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向量内积的坐标运算与距离公式


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江 苏 省 技 工 院 校 教 案 首 页 课题: 向量内积的坐标运算与距离公式
掌握理解向量内积的坐标运算及距离公式 向量内积的坐标运算及距离公式的应用 讲授

教学目的、要求: 教学重点、难点: 授课方法:

教学参考及教具(含电教设备) 数学基础模块下册及练习册 布置作业:
课本 p57

3,4,5 练习册 p25 页 7.4.2

授课执行情况及分析:

板书设计或授课提纲
1 向量内积的坐标表示 2 向量的长度(模)的坐标表示 (距离公式) 3 两向量夹角的坐标表示 4 两向量垂直及平行的坐标表示
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一、复习回顾

想一想: 向量内积的定义是什么? a.b 的几何意义是什么? 两个向量内积的重要性质 向量内积的运算律有哪些? (找同学回答一起回顾) : 向量内积:
两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积, 记作 a· b, 即 a·b=|a||b|cos<a,b> 注意点: (填空题) (1)向量的内积是一个标量,而不是向量,所以它的值为两向量的模与两向量的夹 角余弦的乘积.它可以使正数,负数,0. 其正负号是由夹角决定;

a.b 的几何意义:

2

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a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积 板书展示或 ppt 动画展示:

向量内积的重要性质
1) 如果 e 是单位向量,则 a.e=e.a=|a|cos<a,e> (几何意义: a 向量在 e 方向上的投影) 2) 3) cos<a,b>=

a ?b . | a || b |

对非零向量 a,b,有

a·b=0 ? a ? b. (利用几何意义来理解: a ? b,则 a 在 b 上的投影为 0,从而 a·b=0) 4) 当 a//b,方向相同(即当<a,b>=0),a·b=|a||b|;(a//b,方向相反时,(即当<a,b>= 180 ), a·b=?|a||b|.(这个不讲,不放到 ppt 中) 5) 6) a·a=|a||a|=|a|2,即|a|= a ? a . |a.b.|<=|a||b|

向量内积的运算律:
(1) a·b=b·a. (2) ( )·b= (a·b)=a·(

b).
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(3) (a+b)·c=a·c+b·c. 注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b)·c.

二、导入新课
设平面向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),怎样用 a,b 的坐标来表示 a·b 请同学先看下列问题: e1,e2 分别为 x 轴,y 轴上的单位向量,则 e1⊥e2,且 | e1|=|e2|=1,请计算下列 式子: e1.e2=____0_________; e1.e1=_____1________; e2.e1=_______0_________ e2.e2=______ 1_______ _

(这里的 0 能打成粗体字吗?)

三、讲授新课 一 、向量内积坐标运算公式推倒导:
设平面向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),假设 e1,e2 分别为 x 轴,y 轴上的单位向量,则有:

a·b=(a1e1+a2e2)· ((b1e1+b2e2)
(利用向量内积运算的分配律,自己在下面算,找个人上来写答案) =a1e1?b1e1+ a1e1 ?b2e2+a2e2?b1e1 + a2e2?b2e2 = a1 b1 e1?e1+ a1 b2e1 ?e2+ a2 b1 e2 ?e1 + a2 b2 e2 ?e2 因为 e1.e2 =e2.e1= 0

= a1 b1 e1?e1 + a2 b2 e2 ?e2 因为 e1.e1 =e2.e2= 1

= a1 b1+ a2 b2 这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即

a·b= a1 b1+ a2 b2
4

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从而得到 定理:在直角坐标平面 xoy 内,如果向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a.b=a1.b1+a2.b2
a b = = (a1 , a2) (b1 , b2)

注意区分: a.b= a1.b1+a2.b2 (对应坐标乘积的和)
a b = = (a1 , a2) (b1 , b2)

a//b<==> a1.b2-a2.b1=0(坐标交错相乘后的差为 0)
a b = = (a1 , a2) (b1 , b2)

二 、向量长度(模)的坐标公式 :a (a1 , a2)
若向量 a (a1,a1) 那么向量 a 的长度 (模) 可以用坐标来表示吗 ? (4 人一组分组讨论 ) 向量内积的一个重要性质:a·a=|a||a|=|a|2,即|a|= a ? a . (提示 ) 从而向量的长度(模)的坐标表示
2 | a |? a ? a ? (a1 , a2 ) ? (a1 , a2 ) ? a12 ? a2

结论 1:向量的模,也就是向量的长度等于该向量的坐标的平方和开根号

若有向线段 AB 起点和终点的坐标为 A(x1,y1) B(x2,y2),那么 AB 两点的距 离如何用坐标表示? (4 人一组分组讨论 )
若有向线段 AB 起点和终点的坐标为 A(x1,y1) B(x2,y2)
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那么该有向线段表示的向量 AB 的向量的坐标为该向量的终点坐标减去起点坐标

AB ? 点B的坐标- 点A的坐标 (提示 )
= (x2,y2) -(x1,y1) = (x2-x1,y2-y1) 利用上面的结论 1:

AB ? ( x 2 ? x1) 2 ? ( y 2 ? y1) 2
(向量 AB 的长度就是 A,B 两点的距离,所以上式也就是求两点距离的公式) 从而得到

结论 2:两点间的距离等于两点相应的坐标差的平方和的算术平方根 三 、 两向量夹角的坐标公式 如果向量 a=(a1,a2)
(提示)

b=(b1,b2)那么如何用坐标来表示这两向量的夹角 ?

cos ? a, b ??
a1b1 ? a2b2
2 2 b1 ? b1

a ?b a?b

?

