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竞赛讲座:基本不等式与柯西不等式


基本不等式应用
一.基本不等式

1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab
2. (1)若 a, b ? R * ,则

2 2 (2)若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 “=” )

2

a?b ?

ab 2
2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 , 则x?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 “=” ) ;若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “=” ) x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x
a b 3.若 ab ? 0 ,则 ? ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域
4.若 a, b ? R ,则 ( 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解: (1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x (2)当 x>0 时,y=x+ 1 (2)y=x+ x 1 3x 2· 2 2x 1 ≥2 x = 6 1 x· x ∴值域为[ 6 ,+∞)

=2; 1 x· x =-2

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x
1

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 评注: 本题无法直接运用基本不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值。 变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

解:∵ 0 ? x ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1
解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元
解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 值。 即化为 y ? mg ( x) ?

A ? B( A ? 0, B ? 0) , g(x)恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值。 g ( x)
a 的单调性。 x

技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

2

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ?2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ?2, ??? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? x ?3 x

(3) y

? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1 ? x) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

条件求最值
a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.
a b

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3 ? 3 定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: 3 和3 都是正数, 3 ? 3 ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6
a b a b
a b a b a b 当 3 ? 3 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 ? 3 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3 ? 3 的最小值是 6.

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 错解 : ..

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

1 9 1 9? 9 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,? x ? y ? ? 2 xy ? 12 故 ? ? ?? x ? y? ? 2 x y xy ? x y?

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用基本不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立
x y xy

条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出 x y

等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
3

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?
?

?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

(2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

y2 技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2 a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 下面将 x,
2

1 , 2

x 1+y 2 =x

1+y 2 2· = 2 x· 2

1 y2 + 2 2

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2 x 2+( ≤ 1 y2 + 2 2 2 )2 y2 1 x 2+ + 2 2 3 = = 2 4 1 y2 + 2 2 3 4



1 y + 2 2

即 x 1+y 2 = 2 · x



2

1 技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调 性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式 的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1 16 =8 t

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 t t t ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 t·

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等 2
?

式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等 (a, b ? R ) 式

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 2 2
4

3x + 2y ≤ 2

( 3x )2+( 2y )2 = 2

3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和 为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积 极创造条件利用基本不等式。 应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

分 析 : 不 等 式 右 边 数 字 8 , 使 我 们 联 想 到 左 边 因式 分 别 使 用 基 本 不 等 式可 得 三 个 “ 2 ” 连 乘 , 又
1 1? a b ? c 2 bc,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解: a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?

?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用:
5

例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

竞赛举例:

xn 2 x12 x2 2 例1、已知x1 , x2 , ..., xn ? R , 求证 : ? ? ... ? ? x1 ? x2 ? ... ? xn x2 x3 x1
?

(1984年全国高中数学竞赛) 证法一:由已知和基本不等式a ? b ? 2 ab (a , b ? R ? ) ( x2 x12 x2 x2 x2 ? x2 ) ? ( 2 ? x3 ) ? ... ? ( n ? xn ) ? 2 1 x2 ? 2 2 x3 ? ... ? x2 x3 x1 x2 x3 xn 2 x x1 1

? 2( x1 ? x2 ? ... ? xn ) 移项即得证! 证法二:由已知和基本不等式a ? b ? 2 ab (a , b ? R ? ) a 2 ? b 2 ? 2ab ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? a2 ? 2a ? b b xn 2 x12 x2 2 ? 2 x1 ? x2 , ? 2 x2 ? x3 , ... ? 2 xn ? x1 x2 x3 x1

左右分别相加即可得证! 例2、设x1 , x2 , ... xn为两两不相等的正整数,求证: x x2 1 1 ? ... ? n ? 1 ? ? ... ? (第20届IMO ) 2 2 2 n 2 n x x2 1 1 1 1 1 1 证明:左边 ? ( x1 ? ) ? ( 2 ? ) ? ... ? ( n ? )?( ? ? ... ? ) 2 x1 2 x2 n xn x1 x2 xn x1 ? ? 2(1 ? 1 1 1 1 1 ? ... ? ) ? ( ? ? ... ? ) 2 n x1 x2 xn 1 1 1 1 1 ? ... ? ) ? ( ? ? ... ? ) ? 0 2 n x1 x2 xn

