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四川省资阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(一模)


四川省资阳市 2015 届高三一诊数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试 时间120分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将 本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔

在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.集合 M ? {x | ( x ? 2)( x ? 2) ? 0} , N ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 M (A){ x|-1≤x<2} (C){ x|-2≤x<3}
N?

(B){ x|-1<x≤2} (D){ x|-2<x≤2}

2.在复平面内,复数 1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为 A、B,则线段 AB 的中点 C 对应的复数 为 (A)-4+2i (B) 4-2i (C)-2+i (D) 2-i

3.已知 a,b ? R,下列命题正确的是 (A)若 a ? b ,则 | a |?| b | (C)若 | a |? b ,则 a 2 ? b 2 (B)若 a ? b ,则

1 1 ? a b

(D)若 a ? | b | ,则 a 2 ? b 2

4.已知向量 AB ? a ? 3b , BC ? 5a ? 3b , CD ? ?3a ? 3b ,则 (A) A、B、C 三点共线 (C) A、C、D 三点共线 (B) A、B、D 三点共线 (D) B、C、D 三点共线

2 5.已知命题 p ? x0 ? R, x0 ? ax0 ? a ? 0 .若 ?p 是真命题,则实数 a 的取值范围是

(A) [0, 4] (C) (??,0)
(4, ??)

(B) (0, 4) (D) (??,0] [4, ??)

6.将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得图象关于原点 O 对称,则 ? 的最小 3 值为 (A)

?

2? 3

(B)

? 3

(C)
·1 ·

? 6

(D)

?
12

7. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目: 把 100 个面包分给 5 个人, 使每人所得成等差数列, 且使较大的三份之和的 问最小的一份为 (A) (C)

1 是较小的两份之和, 7

5 3 13 6

(B) (D)

11 6
10 3

8.若执行右面的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是 (A) k<6? (B) k<7? (C) k<8? (D) k<9? 9.已知函数 f ( x) ? 2x ? sin x ? 正确的是 (A)x1>x2 (C) x1+x2<0 (B) x1<x2 (D) x1+x2>0

3x ? 1 ( x ? R) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则下列不 3x ? 1

等 式

?| 2 x ? 1|, x ? 1, 10. 已知 m ? R , 函数 f ( x) ? ? 若函数 y ? f ( g ( x)) ? m 有 6 个零点, g ( x) ? x2 ? 2x ? 2m ? 1 , log ( x ? 1), x ? 1, ? 2

则实数 m 的取值范围是

3 (A) (0, ) 5 3 (C) ( ,1) 4

3 3 (B) ( , ) 5 4
(D) (1,3)

·2 ·

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。 作图时可先用铅笔绘 出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.函数 f ( x) ? log 2 x ?1 的定义域为___________. 12.已知向量 a=(2, 1),b=(0,-1).若(a+λ b)⊥a,则实数 λ = .

? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? 13. 已知点 A 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 所表示的平面区域内的一个动点, 点 B (?2,1) ,O 为坐标原点, ?x ? 1 ?

则 | OA ? OB | 的最大值是___________.
2 1 ? ? 1, 且 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是___________. x y 15.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图象连续不断,若存在常数 t (t ? R ) ,使得 f ( x ? t ) ? tf ( x) ? 0 对任

14. 若两个正实数 x, y 满足

意的实数 x 成立,则称 f(x)是回旋函数,其回旋值为 t.给出下列四个命题: ①函数 f ( x) ? 2 为回旋函数的充要条件是回旋值 t=-1; ②若 y ? a x (a>0,且 a≠1)为回旋函数,则回旋值 t>1; ③若 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 为回旋函数,则其最小正周期不大于 2; ④对任意一个回旋值为 t(t≥0)的回旋函数 f(x),方程 f ( x) ? 0 均有实数根. 其中为真命题的是_____________(写出所有真命题的序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 2a1 , a 3 , 3a2 成等差数列. (Ⅰ) 求等比数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 {bn } 满足 bn ? 11 ? 2log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值.

