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高中数学定积分


(一).关于原函数与不定积分概念的几点说明 1. 原函数与不定积分是两个不同的概念, 它们之间有着密切的联系。 对于定义在某个区间上 的函数 f(x) ,若存在函数 F(x) ,使得该区间上的每一点 x 处都有 / F (x)=f(x) ,则称 F(x)是 f(x)在该区间上的原函数。而表达式 F(x)+C(C 为任意 常数)称为 f(x)的不定积分。 2. f(x)的原来函数若

存在,则原函数有无限多,但任意两个原函数之间相差某个常数。因 此求 f(x)的不定积分∫f(x)dx 时,只需求出 f(x)的一个原函数 F(x) ,再加上一个 任意常数 C 即可,即∫f(x)dx = F(x)+C。 3. 原函数 F(x)与不定积分∫f(x)dx 是个体与全体的关系,F(x)只是 f(x)的某个原 函数,而∫f(x)dx 是 f(x)的全部原函数,因此一个原函数只是加上任意常数 C 后,即 F(x)+C 才能成为 f(x)的不定积分。例如 x2 + 1,x2-3,x2+12 都是 2x 的原函数,但都 不是 2x 的不定积分,只有 x2 + C 才是 2x 的不定积分(其中 C 是任意常数) 。 4. f(x)的不定积分∫f(x)dx 中隐含着积分常 C,因此计算过程中当不定积分号消失后一 定要加上一个任意的常数 C。 5. 原函数存在的条件:如果函数 f(x)在某区间上连续,则在此区间上 f(x)的原函数一 定存在。 由于初等函数在其定义域区间上都是连续的, 所以初等函数在其定义区间上都有原 函数,值得注意的是,有些初等函数的原函数很难求出来,甚至不能表为初等函数,例如下 列不定积分 ∫ dx ∫ 都不能“积”出来,但它们的原函数还是存在的。 (二)换元积分法的几点说明 换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元, 使之化为适合基本积分公式表中的某一形 式,再求不定积分的方法。 1. 第一换元积分法(凑微分法) : 根据一阶微分形式的不变性,若 dF(u)=f(u)du 则 dF(u(x) )=f(u)du 利用不定积分与微分的互逆关系,可以把它转化为不定积分的换元公式: ∫f[u(x)]du(x)= ∫f(u)du ( 令 u = u(x) ) = F(u)+ C ( 求积分) = F(u(x) )+ C ( 令 u = u(x) ) 在具体问题中,凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。 2. 第二换元积分法:令 x=φ (x) ,常用于被积函数含 或 等形式。

3. 同一个不定积分,往往可用多种换元方法求解,这时所得结果在形式可能不一致,但实质 上仅相差一常数,这可通过对积分结果进行导运算来验证。

(三)关于积分形式不变性 如果∫f(x)dx=F(x)+C,那么有∫f(u)du=F(u)+C,其中 u =Φ (x)是 x 的可微函数。这个道理说明: (1).积分变量 x 无论是自变量,还是中间变量,积分公式的形式不变,这一特性叫做积分 形式不变性。 (2).根据这个定理,基本积分公式中的 x 既可以看作是自变量,也可以看作是函数(可 微函数) ,因此基本积分公式中的公式应用范围就扩大了。 (四)分部积分法 设 u=u(x) ,v=v(x)是可微函数,且 u/(x)v(x)或 u(x)v/(x)有原函数,则有分部 积分公式: ∫u(x)v/(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u/(x)dx 或 ∫udu = uv - ∫vdu 当被积分函数是两个函数的乘机形式时, 如果用以前的方法都不易计算, 则可考虑用分部积 分法求解。显然,用分部积分法计算不定积分时,关键是如何恰当的选择谁做 u,谁做 v/。 如果选择不当, 就有可能求不出积分的结果或者计算很困难, 一般说来选择 u 和 v/的原则是: 1. 根据 v/容易求出 v; 2. ∫vu/dx 要比∫u v/dx 容易计算。 (五)关于定积分的定义 由定积分的定义可以看出,定积分是一个数值,这个数值与被积函数 f(x)及积分区间 [a,b]有关,与区间[a,b]的分法和点的取法无关,而且与积分变量用什么字母也无关,所 以有 f(x)dx= f(t)dt = f(u)du

函数 f(x)在[a,b]上可积的条件与 f(x)在[a,b]上连续或可导的条件相比是最弱的条件, 即 f(x)在[a,b]上有以下关系: 可导 连续 可积 反之都不一定成立。 (六)有关定积分的性质 在定积分的性质中,除了类似于不定积分的线性性质以外,还要记住下列基本公式: f(x)dx = - f(x)dx

f(x)dx=0

1dx = b- a 定积分关于积分的区间的 可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质,即,

f(x)dx +

f(x)dx = f(x)dx

(七)关于牛顿- 莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中,而且在整个微积分学中都是一个重要的 结论,主要表现在以下方面: 1. 当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行: 若 F(x)是 f(x)的一个原函数,则

f(x)dx =F(b)- F(a) 因此这个公式揭示了定积分与不定积分的本质联系。 这种本质的联系还可以由下列两个公式 来阐明:

f(x)dx = f(x)

f(t)dt = f(x)


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