由于x1 , x2 , ... xn为两两不相等的正整数,不妨设x1 ? x2 ? ... ? xn , 则x1 ? 1, x2 ? 2, ...., xn ? n; 则(1 ? 即得证! 此题可利用排序不等式证出!体会均值不等式与排序不等式关系: a 2 ? b 2 ? ab ? ba a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 b ? b 2 c ? c 2a ? abc ? abc ? abc ? 3abc
6

分析:不等式右边各项

ai 1 ? ai ? 2 ;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 2 i i

设 b1 , b2 ,?, bn是a1 , a2 ,?, an 的重新排列,满足 b1 ? b2 ? ? ? bn , 又1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

所 以 a1 ?

a b b a 2 a3 b . 由 于 b1 , b2 ,?bn 是 互 不 相 同 的 正 整 数 , 故 ? 2 ? ? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 n 2 3 2 3 n2 b b b 1 1 b1 ? 1, b2 ? 2,?, bn ? n. 从而 b1 ? 2 ? 3 ??? n ? 1 ? ? ? ? ,原式得证. 2 2 2 2 n 2 3 n

评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a 2 ? b 2 ? a ? b ? b ? a,

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.

例3、在?ABC中,三边长分别为a,b,c,求证:b 2 c(b ? c ) ? c 2a (c ? a ) ? a 2b(a ? b ) ? 0 (第24届IMO ) 解:令a ? x ? y , b ? y ? z , c ? z ? x , x , y , z ? R ? 代入左边化简得: xy 3 ? yz 3 ? zx 3 ? xyz ( x ? y ? z )即要证 y2 z2 x2 ? ? ? x ? y ? z即为例1的特例,可模仿证明。 z x y a2 b2 c2 a?b?c 例4、若a , b, c都是正数,则 ? ? ? .(国际中学生循环赛题) b?c c?a a?b 2 a2 b?c b2 c?a 证明:由已知和均值不等式, ? ? a, ? ?b b?c 4 c?a 4 c2 a?b ? ? c三式相加即得证。 a?b 4

新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)
二、二维形式的柯西不等式的变式

(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .) (2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)

(3)(a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? 0 , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
7

? ? ? ? ? ? . (当且仅当 ? 是零向量 , 或存在实数k , 使? ? k ? 时 , 等号成立 .)
借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2,并不是 不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 (1)巧拆常数: 例 1:设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证:

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c
2

分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9= ?1 ? 1 ? 1? , 2?a ? b ? c ? ? ?a ? b? ? ?b ? c? ? ?c ? a ? 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。 证 2 明 :

?a ? b ? c ? ? ? ?
1 1 1 ? ?a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a? 1 1 ? ? 1 ? ??a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ?? ? ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a? ?? a?b ? ?

1 1 1 ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a?

1 1 ? 1 ? ??a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ?? ? ? ? ? ?a?b b?c c?a 2 ?? 2 2 2 1 ? ? ? ? ? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ?? ? ? ? ? ? ?? a ? b ? ??

?

? ?

? ?

?

2 2 2 ?? ? ? ? ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? b?c? ?? a ? b ? ? c?a? ? b?c ? c?a ? ?? ? ? c ? aa?? ? ? ? b?c? ? ? ?? b b ? c a ? b ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 ?? 1 ? 1 ? 1? ? 9 ? 1 1 1 ? ? ? ?? a?b ? ? b?c? ? c?a? 2 2 2 9 a?b b?c c?a? ? ? ? ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c 2 ? ?1 ? 1 ? 1? ? 9 2 2 2 9 ? ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c ? a,b,c 各不相等, ? 等号不可能成立,从而原不等式成立。

?

? ?
2

? ?
2

?

