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名师专题之 三角函数 第一讲 三角函数(李华)


三角函数
知识体系

角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 三角函数 同角三角函数基本关系 诱导公式

三 角 函 数
三角函数的图象和性质 y=sinx, y=cosx 的图象和性质

y=tanx 的图象和性质 y=Asin( ? x+ ? )的图象 y=Asin( ? x+ ? )的应用 两角和与差的三角函数 两角和与差的正弦、余弦、正切 二倍角的正弦、余弦、正切

正弦定理

正弦定理的变形 形式

解三角形 余弦定理 余弦定理的变形 形式

解 三 角 形

应用举例

测量实习

1

第一讲
知识网络

三角函数
应用

弧长与扇形 面积公式
应用

同角三角函数 的基本关系式

诱导 公式

应用

计算与化简 证明恒等式

角的概念的推广

角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

三角函数

考纲要求
1、了解任意角的概念. 2、了解弧度的意义. 3、能正确地进行弧度与角度的换算. 4、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义. 5、掌握同角三角函数的基本关系式. 6、掌握正弦、余弦的诱导公式.

1.1 任意角和弧度制
? 考点精析

一、角的概念的推广
1.角的概念的推广 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角(positive angle),按顺时针方向旋转形成的角叫负角 (negative angle).如果一条射线没有作任何旋转,就称它形成了一个零角(zero angle).这样, 零角的始边与终边重合.一般情况下,角的始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点. 2.正确理解直角坐标系中的几种角 (1)象限角:指始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,而终边落在某个象限内的 角(注意:终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角) .

2

由象限角不难理解区间角和区域角了.区间角是指介于两个角之间的角的集合,如

30? ? x ? 150? . 区 域 角 是 介 于 某 两 条 终 边 之 间 的 角 的 集 合 , 如

30? ? k ? 360? ? ? ? 90? ? k ? 360? . k ? Z ,显然区域角是无数个区间角的集合,而且象
限角可以用区域角来表示. 注意:如果角的顶点不与坐标原点重合,或者角的始边不与 x 轴的非负半轴重合,则不 能判断角在哪一个象限,也就是它不能称做象限角. (2)轴线角:终边落在坐标轴上的角.如 ? 的终边在 x 轴的正半轴,则 ? ? k ? 360 ;
?

(以上 k ? Z ) . ? 的终边在 x 轴,则 ? ? k ?180? ; ? 的终边在坐标轴上,则 ? ? k ? 90? , (3)终边相同的角:具有同一终边的角的集合,与角 ? 终边相同的角可用集合表示为 { ? ∣ ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z } . 二、弧度制的应用 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角; 用弧度作为单位来度量角的单位制 叫做弧度制,在弧度制下,1 弧度记做 1rad ,读作弧度. 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0.如 果半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,那么,角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 里, ? 的正负由角 ? 的终边的旋转方向决定. 1.角度与弧度之间的转化 (1)将角度化为弧度

l ,这 r

3 6 0? ? 2r a d ; 1 8 ?0 ? r a; d1 ?
(2)将弧度化为角度

?
180

rad ? 0.01745rad .

? 180 ? / 2? r a d? 3 6 0 ; ? rad ? 180 ; 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18 . ? ? ?
注意:①“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制度.引进了弧度制,使得每一个角都 对应一个实数(即这个角的弧度数) ,反过来每一个实数都对应一个弧度数(角的弧度数等 于这个实数) ,从而角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.因此角的几何表示可以在 坐标系中以终边位置描述,也可以用数轴上的点描述(即其弧度数对应实数所对应的点) . ②用弧度制表示角时, “弧度”二字可以省略不写,但用角度表示时, “度” (或“ ” )
3

不能省略.在同一个式子中,两种单位不能混用. 2.弧长公式和扇形面积公式 在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式分别为

1 1 l ? ? ? R; S ? l ? R ? ? ? R 2 . 2 2 l 注意:①用公式 ? ? 求圆心角时,应注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值,具体 r
应用时,既要注意其大小,又要注意其正负. ②使用弧度制下的弧长公式、 扇形面积公式有诸多优越性, 但是如果已知的角是以 “度” 为单位,则必须先把它化成弧度后再计算,这样可避免计算过程或结果出错.

?

典例探究

考点 1:角的概念的推广 (1)角的概念问题 正确理解任意角的概念,应从运动思想去认识,抓住终边的旋转方向及是否转动. 例 1 设 A ? {小于 90 的角}, B ? {第一象限的角},则 A
?

B?(



A .{锐角} B .{小于 90? 的角}
?

C .{第一象限的角}

D .以上都不对

解 小于 90 的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一 象限的角,所以 A 答案 D 名师点拨:小于 90 的角不都是锐角,它还包含有零角、负角,只有小于 90 的正角才是锐 角. 牛刀小试 1:下列有关角的说法正确的是( )
? ?

B 是由锐角和终边在第一象限的负角组成,故上述 A 、 B 、 C 都不对.

A .小于 90? 的角是锐角

B .第一象限的角是锐角 D .第一象限的角可以比第二象限的角大

C .第一象限的角比第二象限的角的要小
(2)象限角问题

下面是在平面直角坐标系中象限角的集合的表示方法:
? ? ? 第一象限角的集合为 x k ? 360 ? x ? k ? 360 ? 90 , k ? Z ; ? ? ? ? 第二象限角的集合为 x k ? 360 ? 90 ? x ? k ? 360 ? 180 , k ? Z ;

?

?

?

?

4

0 0 0 0 第三象限角的集合为 x k ? 360 ? 180 ? x ? k ? 360 ? 270 , k ? Z ; 0 0 0 0 第四象限角的集合为 x k ? 360 ? 270 ? x ? k ? 360 ? 360 , k ? Z .

?

?

?

?

例 2 已知角 ? 是第二象限角,求: (1)角

? 是第几象限的角; (2)角 2? 终边的位置. 2

分析:依据已知条件先得出角的范围,再讨论 k 值确定象限角. 解: (1)∵ k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ?180 ,∴ k ?180 ? 45 ? 当 k 为偶数时, 即:

?
2

? k ?180 ? 90 ;

? 为第一或第三象限角. 2

? ? 在第一象限;当 k 为奇数时, 在第三象限, 2 2

(2)∵ 2k ? 360 ?180 ? 2? ? 2 k ?360 ?360 ,∴ 2? 的终边在下半平面. 名师点拨:已知单角 ? 的象限,求

?
2



?
3

、2 ? 等角的范围问题,通常先把 ? 角的范围用

不等式表示出来,再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围,对 k 的取值进行讨论,确定 出所在象限. 另外,由 ? 所在象限,确定

? 所在象限的方法是:可先将各个象限 n 等分,从第一象 n
?
n

限离 x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1,2,3,4,直到将所有区域标 完为止.如果 ? 在第几象限,则 限2等分, 若 ? 在第一象限, 则 图 1-1-2,若 ? 在第三象限,则 推. 就在图中标号为几的区域内.如图 1-1-1 所示,将各象

? ?
3 2

就在图中标号为1的区域内, 即一、 三象限的前半区域. 如 就在图中标号为3的区域内,即一、三、四象限.依次类

1350 4

y

450

y
143 2 2 1 3 O 4 4 3 12

450

3 2 1 O 1 4 2 3

x

x

2250
牛刀小试 2:若 ? (3)轴线角问题

3150 图 1-1-1 ? 是第一象限角,求 是第几象限角.

图 1-1-2

3

5

下面是在平面直角坐标系中轴线角的集合的表示方法:
0 终边落在 x 轴的非负半轴上,角的集合为 x x ? k ? 360 , k ? Z ; 0 0 终边落在 x 轴的非正半轴上,角的集合为 x x ? k ? 360 ? 180 , k ? Z ; 0 终边落在 x 轴上,角的集合为 x ? k ?180 , k ? Z ; 0 0 终边落在 y 轴的非负半轴上,角的集合为 x x ? k ? 360 ? 90 , k ? Z ; 0 0 终边落在 y 轴的非正半轴上,角的集合为 x x ? k ? 360 ? 90 , k ? Z ; 0 0 终边落在 y 轴上,角的集合为 x x ? k ?180 ? 90 , k ? Z ; 0 终边落坐标轴上,角的集合为 x x ? k ? 90 , k ? Z .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

注意:象限角与轴线角的集合表示并不唯一,也还有其它的表示形式.如终边落在 y 轴
0 0 的非正半轴上,角的集合也可表示为 x x ? k ? 360 ? 270 , k ? Z .

?

?

例 3 集合 M ? {x | x ? k ?180? , k ? Z} , N ? {x | x ? k ? 900 , k ? Z} ,则集合 M 与集合 N 之间的关 系是( )

A.M ? N

B .M ? N

C .M ?N
?

D .M ? N

解:集合 M 表示的是角的终边在 x 轴上的角的集合,集合 N 表示的是角的终边在坐标轴上 的角的集合,所以 M ? N .
?

答案 C . 名师点拨: 对于终边为 x 轴的角的集合, 终边为 y 轴的角的集合, 终边为坐标轴的角的集合, 要记熟记牢. 牛刀小试 3:已知角 ? 、 ? 的终边相同,那么 ? ? ? 的终边在( )

A . x 轴的非负半轴上

B . y 轴的非负半轴上 D . y 轴的非正半轴上

C . x 轴的非正半轴上
(4)终边相同的角 所 有 与 角

? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合

S ? ?? ? ? ? ? k ? 3600 , k ? Z ? ,即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数
个周角的和.
6

例 4 与 ?457 角终边相同的角的集合是(
0



A . ? ? ? k ? 3600 ? 457 0 , k ? Z

?