·3 ·

17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (1, 3cos ? ) ,n ? (1, 4 tan ? ) , ? ? (? , ) ,且 m·n=5. 2 2 (Ⅰ) 求|m+n|; (Ⅱ) 设向量 m 与 n 的夹角为 β ,求 tan(? ? ? ) 的值.

?

?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 1 ,其中 e 是自然对数的底 数. (Ⅰ) 求实数 a、b 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在区间 [ ?2,3] 上的值域.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3m sin x cos x ? mcos 2 x ? n ( m, n ? R )在区间 [0, ] 上的值域为 [1, 2] . 4 (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间; sin B ? 4sin(? ? C ) , (Ⅱ)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 当 m>0 时, 若 f ( A) ? 1 , △ABC 的面积为 3 ,求边长 a 的值.

?

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? t ( t ? ?1 ), an?1 ? Sn ? n . (Ⅰ) 当 t 为何值时,数列 {an ? 1} 是等比数列? (Ⅱ) 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 1 ,点 (Tn?1, Tn ) 在直线 若不等式
b1 b ? 2 ? a1 ? 1 a2 ? 1 ?

x y 1 ? ? 上,在(Ⅰ)的条件下, n ?1 n 2

bn 9 ?m? 对于 n ? N* 恒成立,求实数 m 的最大值. an ? 1 2 ? 2an

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax (a∈R) . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 已知 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )是函数 f ( x) 在 x ? [1, ??) 的图象上的任意两点, 且满 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,求 a 的最大值; 足 x1 ? x2 (Ⅲ) 设 g ( x) ? xe1? x ,若对于任意给定的 x0 ? (0,e] ,方程 f ( x) ? 1 ? g ( x0 ) 在 (0,e] 内有两个不同的 实数根,求 a 的取值范围. (其中 e 是自然对数的底数)

·4 ·

资阳市高中 2012 级第一次诊断性考试 (数学学科)参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题:BDDBA,CACDA. 二、填空题:11. [2, ??) ;12. 5;13.
10 ;14. (?4, 2) ;15. ①③④.

三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q, an ? 0 . 因为 2a1 , a 3 , 3a2 成等差数列,所以 2a1 ? 3a2 ? 2a3 ,则 2a1 ? 3a1q ? 2a1q 2 ,

1 所以 2q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? ? (舍去), ············ 4 分 2
又 a1 ? 2 ,所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n . ·············· 6 分 (Ⅱ) bn ? 11 ? 2log2 an ? 11 ? 2n , ··················· 8 分 则 b1 ? 9 , bn ?1 ? bn ? ?2 ,故数列 {bn } 是首项为 9,公差为-2 的等差数列, 所以 Tn ?

n(9 ? 11 ? 2n) ? ?n2 ? 10n ? ?(n ? 5)2 ? 25 , ············ 10 分 2

所以当 n ? 5 时, Tn 的最大值为 25. ·················· 12 分

1 17.(Ⅰ)由 m·n ? 1 ? 12 cos ? tan ? ? 5 ,解得 sin ? ? , ············ 2 分 3
2 2 2 ? ? 因为 ? ? (? , ) ,所以 cos ? ? , tan ? ? . ··········· 4 分 4 3 2 2

则 m ? (1, 2 2) , n ? (1, 2) ,所以 m+n ? (2,3 2) , 所以|m+n| ? 22 . ························· 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m ? (1, 2 2) , n ? (1, 2) ,则 cos ? ? cos ? m, n ??
5 3? 3 ? 5 3 , 8分 9

sin ? ? 1 ? (

2 5 3 2 6 ) ? ,所以 tan ? ? , ·············· 10 分 5 9 9

2 2 ? 5 ? 2 . ·················· 12 分 所以 tan(? ? ? ) ? 4 2 2 2 1? ? 4 5

18.(Ⅰ) 由 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e x ,得 f ?( x) ? [ x2 ? (a ? 2) x ? a ? b]e x , 因为函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y ? ?2 x ? 1 ,
·5 ·

? f (0) ? 1, ?b ? 1, 所以 ? 即? 解得 a ? ?3 , b ? 1 . ··········· 6 分 ? f ?(0) ? ?2, ? a ? b ? ?2,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 1)e x , f ?( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? ( x ? 1)( x ? 2)e x , · 8 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 或 x2 ? 2 . f ( x) 与 f ?( x) 的关系如下表: -1 (-1, 2) 2 (2, 3) 3 0 - 0 + 5 2 3 f ( x) ↗ ↘ -e ↗ e 11e?2 e 2 3 由上表可知,函数 f ( x) 在区间 [ ?2,3] 上的值域是[-e , e ]. ······· 12 分
f ?( x)

x

-2

(-2,-1) +

19.(Ⅰ) f ( x) ? 3m sin x cos x ? m cos2 x ? n ?