2

(2)重新安排某些项的次序:
? 例 2: a 、 b 为非负数, a + b =1, x1 , x2 ? R 求证: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2

(ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? (ax1 ? bx2 )(ax2 ? bx1 ) ? ( a 2 x1 x2 ? b 2 x1 x2 )2 ? (a ? b)2 x1 x2 ? x1 x2
8

(3)改变结构: 例 3、若 a > b > c 观察:a-c=(a-b)+(b-c) (4)添项: 例 4: a, b, c ? R ? 求证: 求证:

1 1 4 ? ? a?b b?c a?c

a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2

构造:

(

a?b?c b?a?c c?a?b b?c a?c a?b ? ? )( ? ? ) ? 32 b?c a?c a?b a?b?c a?b?c a?b?c

a2 b2 c2 1 例5:a, b, c ? R ? ,求证: ? ? ? ?a ? b ? c? a?b c?b a?c 2
如何构造? 思考上周六第32届IMO试题证法1.

例6、设a、b、c为正实数且满足abc ? 1。试证: 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? . a (b ? c ) b (c ? a ) c (a ? b ) 2
3

证法1 令A ?

1 1 1 ? 3 ? 3 , a (b ? c ) b (c ? a ) c (a ? b )
3

1 b2c 2 a 2c 2 a 2b 2 则由 ? bc , 可得A ? ? ? a a ( b ? c ) b( c ? a ) c ( a ? b ) 利用柯西不等式和算术-几何平均值不等式,有 [a (b ? c )) ? b(c ? a ) ? c(a ? b )] ? A ? [ a(b ? c ) ? ? c(a ? b) ? bc a(b ? c ) ab c(a ? b ) ]2 ? b(c ? a ) ? ac b(c ? a )

? (bc ? ca ? ab)2 ? (bc ? ca ? ab) ? 3 3 bc ? ca ? ab ? 3(bc ? ca ? ab), 即2(bc ? ca ? ab) ? A ? 3(b ? c ? ca ? ab ). 故A ? 3 . 2

? ? ? ? ? 【1】 、设 a ? (?2,1,2), b ? 6 ,则 a ? b 之最小值为________;此时 b ? ________。
9

答案:?18; (4,?2,?4) 解析: a ? b ? a b ∴ a ? b ? 18 ∴ ? 18 ? a ? b ? 18

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? a ? b 之最小值为?18,此时 b ? ?2a ? (4,?2,?4) ? ? ? ? 【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为
【解】 ∵



? ? a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z) ∴

? ? a . b ? x ? 2z

由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2 ? ? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 4 5 ? x ? 4 5 ? 4 5 ? a . b ? 4 5 ,故 a . b 的最大值为 4 5

?

?

?

?

【3】空间二向量 a ? (1, 2,3) , b ? ( x, y, z) ,已知 b ? Ans:(1) 28:(2) (2,4,6) 【4】设 a、b、c 为正数,求 (a ? b ? c)( ?

56 ,则(1) a ? b 的最大值为多少?(2)此时 b ? ?

4 a

9 36 ? ) 的最小值。Ans:121 b c

【5】. 设 x,y,z ? R,且满足 x2 ? y2 ? z2 ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)(12 ? 22 ? 32) ? 5.14 ? 70 ∴ x ? 2y ? 3z 最大值为

70
时,(x,y,z) ?

【6】 设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 之最小值为 解(x ? 2y ? 2z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)[12 ? ( ? 2) 2 ? 22] ? 4.9 ? 36 ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时

x y z ?6 ?2 ? ? ? 2 ? 2 2 1 ? 2 2 2 ? (? 2) ? 2 3



x?

?2 4 ?4 ,y ? ,z ? 3 3 3

【7】设 x, y, z ? R , x2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值 M 与最小值 m。 Ans: M ? 15; m ? ?15

【8】 、设 x, y, z ?R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值与最小值。
答:根据柯西不等式

(1? x ? 2 ? y ? 2 ? z) 2 ? [12 ? (?2) 2 ? 2 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 即 ( x ? 2 y ? 2 z) ? 9 ? 25 而有 ? 15 ? x ? 2 y ? 2 z ? 15 故 x ? 2 y ? 2 z 的最大值为 15,最小值为–15。 【9】 、设 x, y, z ?R, 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,试求 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值。
答案:考虑以下两组向量

u = ( 2, –1, –2)

? ? ?2 ?2 v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u ? v ) 2 ? u ? v ,就有

[2x ? (?1) y ? (?2) z]2 ? [2 2 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 即 (2x ? y ? 2z) 2 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 将 2 x ? y ? 2 z ? 6 代入其中,得 36 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 而有
10

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 故 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值为 4。
【10】设 x, y, z ? R , 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值 m,并求此时 x、y、z 之值。 Ans: m ? 4; ( x, y, z ) ? ( ,?