2 2 a1 ? a2

例题及当堂练习: 例 1: 解 已知 a=(?1,2),b=(?3,1).求 a·b, |a|,|b|,cos <a,b>.

a·b=(?1,2) ·(?3,1) = (?1)( ?3)+2×1=5;
|a|= |b|= ; ;
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cos<a,b>=





当堂练习:已知 a=(5, ?4),b=(2,3),.求 a·b, |a|,|b|, cos<a,b>(请同学在下面独 立完成)

a·b=(5,-4) ·(2,3) = 5×2+(-4)×3=-2;
2 | a |? a.a ? (5,?4) ? (a1 , a 2 ) ? a12 ? a 2

例 2:已知 A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC 是等腰三角形.

证明 因为 → AB =点 B 坐标-点 A 坐标=(3 , 4)-(1 , 2)=(2 , 2) → AC =点 C 坐标-点 A 坐标=(5 , 0)-(1 , 2)=(4 , -2) → BC =点 C 坐标-点 B 坐标=(5 , 0)-(3 , 4)=(2 , -4)
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|→ AC |= 42+(-2)2= 20 |→ BC |= 22+(-4)2= 20 所以|→ AC |=|→ BC |.因此△ABC 是等腰三角形.

当堂练习: 课本 57 页 第 4 题 A(-10,3), B(-2,3) ,C(0,-1)

→ AB =(-2,3) - (-10,3)=(-2+10,3-3)=(8,0) → AC =(0,-1) - (-10,3)=(10,-1-3)=(10,-4) → BC =(0,-1) - (-2,3)=(2,-4)

BC
AB
?

?

?

2 2 ? ( ?4) 2 ?

20

?

82 ? 0 2 ? 8

AC

?

?

102 ? ( ?4) 2 ?

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四、两向量垂直及平行的坐标表示
已知两非零向量 a ? (x1,y1), b? (x2,y2)

这两向量垂直条件的坐标如何表示 ?(分组讨论)
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例题及当堂练习:

例 3 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, ?3),b=(3, ?2); (2) (2) a=(2,0),b=(0, ?3); (3) (3) a=(?2,1),b=(3,4).

当 a ? b 时即是 ? a, b ?? 90 ,因此,a·b= a ? b cos90 ? 0, 因此对非零向量 a,b,有 a·b=0 ? a ? b. (利用几何意义来理解: a ? b,则 a 在 b 上的投影为 0,从而 a·b=0) 解:(1) 因为 :a.b=(?2, ?3).(3, ?2)=-6+6=0 所以 a ? b.

(第一道题目讲解一下,后面的题目找两个学生上来做) (2) 因为 :a.b=(?2, 0).(0, ?3)=0 (3) 因为 :a.b=(?2, 1).(3, 4)=-6+4=-2 所以 a ? b. 所以 a,b 不垂直
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练习册:p27

已知 a( -1,2);b=(3,y)

如果 a//b ,则 y=(-6) ) (交叉坐标的乘积差为 0) 如果 a 垂直于 b ,则 y=(3/2) (对应的坐标的乘积和为 0)

四、小结

1 向量内积的坐标表示
定理:在直角坐标平面 xoy 内,如果向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a.b=a1.b1+a2.b2 注意区分: a//b<==> a1.b2-a2.b1=0(坐标交错相乘后的差为 0) a.b= a1.b1+a2.b2 (对应坐标乘积的和)

2 向量的长度(模)的坐标表示
2 | a |? a ? a ? (a1 , a2 ) ? (a1 , a2 ) ? a12 ? a2

结论 1:向量的模,也就是向量的长度等于该向量的坐标的平方和算术平方根 (开根号 )
利用该结论及向量的坐标为该向量的终点坐标减去起点坐标得到距离公式:

两点间的距离等于两点相应的坐标差的平方和的算术平方根
设 :A(x1,y1) B(x2,y2)

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AB ? ( x2 ?x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
结论 2:两点间的距离等于两点相应的坐标差的平方和的算术平方根

cos ? a, b ??

a ?b a?b

?

a1b1 ? a2b2
2 2 a1 ? a2

b12 ? b12

3 两向量夹角的坐标表示

a ? b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0

a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0
4 两向量垂直及平行的坐标表示

a = (a1 , a2) b = (b1 , b2)

a b

= (a1 , a2) = (b1 , b2)

注意记忆向量垂直(对应坐标乘积的和为 0)与平行的坐标表示(交叉坐标乘积的差为 0) 区别

五、布置作业

课本 p57

3,5,6

练习册 p25 页 7.4.2
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