3m m sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? n 2 2

?

m m ? m ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? n ? m sin(2 x ? ) ? ? n , ·········· 3 分 2 2 6 2

? ? ? 2? 1 ? 当 x ?[0, ] 时, 2 x ? ?[ , ] ,则 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 4 6 6 3 2 6
?m m ? ? n ? 1, ? ? ? 由题意知 m≠0,①若 m ? 0 ,则 ? 2 2 解得 m ? 2 , n ? ?1 ,则 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , m 6 ? m ? ? n ? 2, ? ? 2

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

( k ? Z ),

得函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

?
3

, k? ? ] , k ? Z . ········· 5 分 6

?

m ? m ? ? n ? 1, ? ? ? 2 ②若 m ? 0 ,则 ? 解得 m ? ?2 , n ? 4 .则 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ) ? 3 , 6 ? m ? m ? n ? 2, ? ?2 2

由 f ( x) ? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ( k ? Z ), 2

故函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ] , k ? Z .········· 7 分 3

(Ⅱ)当 m>0 时,由 2sin(2 A ? ) ? 1 ,所以 A ? . ············ 8 分 6 3 因为 sin B ? 4sin(? ? C ) ,所以 sin B ? 4 sin C ,则 b ? 4c , ········· 9 分

?

?

1 ? 又△ABC 面积为 3 , 所以 S ? bc sin ? 3 ,即 bc ? 4 , ········· 10 分 2 3

·6 ·

所以 b ? 4 , c ? 1 ,则 a2 ? 42 ? 12 ? 2 ? 4 ?1? cos

?
3

? 13 ,所以 a ? 13 . ··· 12 分

20.(Ⅰ)由 an?1 ? Sn ? n ,得 an ? Sn ?1 ? n ? 1 ( n ? 2 ), 两式相减得 an?1 ? an ? (Sn ? Sn?1 ) ? 1 ,即 an?1 ? 2an ? 1 , ·········· 1 分 所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? 2 ), ···················· 2 分 由 a1 ? t 及 an?1 ? Sn ? n ,得 a2 ? t ? 1 , 因为数列 {an ? 1} 是等比数列,所以只需要
a2 ? 1 t ? 2 ? ? 2 ,解得 t ? 0 ,此时,数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 t ? 1

a1 ? 1 ? 1 为首项,2 为公比的等比数列. ··················· 4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2n ?1 ? 1 ,因为点 (Tn?1 , Tn ) 在直线

T T 1 x y 1 ? ? 上,所以 n ?1 ? n ? , n ?1 n 2 n ?1 n 2

T T 1 1 n(n ? 1) ?T ? 故 ? n ? 是以 1 ? 1 为首项, 为公差的等差数列,则 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以 Tn ? , 2 n 2 2 1 ?n?
当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 不等式
b1 b ? 2 ? a1 ? 1 a2 ? 1

n(n ? 1) (n ? 1)n ? ? n , b1 ? 1 满足该式,所以 bn ? n . 2 2
bn 9 2 3 ?m? ,即为 1 ? ? 2 ? an ? 1 2 ? 2an 2 2

6分

?

?

n 9 ? m? n , n ?1 2 2

令 Rn ? 1 ?

2 3 ? ? 2 22

?

n 1 1 2 3 ,则 Rn ? ? 2 ? 3 ? 2n?1 2 2 2 2 ?

?

n ,两式相减得 2n

1 1 1 1 (1 ? ) Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2
由 Rn ? m ?