?

B . ? ? ? k ? 3600 ? 97 0 , k ? Z

?

? ?

C . ?? ? ? k ? 3600 ? 2630 , k ? Z ?

D . ? ? ? k ? 3600 ? 2630 , k ? Z

?

0 0 0 解析 1:∵当 k ? ?2 时,有 ?457 ? ?2 ? 360 ? 263 .

解析 2:∵ ?457 角与 ?97 角终边相同,又 ?97 角与 263 角终边相同,
0
0 0

0

∴ 263 角与 k ? 360 ? 263 角终边相同.
0
0 0

解法 3:由于 ?457 角与 ?97 角终边相同,易知应排除 A 、 B 、 D .
0
0

答案 C . 名师点拨:终边相同角的概念是最重要的概念之一,它对定义任意角的三角函数,求任意角 的三角函数值等都有重要作用.在描述终边相同角的集合时,要注意以下几点: ① ? 为任意角; ② k ? 360 与 ? 之间是“+”号, k ? 360 ? ? 可理解为 k ? 360 ? ? ?? ? ;
0 0

0

③相等的角,终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们 相差 360 的整数倍; ④ k ? Z 这一条件不可少. 牛刀小试 4:已知 0 ? ? ? 2? ,且 ? 与 7? 终边相同,则 ? 的值为( )
0

A . 60? 、 120?

B . 60? 、 120? 、 180? 、 240? 、 300? D . 45? 、 90? 、 180? 、 135? 、 270?

C . 240? 、 300?
考点 2:弧度制的应用

(1)角度与弧度互化问题 引入弧度制后, 对任意角都有唯一的实数与之对应.用角度制与弧度制度量任一非零角, 单位不同, 量数也不同, 角度与弧度的互化是以周角的弧度数与角度数为载体实现的.另外, 若保留单位应写成 ? rad. 例 5 ①将 112 30 化为弧度;②将 ?
0 /

5? rad 化为度. 12

分析:弧度制与角度制是度量角的两种制度,应熟练掌握它们之间的换算关系. 解:①∵ 1 ?
0

?
180

rad ,∴112030/ =

?
180

? 112.5rad ?

5? rad . 8
7

②∵ 1rad ? ?

5? ? 180 ? ? 5? 180 ? 0 ? ,∴ ? 12 rad ? ? ? ? ? ? ?75 . ? ? ? ? 12 ? ?

0

0

名师点拨:弧度制和角度制一样,只是一种度量角的方法,弧度制与角度制相比有一定的优 点.其一是在进位上,角度制在度、分、秒上是 60 进位制,不便于计算,而弧度制是十进 位制,给运算带来方便;其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上,弧度制下的公式远比 角度制下的公式简单,运用起来方便. 牛刀小试 5: ①设 ?1 ? ?5700 ,?2 ? 7500 , 用弧度制表示它们, 并指出它们各自所在的象限.
0 0 ②设 ?1 ? ? , ? 2 ? ? ? ,用角度制表示它们,并在 ?720 ~ 0 范围内找出与它们有相同

3 5

7 3

终边的所有角. (2)弧长、扇形面积有关的问题 运用弧长公式与扇形面积公式时应熟悉:

n? r n? r 2 1 1 ? ? ? r ; ②扇形面积公式: S ? ? l ? r ? ? ? r2 . ①弧长公式: l ? 180 360 2 2
两者相比较,在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式具有更为简单的形式,其记忆和应 用更方便.由于角的度量制度不同,所以对应着不同的弧长、面积公式.在不同的条件下应 灵活运用不同形式的弧长、面积公式求解有关问题. 例 6. 已知一扇形中心角为 ? ,所在圆半径为 R. ①若 ? ?

?
3

,R=2cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积;

②若扇形周长为一定值 C(C>0),当 ? 为何值时,该扇形面积最大,并求此最大值. 分析:记准、记熟弧长公式、扇形面积公式是解题的关键. 解:①设弧长为 l ,弓形面积为 S,

2? (cm) 3 3 1 2? 1 2? S弓 ? S扇 ? S ? ? ? ? 2 ? ? 2? 3 ? ( ? 3)(cm) . 2 3 2 3 C ②扇形周长 C ? 2 R ? l ? 2 R ? ? R , ∴ R ? . 2 ?? l ?| ? | r ? ? 2cm ?

?

1 1 C 2 C2 1 C2 2 ) ? ? ? ∴ S扇 ? ? R ? ? ( 2 2 2 ?? 2 ? ? 4 ? 4 16

?

8

当且仅当 ? ?

4

?

,即 ? ? 2 时,扇形面积最大为

C2 . 16

牛刀小试 6:解答下列各题 (1)已知扇形的周长为 10cm ,面积为 4cm ,求扇形圆心角的弧度数; (2)已知一扇形的圆心角为 72 ,半径等于 20cm ,求扇形的面积.
0

2

(3)用弧度数描述角的终边所在区域 角用弧度表示后,有关角的集合中的表达也可用弧度来表示,方法是将角度化为弧度. 例 7 写出 y ? ? x( x ? 0) 所夹区域内的角的集合. 分析:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成 ? 与整数个周角的和. 解:当 ? 终边落在 y ? x( x ? 0) 上时,角的集合为 ?? | ? ?

? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? ; 4 ?

当 ? 终边落在 y ? ? x( x ? 0) 上时,角的集合为 ?? | ? ? ?

? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? ; 4 ?

所以,按逆时针方向旋转有集合: S ? ?? | ?

? ?

?
4

? 2k? ? ? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? . 4 ?

名师点拨:把一条直线分成两部分,分别写出它们对应角的集合,最后求并集即可. 牛刀小试 7: 如图 1-1-3, 用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界) .

图 1-1-3

?

名师攻略 本节主要介绍了角的相关概念、象限角、区间角等的表示方法以及弧度及其应用.由于

弧度在应用中有一定的优越性,在今后的学习中,要习惯用弧度表示角或相关计算,同时要
9

注意角度制与弧度的异同点.特别要注意, 在同一个式子中,不要用时出现两种“制度” .这 些望读者在学习过程中注意领会,融会贯通!

?

强化训练 A组

1.将时钟拨慢 10 分钟,则分针转过的弧度数是( A.



? 3

B. ?

?
3

C.

? 5

D. ?

?
5

2.集合 A ? ? | ? ? k ? 90 ? 36 , k ? Z , B ? ? | ?180 ? ? ? 180 A. ?36 ,54

?

?

?

? ,则 A
D.

B 等(



?

?
? ?

B.

??126 ,144 ?
k? ? ? ,k ?Z 2 4
B .M ? N

C.

??126 , ?36 ,54 ,144 ?
? 4 2

??126 ,54 ?
).

3.集合 M ? ? x x ?

k? ? ?, N ? ? ? , k ? Z ?,则有( ?x x ?
C .M ?N
?

A.M ? N

D .M ? N

4.写出-720°到 720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________. 5.已知 ? ?{? | ? ? k ?180? ? (?1) ? 45?} ,则 ? 所在的象限为________________.
k

? ? 1, ?? 6. ? ? 600 ,
等号或不等号连接)

?
3

? ?? ,

?
6

, 则这四个角从大到小的顺序是________________. (用

7.地球赤道的半径是 6370 km ,赤道上 1 所对的弧长是________.(精确到 0.01 km ) 8.已知两角的和为 1 弧度,且两角的差为 ,求这两个角各是多少弧度.

'

9.将下列各角化成 2k? ? ? ?k ? Z ? ,且 0 ? ? ? 2? 的形式,并指出它们是第几象限角: (1) ?1725? ;(2)

64 ?. 3
B组

10.终边在直线 y ? ?

3 x 上的角的集合为( 3



A. ? | ? ? k ? 360 ? 120 , k ? Z C. ? | ? ? k ?180 ? 120 , k ? Z

?

?

B. ? | ? ? k ? 360 ? 150 , k ? Z D. ? | ? ? k ?180 ? 150 , k ? Z

?

?

?

?

?

?
10

11.若弧度为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所夹扇形的面积是( A. cot 1 B.



1 sin 1

C.

12.若 ? 是第二象限角,则 象限角.

? 是第_____象限角,2 ? 的范围是_______, ? ? ? 是第_____ 2 2

1 sin 2 1

D.

1 cos 1

13.在半径为 R 的圆中, 240 的中心角所对的弧长为_________,面积为 2 R 的扇形的中 心角等于_________弧度. 14. 已知一扇形的周长为 40 cm , 当它的半径和圆心角取什么值时, 才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 15.圆弧长度等于其内接正三角形的边长,求其圆心角的弧度数. 牛刀小试答案 1D 解析:角的概念推广了以后,从概念上看,小于 90 的角可以是负角,所以选项 A 不
?
?

?

2

正确;对选项 B ,如角的大小为 390 的角是第一象限的角,但不是锐角,选项 B 不正确; 如角的大小为 390 的角要大于第二象限的角 150 ,所以选项 D 正确.
0 0 分析:由于 ? 是第一象限角,仅想到 0 ? ? ? 90 ,从而得到 0 ?
0

?

?

