a ? x ? e 。 令 f ' ? x? ? 0 得 ? x ? ?a , 所以 f ? x ? 在 ? ? a ? e 即 ?e ? a ? ? 时, e e e

?1 ? , ?a ? 上单调递减,在 ? ?a, e? 上单调递增。所以 x ? ?a 时 f ? x ? 取得最小值。此时 ? ?e ?

f ? x ?min ? f ? ?a ? ? a ln ? ?a ? ? a ? 0 ,解得,又因为 ?e ? a ? ? ,所以 ?e ? a ? ? 。?12 分
③当 ? a ? e 即 a ? ? e 时,在 ? , e ? 上 f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? , e ? 上单调递减,所以 e e

1 e

1 e

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

f ? x ?min ? f ? e? ? a ? e ? 0 ,解得 a ? ?e ,因为 a ? ?e ,所以 a ? ?e 。
综上可得 ?e ? a ?

???14 分

1 。 e
1 e

???????????????????? 16 分

解法 2:对任意的 x ? [ ,e] 时, f ( x) ? a ln x ? x ? 0 恒成立, 即对任意的 x ? [ ,e] 时, a 令u ?

1 e

ln x ? 1 ? 0 恒成立;?????????????? 6 分 x

ln x 1 ? ln x 1 ? 0 恒成立; , x ? [ , e] 则 u ? ? x x2 e ln x 1 1 所以 u ? 在 [ , e ] 上单调递增;则 u ? [ ?e, ] ????????????????10 分 x e e 1 所以对任意 u ? [ ?e, ] , au ? 1 ? 0 ; e 1 1 令 g (u ) ? au ? 1, u ? [ ?e, ] 则 g (u ) 的最小值为 g (?e)与g ( ) 中较小的一个; e e ? g (?e) ? 0 ? ?? ae ? 1 ? 0 ? 当且仅当 ? 1 时,即 ? a 时,题设不等式恒成立;??????? 14 分 ?1 ? 0 g( ) ? 0 ? ? ? e ? e 1 即: ?e ? a ? ????????????????????????????16 分 e 1 1 3 1 3 20.(1)若 a3 ? ? ,则 C2 n ( ? ) ? ? , 2 2 2
即 2n ? 3n ? n ? 6 ? 0 ,
3 2

所以 (n ? 2)(2n ? n ? 3) ? 0 ,
2

所以 n ? 2 . (2)当 n ? 5 时, (1 ? ) 其中 ai ? C10 (? ) ,
i i

?????????????????????? 2 分

x 2

10

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a10 x10 ,
?????????????????????? 4 分

1 2

-7-

假设系数 ak 最大,则有

? k 1 k k ?1 1 k ?1 C10 ( ) … C10 ( ) , ? ? 2 2 ? k ?1 1 k ?1 ?C k ( 1 ) k … C10 ( ) , 10 ? ? 2 2

k 解得 剟

8 3

11 ,即 k ? 3 , ????????? 6 分 3

3 3 所以当 k ? 3 时, a3 ? C10 (? ) ? ?15 最小,

1 2

1 45 1 4 105 2 4 a2 ? C10 (? ) 2 ? ? a2 ,所以 a4 最大.?????? 8 分 , a4 ? C10 (? ) ? 2 4 2 8

2n 1 n 1 n n (3)因为 an ? C2 n (? ) , 所以 an ? C2 n ( ) , 所以要证 an < , 2n ? 1 2 2
n

只要证 C2 n ( ) ?
n n

1 2

2n 4n n ,即证 C2 n ? 成立. ?????????? 10 分 2n ? 1 2n ? 1
4 ? 2 ,所以左边 ? 右边成立; ?????? 11 分 3

1 当 n ? 1 时,左边 ? C2 ? 2 ,右边 ?

假设当 n ? k (k ? N* ) 时, C2 k ?
k

4k 成立, ????????????? 12 分 2k ? 1

则当 n ? k ? 1 时, C2 k ? 2 ?

k ?1

(2k ? 2)! (2k ? 2)(2k ? 1)(2k )! ? (k ? 1)!? (k ? 1)! (k ? 1) 2 ? k !? k !

2 ? (2k ? 1) 4k 2k ? 1 ? 4k ?1 ? ? ? (k ? 1) 2k ? 1 4k 2 ? 8k ? 4
? 2k ? 1 ? 4k ?1 4 k 2 ? 8k ? 3 ? 4k ?1 ? 2k ? 3 4 k ?1 . ????? ?14 分 2( k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时也成立,

4n 2n 则C ? 成立,即 an ? 成立. ?????????????????16 分 2n ? 1 2n ? 1
n 2n

-8-


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