1 n n?2 n?2 ? n ? 2 ? n ,所以 Rn ? 4 ? n ?1 . ·· 10 分 n ?1 2 2 2 2

9 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 5 2n ? 7 恒成立,即 4 ? n ? m 恒成立,又 (4 ? n?1 ) ? (4 ? n ) ? n?1 , n 2 2 2 2 2 2n ? 5 2n ? 5 故当 n ? 3 时, {4 ? } 单调递减;当 n ? 4 时, {4 ? } 单调递增, 2n 2n 2 ? 3 ? 5 31 2 ? 4 ? 5 61 2n ? 5 61 当 n ? 3 时, 4 ? 的最小值为 ,所以 ? ;当 n ? 4 时, 4 ? ? ,则 4 ? 3 4 n 2 8 2 16 2 16 61 实数 m 的最大值是 . ························ 13 分 16 1 ?2x2 ? ax ? 1 21.(Ⅰ) f ?( x) ? ? 2x ? a ? , ················· 1 分 x x 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?2 x2 ? ax ? 1 ? 0 ,该方程的判别式△= a 2 ? 8 ? 0 ,
可知方程 ?2 x2 ? ax ? 1 ? 0 有两个实数根 当 x ? (0,
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ,又 x ? 0 ,故取 x ? , 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 4 4 函数 f ( x) 单调递减.
·7 ·

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) ;递减区间是 ( , ??) . 3 分 4 4 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 转化为 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 , (Ⅱ)不妨设 x1 ? x2 ? 1 ,不等式 x1 ? x2 令 ? ( x) ? f ( x) ? 2 x ,可知函数 ? ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,故 ? ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 恒成立,

则函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,

1 1 ? 2 x ? a ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? 2 x ? ? 2 恒成立. ··········· 5 分 x x 1 1 当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? 2 x ? ? 2 单调递增,故当 x=1 时,函数 y ? 2 x ? ? 2 取得最小值 3, x x 则实数 a 的取值范围是 a ? 3 ,则实数 a 的最大值为 3. ············ 7 分 (Ⅲ) g ?( x) ? (1 ? x)e1? x ,当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是增函数;当 x ? (1,e) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是减函数.可得函数 g ( x) 在区间 (0,e] 的值域为 (0,1] . ·········· 9 分


?2x2 ? ax ? 1 , x 由 F ?( x) ? 0 , 结合(Ⅰ)可知, 方程 F ?( x) ? 0 在 (0, ? ) 上有一个实数根 x3 , 若 x3 ? e , 则 F ( x) 在 (0,e]
令 F ( x) ? f ( x) ? 1 ,则 F ?( x) ? f ?( x) ? 上单调递增, 不合题意, 可知 F ?( x) ? 0 在 (0,e] 有唯一的解 x3 ? 上单调递增;在 (
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) , 且 F ( x) 在 (0, 4 4

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递减.················ 10 分 4 因 为 ?x0 ? ( 0, e ], 方 程 f ( x) ? 1? g ( x 在 (0,e] 内 有 两 个 不 同 的 实 数 根 , 所 以 F ( e)? 0, 且 0 )

F ( x )m a x ? 1. ······························ 11 分 2 由 F (e) ? 0 ,即 ln e ? e2 ? ae ? 1 ? 0 ,解得 a ? e ? . e 2 2 由 F ( x)max ? f ( x3 ) ? 1 ? 1 ,即 ln x3 ? x3 ? ax3 ? 1 ? 1 , ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0 , 1 2 2 2 因为 ?2 x3 ? ax3 ? 1 ? 0 ,所以 a ? 2 x3 ? ,代入 ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0 ,得 ln x3 ? x3 ?1 ? 0 , x3

令 h( x) ? ln x ? x2 ? 1 ,可知函数 h( x) 在 (0,e] 上单调递增,而 h(1) ? 0 ,则 h( x3 ) ? h(1) ? 0 , 1 1 所以 1 ? x3 ? e ,而 a ? 2 x3 ? 在 1 ? x3 ? e 时单调递增,可得 1 ? a ? 2e ? , x3 e

2 综上所述,实数 a 的取值范围是 (1, e ? ] . ··············· 14 分 e

·8 ·


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