?
3

? 300 ,得到

? 为第 3

一象限角是错误的. 2.解:∵ ? 是第一象限角,∴ k ? 3600 ? ? ? k ? 3600 ? 900 , k ? Z , ∴

k ? k ? 3600 ? ? ? 3600 ? 300 , k ? Z . 3 3 3

0 当 k ? 3n 时,有 n ? 360 ?

?
3

? n ? 3600 ? 300 , k ? Z ,



? 为第一象限角. 3

0 0 当 k ? 3n ? 1 时, n ? 360 ? 120 ?

?
3

? n ? 3600 ? 1500 , k ? Z ,



? 为第二象限角. 3

0 0 当 k ? 3n ? 2 时, n ? 360 ? 240 ?

?
3

? n ? 3600 ? 2700 , k ? Z ,

11



? 为第三象限角. 3 ? 为第一、二、三象限角. 3

综上可知,

3 A

解析:∵角 ? 、 ? 的终边相同,∴ ? ? k ? 3600 ? ? , k ? Z .

作差 ? ? ? ? k ? 3600 ? ? ? ? ? k ? 3600 , k ? Z , ∴ ? ? ? 的终边在 x 轴的非负半轴上. 4B 解析:由已知有 7? ? 2k? ? ? , k ? Z ,

∴ 6? ? 2k? ,∴ ? ?

k ?. 3

? ? ? ? ∵ k ? Z ,∴当 k ? 1 、2、3、4、5 时, ? ? 60 、 120 、 180 、 240 、 300? 为所求.

5 解:① ?1 ?

?
180

? (-570) ??

25 ? ? ? 2 ? 2? ? ,∴ ? 2 在第一象限. 180 6 6 3 180 0 3 ) ? ? ? 1080 ,与它终边相同的角可表示为 k ? 3600 ? 1080 , k ? Z , ② ? ?( 5 ? 5 3 3 0 0 0 0 ? k ? ? ,∴ k ? ?2, ?1 , 由 ?720 ? k ? 360 ? 108 ? 0 得 ?2 10 10

?2 ?

?

19 5 ? ? ?2 ? 2? ? ? ,∴ ?1 在第二象限, 6 6

? 750 ?

0 0 即在 ?720 ~ 0 范围内与 ?1 有相同终边的角是 ?612 , ?252 .
0 0

同理 ?2 ? ?4200 且在 ?720 ~ 0 范围内与 ? 2 有相同终边的角是 ?60 .
0 0 0

6 解: (1)设扇形圆心角的弧度数为 ? ? 0 ? ? ? 2? ? ,弧长为 l ,半径为 r ,则

l ? 2r ? 10 ,

① ②
2

1 lr ? 4 . 2

将①代入②得 r ? 5r ? 4 ? 0 ,解得 r1 ? 1 , r2 ? 4 . 当 r ? 1 时, l ? 8 ? cm? ,此时 ? ? 8rad ? 2? rad ,舍去; 当 r ? 4 时, l ? 2 ? cm? ,此时 ? ? (2)设扇形的弧长为 lcm , ∵ 72 ? 72 ?
0

2 1 ? rad . 4 2

?
180

?

2? 2? ? 20 ? 8? ? cm ? , ,∴ l ? ? R ? 5 5
12

∴S ?

1 1 lR ? ? 8? ? 20 ? 80? ? cm 2 ? . 2 2 4 2 ? 终边相同的角为 ? ? ,故所求集合为: 3 3

解(1)按逆时针方向,在区间 ?? ? , ? ? 上与角

2 ? S ? {? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z } . 3 6

(2)图中第三象限部分可看成是由第一象限的阴影部分绕原点旋转 所求集合可表示为: S ? {? k? ?

弧度而成的,故

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

(3)所求集合为: S ? {? | 2k? ? ? ? 2k? ?

?

2 或2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z } . 3 3

强化训练答案 1.A 解析: 10 ? 2? ? ?
60

3

2.C 解析:令 ?180 ? k ? 90 ? 36 ? 180 ,则 ?144 ? k?90 ?216 不等式均成立,所对应的角分别为 ?126 , ?36 ,54 ,144 . 3. C 解析:对集合 M 中的整数 k 依次取 0,1,2,3,得角 角的终边相同. 4.解析: ? 708 ,?348 ,12 ,372 .
? ? ? ?

,0,1 ,2 ,当 k ? ?1

时,

? ? 3?
4 2 , , 4

,? ,

5? 3? 7? , , , 4 2 4

?

?

5.第一象限或第二象限 解析:∵ ? ?{? | ? ? k ?180 ? (?1) ? 45 } ,∴可设
0 k 0

? ? k ?1800 ? (?1)k ? 450 , k ? Z ,若 k ? 2n ,则 ? ? 2n ?1800 ? 450 , n ? Z ;若 k ? 2n ? 1 ,
则 ? ? 2n ?180 ? 135 , n ? Z ,故 ? 在第一象限或第二象限.
0 0

6. ? ? ? ? ? ? ? 解析: ? ? 60 ?
0

?
3

?1? ?

?
6



7.1.85 km 解析:∵赤道周长 l ? 2? R ? 2 ? 6370? ? 12740? (km) .

12740? ? 1.85(km) . 360 ? 60 8.分析:设两角的弧度数分别是 x, y 通过列方程组,就可以求出 x, y ,但要注意单位的统一.
又 1 ? 60 ,∴ 1 所对的弧长为
'
'

解:设两角的弧度数分别是 x, y ,因为 1 ?
?

?
180

rad ,

13

1 ? ? x? ? ?x ? y ? 1 ? ? ? 2 360 则依题意,得 ? , ? ,解之得 ? 1 ? x? y ? ? ? y? ? 180 ? ? 2 360 ?
即所求两角的弧度数分别为

1 ? 1 ? ? , ? . 2 360 2 360

9.分析 先把 ?1725? 化成 k ? 360? ? ? ?k ? Z ? 的形式,再用弧度制表示. 解:(1)∵ ?1725? ? ?5 ? 360 ? ? 75 ? ? ?10 ? ? ∴ ?1725? 与

5? 5? 角的终边相同,又∵ 是第一象限角, 12 12

5? , 12

∴ ?1725? 是第一象限角. (2)∵

64 4 64 4 ? ? 20? ? ? ,∴ ? 与 ? 角的终边相同. 3 3 3 3 4 64 ? 是第三象限角. 又∵ ? 是第三象限角,∴ 3 3

10.D 解析:直线的斜率为 k ? ?

3 ,∴直线的倾斜角 ? ? 150 . 3

又∵角的终边可能落在第二象限,也可能落在第四象限, ∴终边落在直线 y ? ?

3 x 上的角的集合为 ?? | ? ? k ?180 ? 150 , k ? Z ? . 3
,则

11.C 解析: 如图,过点 O 作 OC ? AB 于 C ,延长 OC ,交 AB 于

1 AB ? 1 . 2 1 1 ? 在 中, OA ? . sin ?AOC sin 1 1 1 1 1 ∴扇形的面积 S ? | ? | ?OA2 ? ? 2 ? . ? 2 2 2 sin 1 sin 2 1

AD = DB =

,且 AC ?

图 1-1-4 12.第一或第三; (4k? ? ? ;4k? ? 2? )(k ? z); 第四.
14

解析:

? ??

? ?? ? ? ? ; (? +4k? , 2? ? 4k?) ? 2k? , ? ? 2k? ? ,? ? ( ? k? , ? k? ) 是一、三象限角 2? ? 2 4 2 ?2 ?

?
2

? ? ? (?2k? , ?

?
2

? 2k? ) 是四象限角.

13. 4 ? R; 4
3

解析: l ? R ?? ? R ? 240 ? ? 4 ? R , S ? 1 ? l ? R ? 1 R ? R ? ? ? 2 R 2 ? ? ? 4 .
180 3

2

2

0 , 0 ? 2 r, 14. 解: 设扇形的圆心角为 ? , 半径为 r , 弧长为 l , 面积为 S , 则 l ? 2r ?4 ∴l ? 4
∴S ?

1 1 lr ? ? (40 ? 2r )r ? 20r ? r 2 ? ?(r ? 10) 2 ? 100 . 2 2

2 ∴ 当 半 径 r ? 10cm 时 , 扇 形 的 面 积 最 大 , 这 个 最 大 面 积 为 100cm , 这 时

??

4 0? 2 ? 10 ?2( rad . ) 10
a , ?OCD ? 30 0 , 2

15.解:如图所示,设正三角形的边长为 a ,半径为 r ,取 BC 的中点 D. 连接 OD, 则 OD ? BC , OC ? r , CD ?

A

a 3 在 Rt ?ODC 中, cos300 ? 2 ,? r ? a. r 3
? 圆心角弧度数为
a 3 a 3 ? 3,
B

O

D

C

图 1-1-5

?

学习体会 毎节留 80 个字左右的空, 让学生进行学后反思、总结, 旨在培养学习良好的学习 习惯.

15

1.2任意角的三角函数
? 考点精析
一、任意角的三角函数的定义 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为

( x, y ) ,它与原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么
y y 叫做 ? 的正弦(sine),记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做 ? 的余弦(cossine),记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做 ? 的正切(tangent),记作 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x
(1)比值 2.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ( 1 )正弦值 sin ? ? ( y ? 0, r ? 0 ) ; ( 2 )余弦值 cos ? ? ( x ? 0, r ? 0 ) ; (3)正切值 tan ? ? 异号) . 3.三角函数线的定义 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点

y 在第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,在第三、四象限为负 r

x 在第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,在第二、三象限为负 r

y 在第一、三象限为正( x, y 同号) ,在第二、四象限为负( x, y x

P ( x, y ) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边
或其反向延长线交与点 T .

16

y
P

T P A

y

o

M

x

M

o

A

x

T

(Ⅱ) (Ⅰ)

y

T

y
M A

M

o

A

x

o

x

P

P T
(Ⅲ) 图 1-2-1 (Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x y MP AT ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , tan ? ? ? ? ? AT . r 1 r 1 x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线. 说明: (1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余 弦线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单 位圆内,一条在单位圆外. (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原 点指向垂足;正切线由切点指向与 ? 终边的交点. (3) 三条有向线段的正负: 三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值, 与 x 轴或 y 轴 反向的为负值. (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面.
17

二、同角三角函数的基本关系
2 2 根据三角函数的定义, 对任意角 ? , 有 sin ? ? cos ? ? 1 , 当 ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,



sin ? ? tan ? .这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 ? 的正 cos ?

切.

?

典例探究

考点 1:运用三角函数的定义解题
(1)运用三角函数的定义求值 在角度统一的情况下,可以考虑运用三角函数的定义将要求的式子统一成关于 x 、y 、 r 的式子. 例 1 已知角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) ,求

2sin ? ? cos ? 的值.
分析:直接根据三角函数的定义求值.

3 4 ? ? 2; 5 5 3 ?4 2 ? ; 若角 ? 终边过点 P?? 4,3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? ? 5 5 5 ?3 ?4 ? ? ?2 ; 若角 ? 终边过点 P?? 4,?3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? 5 5 ?3 4 2 ? ?? . 若角 ? 终边过点 P?4,?3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? 5 5 5
解:若角 ? 终边过点 P?4,3? ,则 2 sin ? ? cos ? ? 2 ? 名师点拨: 若点 ( x, y ) 是角 ? 终边上异于原点的一点, 求角 ? 的三角函数值只需用定义即可. 牛刀小试 1:已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合. (1)若角 ? 的终边为射线 4 x ? 3 y ? 0( x ? 0) ,求 sin ? (sin? ? cot? ) ? cos (2)若角 ? 的终边在直线 3x ? 4 y ? 0 上,求 sin ? (sin? ? cot? ) ? cos (2)根据三角函数的符号求范围 由三角函数的定义可以判断出三角函数所在象限的符号, 解题时应当先确定角所在的象 限,这样其符号也就确定了. 例 2 设 ? 是第三、四象限角, sin ? ? A. (-1,1) B. (-1, )
2 2

? 的值;

? 的值.

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是( 4?m 3 2
D. ?? 1,



1 2

C. (-1, )

? ?

3? ? 2?
18

?(2m ? 3)(4 ? m) ? 0 2m ? 3 3? ? ? ? ? ?1, 0 ? , ?(2m ? 3)(4 ? m) ? ?1 ,解得: m ? ? ?1, ? . 解析: sin ? ? 4?m 2? ? ?4 ? m ? 0 ?
答案:C.

名师点拨:先确定角所在的象限,然后就知道了三角函数的取值范围,这样就可以建立不等 式了. 牛刀小试2:已知 sin ? ? A. ? 0, 6 ? B. ? 3,9 ?

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 m 的取值范围是( ) , cos ? ? m?5 m?5 2
C. ? 3,9 ? D. ? 6,9 ?

考点 2:运用三角函数线解题 三角函数线可以理解为三角函数的另一定义,要特别注意定义中所给的线段是有方向 的. 例 3 利用三角函数线的定义在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出 角 ? 的集合: (1) sin ? ?

3 ; 2
1 . 2

(2) cos ? ? ?

解: (1)作直线 y ?

3 交单位圆于 A、B 两点,连结 OA、OB, 2

则 OA 与 OB 围成的区域即为角 ? 的终边的范围,故满足条件的角 ? 的集合为

{? | 2k? ?

?

2 ? ? ? 2 k? ? ? , k ? Z } . 3 3

图 1-2-2 (2)作直线 x ? ?

1 交单位圆于 C、D 两点,连结 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图 2

1-2-3 中阴影部分)即为角 ? 终边的范围,故满足条件的角 ? 的集合为

2 4 {? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z } . 3 3

19

图 1-2-3 牛刀小试 3:证明:已知 x ? (0,

?
2

) ,有 sin x ? x ? tan x.

考点 3:同角三角函数的基本关系 (1)运用同角三角函数的基本关系化简 同角三角函数的基本关系为不同三角函数之间的转化提供了依据, 化简时应努力向同一 个函数进行转化. 例 4 化简:已知 ?是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

解: 原式 ?

(1 ? sin ?)(1 ? sin ?) (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) (1 ? sin ?)(1 ? sin ?)
? (1 ? sin ?) 2 1 ? sin ?
2

?

(1 ? sin ?) 2 1 ? sin ?
2

?

1 ? sin ? 1 ? sin ? . ? | cos ? | | cos ? |

? ?是第三象限角, ? cos? ? 0 .
? 原式 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? . ? cos ? ? cos ?

名师点拨:三角函数中的常用的变形技巧有以下几个方向:①注意“1”的代换;②切化弦; ③由繁到简;④化异为同. 牛刀小试 4:(2008 湖北卷理改编) 已 知 函 数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ] ,将函数 1? t 12

g ( x) 化简成 A sin x ? B cos x ? C 的形式.
(2)运用同角三角函数的基本关系证明等式 证明等式所遵循的基本原则是由繁到简,其实和化简是类似的. 例 5 求证:

1 ? 2 sin ? cos ? tan ? ? 1 ? . sin 2 ? ? cos 2 ? tan ? ? 1

分析:注意"1"运用.
20

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ?sin ? ? cos? ? 证明:左边 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?
? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? 右边. sin ? ? cos ? tan ? ? 1

2

名师点拨: 证明简单的三角恒等式. 一般方法有三种: 由繁的一边证到简单的一边; 证明左、 右两边等于同一式子;证明与原恒等式等价的式子,从而推出原式成立.在化简或证明三角 函数式时常用的技巧有: (1) “1”的代换.为了解题的需要有时可以将 1 用“ sin ? ? cos ? ”代替.
2 2

(2)切化弦.等式中出现正弦、余弦和正切函数,一般采用“切化弦”的方法进行证 明.若已知条件中的角多于待求结论中的角可考虑消元法. (3)整体代替.将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式 之间的关系. 牛刀小试 5:求证: 2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? )2 . (3)运用同角三角函数的基本关系求值 已知正切值,通常可以求两种结构的值,一是“一次齐次式” ,一是“二次齐次式” . 例 6 已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?

分析:将所求的式子变成用 tan ? 表示的式子.

sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? 1?
(2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ?
2 2

sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 cos ? cos ? ? ? ? . 2 2 ?1 3 sin ? ?1 cos2 ?
名师点拨:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化. 牛刀小试 6:已知

tan ? ? ?1 ,求下列各式的值: tan ? ? 1

21

(1) .

sin ? ? 3 cos ? ; sin ? ? cos ?

(2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 .
2

(4)由已知 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? cos ? 求值 在“ sin ? ? cos ? ? t ” , “ sin ? cos ? ? m ”之间的转化中一要注意正负的取舍,二要 尽力将所要求的式子能变成含有这些已知结构的部分. 例 7 已知 sin x ? cos x ? m ( | m |? 的值. 分析:已知 sin ? ? cos ? 的值,先求 sin ? ? cos ? 的值,而后将上述两式联合或整体代入. 解:由 sin x ? cos x ? m ,得 1 ? 2sin x cos x ? m ,即 sin x cos x ?
2

sin 3 x ? cos3 x ; sin 4 x ? cos 4 x , 求 ( 1) (2) 2 且 | m |? 1 )

m2 ? 1 . 2

(1) sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3

m2 ? 1 3m ? m3 )? ; 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? (2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2( . 2 2
4 4 2 2

sin 2? 、 名师点拨: 已知 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? cos ? , 可求 sin ? 、 cos? 、tan ? 、cot ? 、 cos 2? 的值,在求解的过程还要注意角的取值对三角函数值的影响.
牛刀小试 7:已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? . 5

(1)求 sin ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 的值; (2)求 sin ? 、 cos? 、 t an ? 的值.

?

名师攻略
关于任意角的三角函数部分的内容, 在高考中主要考查三角函数的化简、 求值与证明问

题.这类问题主要根据已知条件,合理应用基本关系式,有时需要准确判断角的范围以正确 选择所求三角函数值的符号.主要运用“正、余弦化切”的逆向思维解题.

?

强化训练
A组

1.(2008· 深圳市高三年级第一次调研考试)若 ? A.第一象限 B.第二象限

π ? ? ? 0 ,则点 Q(cos ? , sin ? ) 位于( ) 2
D.第四象限
22

C.第三象限

2.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin A.

5? 6

B.

2? 3

C.

5? 3

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小正角是( 3 3 11? D. 6
) D.第四象限角



3.若

cos? 1 ? tan2 ?

?

sin ? 1 ? cot2 ?

? ?1,则 ? 是(

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

4.若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是 A. (0,

?
4

)

B. ( ? , ? )

3 4

C. (

? 5

, ?) 4 4

D. [0,

?

3 ]? [ ?, ? ] 4 4

5.已知 sin ? ? cos ? ? ?

5 ,则 sin ? cos ? ? _________. 4

6.已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为_________. .

7.函数 y ?

sin x | cos x | tan x | cot x | ? ? ? 的值域是_________. | sin x | cos x | tan x | cot x

8.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的三个三角函数值.

cos? , 求 9 . 已 知 方 程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的 两 根 分 别 是 sin ? ,
s i? n ?c o s ? 的值 . 1? c ? o t ? 1? t a n
3 3 4 4 10.已知 sin ? ? cos ? ? 1 ,求 sin ? ? cos ? 和 sin ? ? cos ? 的值.

B组

cos 2 x 11.当 0 ? x ? 时,函数 f ? x ? ? 的最小值为( 4 cos x sin x ? sin 2 x
A.

?



1 4

B.

1 2

C .2

D .4

23

12.已知角 ? 的终边与函数 5x ? 12y ? 0, ( x ? 0) 决定的函数图象重合,则

cos ? ?

1 1 ? = tan ? sin ?

.

13.设 ? 是第三象限角,问是否存在这样的实数 m ,使得 sin ? 和 cos? 是关于 x 的方程

8x 2 ? 6mx ? 2m ? 1 ? 0 的两根?若存在,请求出实数 m ;若不存在,说明理由.
14.设 sin ? ? sin ? ?
2 2

1 1 1 ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ,求锐角 ? , ? 的值. 4 2 2

牛刀小试答案

4 3 3 , cot ? ? ? , cos ? ? , 5 4 5 4 4 3 9 8 2 ? . 所以 sin ? (sin ? ? cot ? ) ? cos ? ? ? (? ? ) ? 5 5 4 25 5
1 解:(1)因为角 ? 在第四象限,所以 sin ? ? ? (2)角 ? 的终边在第二或第四象限. 当角 ? 的终边在第二象限时: sin ? ? 原式= ?

3 4 4 ,cos ? ? ? ,cot ? ? ? , 5 5 3

3 ? 3 4 ? 16 1 ? ?? ? ; 5 ? 5 3 ? 25 5
3 5 4 4 ,cot ? ? ? , 5 3

当角 ? 的终边在第四象限时: sin ? ? ? ,cos ? ? 原式= ? ? ?

3 ? 3 4 ? 16 9 ? ?? ? . 5 ? 5 3 ? 25 5

m?3 ? 0 ? ?1 ? ? m?5 2C 解析: ? ,解得 m ? ?3,9? . 4 ? 2 m ??1 ? ?0 ? m?5 ?
3 证明 如图 1-2-4,在单位圆中作 ?BOA ? x ,过点 B 作切线 BC 交 OA 的延长线于 C , 连接 AB ,作 AD ? OB 于 D, 显然有面积不等式: S?ABO ? S扇形OAB ? S?OBC 即:

1 1 1 ?1? DA ? ?1? AB ? ?1? BC 2 2 2

∴ DA ? AB ? BC ,

24

即: sin x ? x ? tan x.

图 1-2-4

4 解: g ( x) ? cos x ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x ?
? cos x

(1 ? sin x)2 (1 ? cos x)2 ? sin x ? cos2 x sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x . cos x sin x

? 17? ? x ? ? ?, ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ? ?
? g ( x) ? cos x ? 1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? cos x ? 2 . ? sin x ? ? cos x ? sin x
2

5 证明:右边 ? (1 ? sin ? ? cos ? ) ? 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?

? 2(1 ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ) ? 2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ).
6 解:

tan ? 1 ? ?1 ? tan ? ? . tan ? ? 1 2 1 ?3 tan ? ? 3 2 5 (1)原式 ? ? ?? . 3 tan ? ? 1 3 2

(2)原式 ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2sin 2 ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

3sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? 3tan 2 ? ? tan ? ? 2 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1

1 1 3? ? ? 2 13 4 2 ? 1 5 ?1 4

25

7 解: (1)由 sin ? ? cos ? ?

1 可得: 5 1 ; 25

sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?
于是: sin ? cos ? ? ?

12 49 2 , ?sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? ; 25 25

∵ sin ? cos ? ? 0 且 0 ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0 , cos ? ? 0 .

7 . 5 1 7 (2)由 sin ? ? cos ? ? 和 sin ? ? cos ? ? 可解得: 5 5 4 3 4 sin ? ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? . 5 5 3
于是: sin ? ? cos ? ? 强化训练答案 1.D 解析:直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.

2? 3 ?? 3. 2.D 解析:角 ? 在第四象限且 tan ? ? 2? 3 sin 3 1 2 3.C 解析: 1 ? tan ? ? ,原式= cos? cos? ? sin ? sin ? ? ?1 . cos 2 ? cos
?cos? ? 0, sin ? ? 0,?为第三象限角.
4.D 解析: cos 2 x ? 0 , 因此 2 x ? ? ?

? ? ? ? ? ?? ? 2k? , ? 2k? ? , 2 x ? ?0, 2? ? ,? 2 x ? ?0, ? 2 ? 2 ? ? 2?
?3 ? ? ,? ? . ? ?4 ?
2

?3 ? ? , 2? ? . ? ?2 ?

? ?? ? x ? ?0, ? ? 4?

5.解析: (sin ? ? cos ? ) ?

25 ,即: 1 ? 2 sin ? cos ? 16

?

25 9 ,? sin ? cos ? ? ? . 16 32

5 7 6. ? 7 解析: ? 为第四象限角? sin ? ? ? 12 , cos ? ? ,sin ? ? cos ? ? ? 13 13 13 13

26

图 1-2-5 7. ??2,0, 4? 解析: x ?第一象限时, y ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ; x ?第二象限时,y=1-1-1-1=-2; x ? 第三象限时,y=-1-1+1+1=0; x ?第四象限时,y=-1+1-1-1=-2.
? y ? ??2,0,4? .

8.解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , x ? a, y ? 2a . 当 a ? 0时, sin ? ?

y 2a 2a 2 5 , ? ? ? r 5 5|a| 5a

cos ? ?

x a 5a , tan ? ? 2 ; ? ? r 5 5a

当 a ? 0时, sin ? ?

y 2a 2a 2 5 , ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a

cos? ?

x a 5a , tan ? ? 2 . ? ?? r ? 5a 5
sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? sin ? ? cos? sin ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos?

9.解:? 原式 ?

?由韦达定理知:原式?

3 ?1 . 2

2 2 3 3 10.解: sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ?

?

?

? ?sin ? ? cos? ??1 ? sin ? cos? ? ? 1 .


? sin ? ? cos ? ?

2

? 1 ? 2sin ? cos ? ,? sin ? ? cos ? ? 1 , sin ? ? cos ? ? 0
2

? sin 4 ? ? cos 4 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? 2sin 2 ? cos 2 ? =1.
11. D 解析: f ? x ? ?

cos 2 x 1 ? 2 cos x sin x ? sin x tan x ? tan 2 x

?

1 1 ? 2 ? ? tan x ? tan x ? 1? 1 ? ? ? tan x ? ? ? 2? 4 ?
2

27

∵0 ? x ?

?
4

,∴ f ? x ?最小值 ?

1 ?1 1? 1 ?? ? ? ? ?2 2? 4
2

? 4.

12. ?

77 解析:在角 ? 的终边上取点 P(?12,5), 13 12 5 5 1 1 77 r ? 13, cos ? ? ? , tan ? ? ? ,sin ? ? .故 cos ? ? ? =? . 13 12 13 tan ? sin ? 13

13.解析:存在. ? 为三象限角, sin ? ? 0,cos ? ? 0 .

6m ? ? sin ? ? cos ? ? ? ?0? ? ? ? 8 所以 ? ??m?0, ?sin ? ? cos ? ? 2m ? 1 ? 0 ? ? ? 8 ? ?
又 sin ? ? cos ? ?
2 2

9 2 2m ? 1 m ? ?1 16 4

m1 ? 2, m2 ? ?
?m ? 2 .

10 (舍去). 9

14.分析:经过适当的配方,化为若干个平方和等于零,然后求出值来. 解: ? sin

? ?

2

? ? sin ? ? ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? ? ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? ? 0 , 4 4
?
2 2

1? ? ? ?

1?

1? ? 1? 2 ? 即 ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? 0 . 2? ? 2? ?
1 ? ? sin ? ? 2 , ? 1 ? ∴ ? sin ? ? , 2 ? ?sin ? ? sin ? . ? ?
∵ ? , ? 为锐角,∴ ? ? ? ?

?
6



?

学习体会
28

毎节留 80 个字左右的空, 让学生进行学后反思、总结, 旨在培养学习良好的学习 习惯.

1.3 三角函数的诱导公式
? 考点精析

诱导公式 公式一:终边相同角的同一三角函数值相等.

sin(2k? ? ? ) ? sin ? (k ? Z ) ; cos(2k? ? ? ) ? cos? (k ? Z ) ; tan(2k? ? ? ) ? tan? (k ? Z ) .
公式二: ? ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称.

sin(?? ) ? ? sin ? ; cos(?? ) ? cos? ; tan(?? ) ? ? tan? .
公式三: ? ? ? 与 ? 的终边关于 y 轴对称.

sin(? ? ? ) ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? ? cos? ;
29

tan( ? ? ? ) ? ? tan? .
公式四: ? ? ? 与 ? 的终边关于原点 O 对称.

sin(? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? ? cos? ; tan( ? ? ? ) ? tan? .
说明: 2k? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? 的三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前 面加上一个把 ? 看作锐角时原三角函数值的符号. (函数名不变,符号看象限) 公式五: sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ;

cos( ? ? ) ? sin ? . 2
公式六: sin(

?

?

2

? ? ) ? cos ? ;

cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2
说明:

?

?

2

? ? 的正弦(余弦)函数值,分别等于 ? 的余弦(正弦)函数值,前面加上

一个把 ? 看成锐角时原函数的符号. ? 典例探究

考点 1:诱导公式的应用 求任意角的三角函数值的问题, 都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题, 具 体步骤为:

任意角的 三角函数

一个正角的 三角函数

0~2π 间角 的三角函数

锐角的 三角函数

利用诱导公式化简证明,尽量将角统一,首先将负角化为正角. (1)利用诱导公式化简与求值 常见的问题是已知一个角的某个三角函数值, 求这个角其他三角函数值. 要求是能求值 则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母. 例 1 化简sin?

? 4n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ??n ? z ?. ? 4 ? ? 4 ?

分析: 诱导公式一中的角涉及的是 2k? ? ? ? k ? z ? 的形式,但是题设中所涉及的角整理后的
30

形势是: n? ? 奇数.

?
4

? ? .要想通过导公式诱进行运算求值就必须把其中的整数 n 分解为偶数与

解:原式= sin ?n? ? ?

? ?

? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? cos?n? ? ? ? ? ?? ?4 ?? ?4 ?? ?

(1)当 n 为奇数时,设 n ? 2k ? 1?k ? z ? , 则原式= sin ?2k? ? ? ? ?

? ?

? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? cos?2k? ? ? ? ? ? ? ?? ?4 ?? ?4 ?? ?

= sin?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ? cos? ? ? ? ? cos? ? ? ? ? 0 . ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?

(2)当 n 为偶数时,设 n ? 2k ?k ? z ? ,同理可得原式=0. 名师点拨:这种把整数 n 分解为偶数与奇数后,再进行运算的处理方式不但在诱导公式的运 用中经常出现,而且在其它地方也经常应用.前提是运算需用到整数 n ,但独立地对整数 n 进 行运算又达不到目的,这时就需要考虑把整数 n 分解为偶数与奇数后再进行运算.比如集合 中在讨论集合与集合之间的关系问题时,就常常用到这种处理方式. 牛刀小试 1: 已知 ? 是第三象限角,且 f (? ) ? (1)化简 f (? ) ; (2)若 cos( ? ?

sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) tan( ?? ? cot( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

3? ) 2 .

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5

(3)若 ? ? ?1860? ,求 f (? ) 的值. (2)利用诱导公式证明等式 当一些式子中出现多种角度时,要注意观察这些角之间的关系,也就是要从整体上来 把握全局.

13? ? ? 15? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? ?? 7 ? a?3 ? ? 7 ? ? ? 例 2 设 tan ? ? ? ? ? a ,求证: . 22? ? a ? 1 ? 20? ? ? 7? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ?
分析:从角的关系入手,将所求各角用 ? ? 求解.
31

8? 表示,然后利用诱导公式和三角函数关系式 7

? 8? ? ? ?? 8? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? 3cos ?? ? ? ? ? 3? ? 7 ?? 7 ? ? ? ?? ? 证明:左边 ? ? 8 ? ? ? 8 ? ? ? ? ? ? sin ? 4? ? ? ? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? ? ? 7 ?? 7 ?? ? ? ? ? ?
8? ? 8? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? 7 ? 7 ? ? ? ? 8? ? 8? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 7 ? 7 ? ? ? 8? ? ? tan ? ? ? ??3 a ?3 7 ? ? = = =右边. 8? ? a ?1 ? tan ? ? ? ? ?1 7 ? ?
故等式成立. 名师点拨:该例中角的变换是难点,三角函数中许多问题正是通过挖掘角之间的内在联系 获得解决的. 牛 刀 小 试 2 : 试 证 明 存 在 ? ?? ?

? ? ?? , ? , ? ? ? 0, ? ? 使 等 式 ? 2 2?

s i? n ? ? 3? ??

?? ? 2 ?c ?2

? ? s 3 cos ? ?? ? ? ? 2 cos ?? ? ? ? 同时成立. ?o, ?

(3)诱导公式与同角基本函数关系式的综合应用 诱导公式与同角基本函数关系式为化简、求值、证明提供了重要的依据,两者往往结合 起来考查. 例 3 已知 sin(? ? k? ) ? ?2 cos(? ? k? ), (k ? Z ), ⑴ 求

4 sin ? ? 2 cos ? ; 5 cos ? ? 3 sin ? 1 2 sin 2 ? ? cos 2 ? . 4 5



? ? k? ) ? ?2 解:由 sin(? ? k? ) ? ?2 cos(? ? k? ), (k ? Z ), 得 tan(
? tan ? ? ?2


4 sin ? ? 2 cos ? 4 tan ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ; = 5 cos ? ? 3 sin ? 5 ? 3 tan ? ?1

1 2 2 1 2 sin ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1 2 2 2 5 5? 7 . ⑵ sin ? ? cos ? = 4 =4 2 2 2 4 5 25 sin ? ? cos ? tan ? ? 1
名师点拨: 也可以对 k 进行分类讨论, 得到 sin ? ,cos ? 的关系, 再利用 sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2

32

解出 sin ? ,cos ? . 牛刀小试 3:求 ? 名师攻略 诱导公式是进一步学习三角函数的重要基础, 学生在学习时总感觉公式多, 记都记不下 来.事实上,学习的灵魂在于理解.在诱导公式的记忆中,基本上,老师都会提供“奇变偶 不变,符号看象限”的记忆口决.在这个口决中的奇偶指的是结构“ 奇数时,变换时要变函数名称,否则则不变;符号看象限要把“

lgtan1? ? lgtan2? ? … ? lgtan89? 的值. sin 21? ? sin 2 2? ? … ? sin 2 89?

k? ? ? ”中的 ? 看成锐角, 2

k? ” 中的 k ,当 k 为 2

然后再确定变换后的三角函数前的符号. 如果能理解这个记忆口决, 诱导公式根本就不需要 记忆. ? 强化训练 A组 1. sin 210 ? ( ) B. ?

A.

3 2

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2
)

2.如果 A 为锐角, sin(? ? A) ? ? A. ?

1 ,那么 cos(? ? A) ? ( 2

1 2

B.

1 2
?

C. ?

3 2

D.

3 2

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 3.已知 tan ? ? 2 ,则 ?( ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2
A、2 B、-2 C、0



D、

2 3

4.若 cos(2? ? ? ) ?
?

5 ? 且 ? ? (? ,0), 则sin(? ? ? ) ? _________. 3 2
?

5. tan300 ? cot 405 的值为__________. 6.已知 sin( 540 ? ? ) ? ?
?

4 ? ,则 cos(? ? 270 ) ? __________. 5

7.若 ? 为第二象限角,则

[sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 ? __________. tan( 180? ? ? )

33

8.化简 :

sin(1440 ? ? ? ) ? cos(? ? 1080 ?) cos(?180? ? ? ) ? sin(?? ? 180?)
2

9. 已知 sin ? 和 cos? 是方程 5x ? x ? m ? 0 的两实根, 求: (1)m 的值; (2) 当 ? ? (0, ? ) 时,求 cot( (3) sin ? ? cos ? 的值. 3? ? ? ) 的值;
3 3

B组 10. (东莞高级中学 2009 届高三上学期 11 月教学监控测试)

已知 f (? ) ?

sin(? ? ? )cos (2? ? ? ) tan( ?? ? cos (?? ? ? )
B. ?
?

3? ) 2 ,则 f (? 31? ) 的值为( 3



A.

1 2

1 2
?

C.

3 2

D. ?

3 2

11.已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于 ( A. ?

)

a 1? a2

B.

a 1? a2

C. ?

1? a2 a

D.

1? a2 a

12.若 ? 是三角形的一个内角,且 cos( ? ? ? ) ?

3 2

1 ,则 ? =_________. 2

? 13.已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为_________.

14.化简: (1)

? sin(180 ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360 ? ? ) ; tan(? ? 180 ) ? cos(?? ) ? cos(180 ? ? )

(2)

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) . sin(? ? n? ) cos(? ? n? )
牛刀小试答案

1 分析:将角化为自己可以求值时为止. 解: (1) f ?? ? ?

sin ? ? cos ? ? cot ? ? ? cos ? ; ? cot ? ? sin ?

2 ? 1 ? (2) cos ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? , 3 ? 5 ?

? cos ? ? ? 1 ?

1 2 6 2 6 . ?? ,? f (? ) ? ? cos ? ? 25 5 5

34

1 1 (3)? ? ?1860? , cos ? ? cos(?1860? ) ? cos 60? ? ,? f (? ) ? ? cos ? ? ? . 2 2
2. 证明:由条件得 sin ? ?

2 sin ? ①

3 cos ? ? 2 cos ? ②
2 2 联立①、②可得 sin ? ? 3cos ? ? 2 ,∴ sin ? ?
2

1 . 2

又∵ ? ? ? ?

? ? ? ? ?? , ? ,∴ ? ? 或 ? ? ? . 4 4 ? 2 2?
代入②得 cos ? ?

将? ?

?
4

? 3 ,又 ? ? ? 0, ? ? ,∴ ? ? ,代入①可知符合. 6 2 ? 3 ,又 ? ? ? 0, ? ? ,∴ ? ? ,代入①可知不符合. 6 2

将? ? ?

?
4

代入②得 cos ? ?

综上可知,存在 ? ? 3 分析

?
4

,? ?

?
6

满足条件.

通过尝试计算可以发现,分母和分子有相似的规律:左右“对称” .进一步思考会

发现:分子为 0,因此可以不去理睬分母.故解题时,善于寻求规律、运用转换技巧,可以 简化运算. 解:∵tan1° tan89° =tan2° tan88° =?=tan44° tan46° =tan45° =1. ∴tan1° tan2° ?tan88° tan89° =1,即 lgtan1° tan2° ?tan88° tan89° = 0. ∴

lgtan1? ? lgtan2? ? … ? lgtan89? 0 = =0. 2 2 2 2 2 sin 1? ? sin 2? ? … ? sin 89? sin 1? ? sin 2? ? … ? sin 2 89?

强化训练答案 1.D 解析.sin210 = sin 210 ? ? sin 30? ? ?
0

?

1 . 2

2.C 解析: cos(? ? A) ? ? cos A ? ? 1 ?

1 3 . ?? 4 2

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? cos ? 2 2 2 ? ? ? ?2 3.B 解析: ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2
4 . - 2 解 析 : 由 cos(2? ? ? ) ? cos ? 3 知 cos ? ?

?

5 ? 又 ? ? (? ,0), 故 2 3
35

sin(? ? ? ) ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? =- .
5. ? 3 ? 1 解析: tan 300 ? cot 405 ? tan(?60? ) ? cot145? ? ? 3 ? 1 .
? ? 6. ? 4 解析: sin 540 ? ? ? sin 180 ? ? ? ? sin ? , ? sin ? ?

2 3

?

?

5

?

?

?

?

4 , 5

4 cos ?? ? 270? ? ? cos ?? ? 90? ? ? ? sin ? ? ? . 5

? sin ? ? cos ? ? 3 7. ? 解析:原式= 100 tan ?
8.解:原式=

2

? 4 3? ? ? ? 3 5 5? ?? ?? . 4 100 ? 3

2

sin(? ? 4 ? 360?) ? cos(? ? 3 ? 360?) cos[?(180? ? ? )] ? sin[?(180? ? ? )]

?

sin ? ? cos ? cos(180? ? ? ) ? [? sin(180? ? ? )]

=

sin ? ? cos? =-1. (? cos? ) ? sin ?

1 ? ?sin ? ? cos ? ? 9.解: (1) ? 5 , ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
? 2sin ? cos ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? ?
2

12 m 5 24 , ? sin ? cos ? ? ? ? ?m ? ? . . 25 5 12 25

3 ? cos ? 3 (2) cot(3? ? ? ) ? ? cot ? ? ? ?? 5 ? . 4 sin ? 4 5

37 ? 4? ? 3? . (3)sin 3 ? ? cos3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
10. B 解析:

3

3

sin ? cos? cot ? 31? 31? 31? ? ? cos ? ? f (? ) ? ? cos(? ) ? ? cos ?cos? 3 3 3 ? ? 1 ? ? cos(10? ? ) ? ? cos ? ? . 3 3 2 f (? ) ?
? ? ? ?
?

11.B 解析: tan160 ? ? tan 20 ,sin 700 ? ? sin 20 , tan 20 ?

?a 1 ? a2

,

? tan160? ?

a 1 ? a2



36

? ? 12. 30 或150 解析: ? ? ? ?

3 ? ? ? 2k? 或- ? 2k? , 2 3 3 7 3 5 3 ? ? (0, ? ),?? ? ? ? ? ? 150? 或? ? ? ? ? ? 30? . 3 2 3 2

13.-1 解析:

sin 30? ? cos 60? , ? f (sin 30? ) ? f ? cos 60? ? ? cos 3 ? 60? ? ?1 .
sin ? ? sin ? ? tan ? tan ? ?? ? ?1 ; tan ? ? cos ? ? cos ? tan ?

14.解: (1)原式 ?

(2)①当 n ? 2k , k ? Z 时,原式 ?

sin(? ? 2k? ) ? sin(? ? 2k? ) 2 ; ? sin(? ? 2k? ) cos(? ? 2k? ) cos ?

②当 n ? 2k ? 1, k ? Z 时,原式 ?

sin[? ? (2k ? 1)? ] ? sin[? ? (2k ? 1)? ] 2 ?? . sin[? ? (2k ? 1)? ]cos[? ? (2k ? 1)? ] cos ?

?

学习体会 毎节留 80 个字左右的空, 让学生进行学后反思、总结, 旨在培养学习良好的学习 习惯.

本讲总结
1.高考在线 1. (2009 北京理) “? ?

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的 ( 2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

名师点拨:本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断, 属于基础知 识、基本运算的考查.

12 , 则 cos A ? ( ) 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13 cos A 和sin 2 A ? cos 2 A ? 1 , 名师点拨:本题考查同角三角函数关系应用能力,由 cot A ? sin A
2. (2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? 可求出其它的三角函数值.
2 2 3. (2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (



37

A. ?

4 3
2

B.

5 4
2

C. ?

3 4

D.

4 5

名师点拨: sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? 在可知正切值的情况下,看成“二次齐次式”变 形模式,将其分母变成 sin ? ? cos ? ,然后再代入计算.
2 2

4. (2009 全国卷Ⅰ文) sin585 的值为( A. ?

o



2 2

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

名师点拨:本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,是基础题. 5. (2008 四川卷) (tan x ? cot x)cos2 x ? ( A. tan x B. sin x ) D. cot x

C. cos x

名师点拨:此题重点考察各三角函数的关系,顺利解决本题要熟悉三角公式,化切为弦;以 及注意运用 sin 2 x ? cos 2 x ? 1, tan x ?

sin x cos x . , cot x ? cos x sin x


6. (2008 浙江卷)若 cos? ? 2 sin ? ? ? 5, 则 tan ? =( A.

1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ? 2

cos ? ? 0, 名师点拨: 本小题主要考查三角函数的求值问题. 由 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 可知,
两 边 同 除 以

cos?



1 ? 2 tan ? ? ? 5 sec? ,







(1 ? 2 tan ? )2 ? 5sec2 ? ? 5(1 ? tan 2 ? ),
? tan 2 ? ? 4 tan ? ? 4 ? 0 ,解得 tan ? =2,或用观察法.
7. (2009 北京文)若 sin ? ? ?

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

名师点拨:本题主要考查简单的三角函数的运算,属于基础知识、基本运算的考查.

38

2.本讲综合测试 (时间:120 分钟 总分:150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2008 广东揭阳市第一次模拟考试)已知集合 A ? {cos0 ,sin 270 }, B ? {x | x2 ? x ? 0} ,则

A B 为(
A. {0, ?1}

) B. {?1,1} C. {?1} D. {0}

2. (2009 天津河北区复习质量检测二)与 sin1090? 的值相等的是( A. sin 20? B. cos 80? C. cos10? D. sin 80?



3. ( 2010 湖 南 师 大 附 中 第 五 次 月 考 ) 已 知 si n( ? ? ) ?

?

2

3 ? ? 2? ) 的 值 为 , 则 c o s( 5 24 25
)

( A.



24 25

B.

7 25

C. ?

7 25

D. ?

4. (2010 广东省粤西北九校期末联考)已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( A.若 ? 、 ? 是第一象限角,则 cos? ? cos ? B.若 ? 、 ? 是第二象限角,则 tan? ? tan ? C.若 ? 、 ? 是第三象限角,则 cos? ? cos ? D.若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tan? ? tan ? 5. (2009 北京文) “? ?

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x x

6. ( 2010 湖南师大附中第四次月考)已知命题 p : ?x ? (??,0) , 2 ? 3 ;命题 q :

?x ? (0, ), tan x ? sin x ,则下列命题为真命题的是 2
A. p∧q B. p∨(﹁q)

?

( ) D. p∧(﹁q)

C. (﹁p)∧q

7. (2009 湛江市实验中学高三第四次月考)已知 cos? ? ( )

3 ,且角 ? 在第一象限,那么 2 ? 在 5

39

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

8. (2007 北京)如图所示,是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由 4 个相同 的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为 ? , 大正 方形的面积是 1 ,小正方形的面积是 A. 1 B. ?

24 25

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25 7 7 C. D. ? 25 25

) .

9. ( 2010 湖 南 师 大 附 中 高 三 第 三 次 月 考 试 卷 ) 已 知 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

2 3 ,则 3

s i n? ( ?

7? ) 的值是 6





A. ?

2 3 3

B.

2 3 3

C. ?

2 3

D.

2 3

10. (2008 安徽合肥八中学年高二数学期中复习测试)在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且

cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是(
A.直角三角形 B.锐角三角形

) C.钝角三角形 D.等腰三角形

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (2010 湖南长沙市第一中学 2 期末考试)cos 3 的值 等于 0” ) 12 . ( 2010 湖南师大附中高三第三次月考 ) CD 是锐角△ ABC 的边 AB 上的高,且 . (填“大于 0,小于 0,

CD 2 CD 2 ? ? 1 ,则∠A+∠B= AC 2 BC 2

.

13.(2008 广东省惠州市高三第二次调研考试)已知 ? ? ?

3 ?? ? , ? ? ,sin ? ? ,则 5 ?2 ?

tan ? =



14 . (2009

中 山 市 高 三 第 一 学 期 期 末 统 一 考 试 ) 若 tan ? ? 2 , 则
40

sin ? ? cos ? . ? cos 2 ? = sin ? ? cos ? 15 .( 2010 湖 南 长 沙 市 第 一 中 学

2

期 末 考 试 改 编 ) 已 知 函 数 .

f ( x) ? sin

x ?? , g ( x) ? cos( ? ? x) ,则下列判断不正确的是 2

① f ( x ) 与 g ( x) 都是奇函数; ② f ( x ) 与 g ( x) 都是偶函数; ③ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数 ; ④ f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16 .( 2009 安 徽 芜 湖 市 高 一 年 级 模 块 考 试 )( 本 题 共 12 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

sin(k? ? x) cos x tan(k? ? x) ? ? (k ? Z ) ,求 f ( x) 的值域. sin x cos(k? ? x) tan x
1 . 5

17. (2010 江苏省扬州中学第一学期期末考试) (本题共 12 分)已知 sin ? ? cos ? ? (1)求 sin ? ? cos ? 的值; (2)当 0 ? ? ? ? 时,求 tan ? 的值.

18 . ( 2010 温 州 中 学 学 年 第 一 学 期 期 末 考 试 ) ( 本 题 共 12 分 ) 已 知 角 ? 满 足

sin ? ? c o? s ?2; 2 sin ? ? co ?s
(1)求 tan ? 的值; (2)求 sin ? ? 2cos ? ? sin ? cos ? 的值.
2 2

19. (2010 云南昆明市第一中学期末考试) (本题共 12 分)若 cos ? =

2 3

,? 是第四象限角,

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? )


cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )

的值.

20. (2010 湖北孝感高中高一期末考试) (本题共 13 分)已知方程 2x2 ? (1 ? 3) x ? m ? 0 , 两根为 sin ? ,cos ? . (1)求 m 的值; (2)若 ? ? (0.2? ), 求 ? 的值. 21 . (2010 山 东 省 乐 陵 一 中 高 一 数 学 测 试 ) ( 本 题 共 14 分 ) 已 知
41

sin ? ? a sin ? , tan? ? b tan? , 其中 ? 为锐角,求证: cos? ?
高考在线答案 1. A.解析:当 ? ? 反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

a2 ?1 . b2 ?1

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?

?
3

1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

? ? ? k? ?

?

6

?k ? Z ? .
12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

2.D 解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 1 ? (? 5 2 ) 12
2

??

12 . 13

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? 3.D 解析: sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?
2



tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? . 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1
o o o o o o

360 ? 225 ) ? sin( 180 ? 45 ) ? ? sin45 ? ? 4.A 解析: sin585 ? sin(

2 . 2

sin 2 x ? cos 2 x ? sin x cos x ? 2 ? ? cos 2 x 5.D 解析: ? tan x ? cot x ? cos x ? ? ? cos x ? sin x cos x ? cos x sin x ?
2

?

cos x ? cot x . sin x

6.B 解析:“1”的妙用. (cos ? ? 2sin ? )2 ? (? 5)2 ?

cos2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4sin 2 ? ? 5(sin 2 ? ? cos2 ? )
? sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4cos2 ? ? 0

? (sin ? ? 2cos ? )2 ? 0 ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ? tan ? ? 2 .
3 3 ? 4? 2 7. ? 解析:由已知, ? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? . 5 5 ? 5?
2

42

综合测试答案 1. C 解析:∵ A ? {1, ?1}, B ? {0, ?1} ∴ A

B = {?1} .

2.B 解析: sin1090? ? sin(3 ? 360? ? 10?) ? sin10? ? cos80? . 3.B 解析:由 sin(

?
2

??) ?

3 3 ,得 cos ? ? . 5 5
2

所以 cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? 4.D 解析:用特殊值检验可以排除 A、B、C. 5.A 解析:当 ? ?

9 7 ? . 25 25

?

6 3 1 ? ? 反之,当 cos 2? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

时, cos 2? ? cos

?

?

1 , 2

?k ? Z ? . 6 2 x x x 6.C 解析:因为当 x<0 时, ( ) ? 1 ,即 2 ? 3 ,所以命题 p 为假,从而﹁p 为真. 3
或 2? ? 2k? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

因为当 x ? (0,

?
2

) 时, tan x ? sin x ?

sin x (1? cos x ) ? 0 ,即 tan x ? sin x ,从而命题 q cos x

为真,所以(﹁p)∧q 为真. 7.B 解析:B cos? ? 第二象限. 8 . D 解 析 : 小 正 方 形 的 边 长 为 cos ? ? sin ? , 即 ( c o?s?
3 2 ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,? 4k? ? ? 2? ? 4k? ? ? ,故 2 ? 在 5 2 4 2 2

1 s ? i 2n? ) , 得 25

4 3 cos ? ? ,sin ? ? . 5 5
9.D 解析:由 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

2 3 3 3 2 3 cos ? ? sin ? = ? ,得 ,即 3 2 2 3

?(

? 2 3 1 2 sin ? ? cos ? ) ? ,即 sin(? ? ) ? ? . 6 3 2 2 3
7? ? ? 2 ) ? sin(? ? ? ? ) ? ? sin(? ? ) ? . 6 6 6 3

所以, sin(? ?

10.C 解析: cos A ? sin( 则

?

?
2

? A ? B, A ? B ?

?
2

2

? A) ? sin B,

?

, 故C ?
0

?
2

2

? A, B 都是锐角,


?

11.小于 0 解析:因为 120 ? 3rad ? 180 ,所以 cos 3 ? 0 .
43

12. 90°解析: 由

CD 2 CD 2 ? ? 1 ,得 sin 2 A ? sin 2 B ? 1 , i n 即s 2 2 AC BC

2

A? 1 ? s i n

2

Bc ? o s

2

B .

又三角形为锐角三角形,则 sin A ? cos B ,故 A+B=90°.

3 4 sin ? 3 ?? . 解析:由题意 cos ? ? ? ? tan ? ? 4 5 cos ? 4 16 16 tan ? ? 1 1 14. 解析: 原式= = . ? 2 5 tan ? ? 1 1 ? tan ? 5 x ?? x ? cos ? f ( ? x), g( x) ? cos( ? ? x) ? ?cos( x ) ? g( ? x ) , 15①②④解析: f ( x) ? sin 2 2
13. ? 所以 f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是偶函数. 16.解:当 k ? 2n ( k ? Z )时,

f ( x) ?

sin(2n? ? x) cos x tan(2n? ? x) ? ? sin x cos(2n? ? x) tan x = sin(? x) ? cos x ? tan(? x) sin x cos(? x) tan x
=-1-1-1=-3;

当 k ? 2n ? 1 ( k ? Z )时,

f ( x) ?

sin(2n? ? ? ? x) cos x tan(2n? ? ? ? x) ? ? sin x cos(2n? ? ? ? x) tan x sin(? ? x) cos x tan(? ? x) ? ? ? sin x cos(? ? x) tan x
? sin x cos x ? tan x =1+1-1=1. ? ? sin x ? cos x tan x

综上,当 k ? Z 时, f ( x ) 的值域为{-3,1}. 17.解: (1) (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? ( ) ?
2 2

1 5

(2)因为 0 ? ? ? ? 且 sin ? cos ? ? 0 ,所以 0 ? ? ?

?
2

1 12 . ? sin ? cos ? ? 25 25




1 ? sin ? ? cos? ? ? ? 5 ? ?sin ? cos? ? 12 ? 25 ?

4 ? sin ?? ? sin ? 4 ? 5 ? . ?? ,得 tan ? ? 3 cos ? 3 ?c o ? s ? ? 5 ?

18.解: (1)

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? 2,? ? 2,? tan ? ? 1. 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1

(2)sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? sin ? cos ? ?

sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ?

44

?

tan 2 ? ? 2 ? tan ? ? 1. tan 2 ? ? 1

19.解:由已知可得 tan ? ? ?

5 . 2

原式 ?

sin ? ? sin ? (? cos ? ) ? cos ? ? (? cos ? ) cos ?

?

sin ? (1 ? cos ? ) 5 ? ? tan ? ? . ? cos ? (1 ? cos ? ) 2

? 1? 3 sin ? ? cos? ? ? ? ? 2 , 20.解: (1)由题设 ? m ?sin ? cos? ? ? ? 2
平方相减得 m ?

3 . 2 1 2 3 , 2

(2)方程的两根 x1 ? ? , x2 ? ?

1 ? ? 3 sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 , ?? 或? 3 1 ?cos? ? ? ?cos? ? ? ? ? ? 2 ? 2
?? ? 7? 4? 或 . 6 3

21.证明:由 sin ? ? a sin ? , tan? ? b tan? , 得

sin ? a sin ? ? , 即 a cos ? ? b cos ? , tan ? b tan ?

2 2 2 2 而 a sin ? ? sin ? ,得 a ? b cos ? ? sin ? ,即 a ? b cos ? ? 1 ? cos ? ,
2 2 2 2

得 cos ? ?
2

a2 ?1 a2 ?1 ? , 而 为锐角, . ? cos ? ? b2 ? 1 b2 ? 1

45


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