4 3

2 4 ,? ) 3 3

【11】 设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 ? 考虑以下两组向量 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9, , v =( , ,
2 ) (u ? v ) ? u ? v

u =(

,

,

)

? ?

?2 ?2

[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2].(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2 ?

( ? 9) 2 9

?9

2 2 2 【12】 设 x, y, z ? R, 若 2x ? 3 y ? z ? 3 , 则 x ? ( y ? 1) ? z 之最小值为________, 又此时 y ? ________。

解: 2 x ? 3 y ? z ? 3 考虑以下两组向量 u =( , ,
2 2

? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( )
2 2

), , )
2 2 2 2

, v =(
2

,
2

[ x ? ( y ? 1) ? z ][ 2 ? (?3) ? 1 ] ? (2 x ? 3 y ? 3 ? z ) [ x ? ( y ? 1) ? z ] ? 解析:

x y ?1 z ? ? t? , 2 ? 3 1 3 2 ∴t ? ∴y?? 7 7

36 14

∴最小值

18 7

2 x

?3 y

? z

? 3 , ? 2t ( 2 ?) t ? 3 ( ?3 t ?1 ) ?

3

【13】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则

4 9 16 ? ? 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 u =( , ,

)

, v =(

,

,

)

? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v
? ? (

(

4 9 16 2 3 4 ? a? ? b? ? c ) 2 ? ( ? ? )(a ? b ? c) a b c a b c

4 9 16 ? ? ).9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 a b c 4 9 16 81 ? ? ? ?9 a b c 9

【14】 、设 a, b, c 均为正数,且 a ? 2b ? 3c ? 2 ,则
解:考虑以下两组向量 u =( , , ) , v =( , ,

1 2 3 ? ? 之最小值为________,此时 a ? ________。 a b c
)

11

? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v

1 2 2 3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ] ? (1 ? 2 ? 3) 2 a b c 1 2 3 a 2b 3c ? ? ∴ ( ? ? ) ? 18 ,最小值为 18 等号发生于 u // v 故 ? ? a b c 1 2 3 a b c 1 ∴ a ? b ? c 又 a ? 2b ? 3c ? 2 ∴ a ? 3 [( a ) 2 ? ( 2b ) 2 ? ( 3c ) 2 ][(
?


【15】 . 设空间向量 a 的方向为?, ?, ?, 0 ? ?, ?, ? ? ?, csc2? ? 9 csc2? ? 25 csc2? 的最小值为
解∵ ∴ sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2 由柯西不等式 (sin2? ? sin2? ? sin2?)[ (

1 2 3 2 5 2 ) ?( ) ?( ) ] ? (1 ? 3 ? 5)2 sin ? sin ? sin ?
81 2
∴ 故最小值为

2(csc2? ? 9csc2? ? 25csc2?) ? 81



csc2? ? 9csc2? ? 25csc2? ?

81 2

【注】本题亦可求 tan2? ? 9 tan2? ? 25tan2? 与 cot2? ? 9cot2? ? 25cot2? 之最小值,请自行练习。

【 16】 . 空间中一向量 a 与 x 轴, y 轴, z 轴正向之夹角依次为 ?,? , ?( ?,? ,? 均非象限角) ,求

?

1 4 9 ? ? 的最小值。 2 2 sin ? sin ? sin 2 ?
解 : 由柯西不等式

[(

1 2 2 2 3 2 ) ?( ) ?( ) ](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) sin ? sin ? sin ?

?

(

1 2 3 ? sin ? ? ? sin ? ? ? sin ? ) 2 sin ? sin ? sin ? 1 4 9 ) ? ( 2 ) ? ( 2 )](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? (1 ? 2 ? 3) 2 2 sin ? sin ? sin ?
sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2 ∴

? (
∵ 2(

1 4 9 1 4 9 ? ? ) ? 36 ? ( 2 ? ? ) ? 18 2 2 2 2 sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin 2 ? 1 4 9 ? ? 的最小值 ? 18 2 2 sin ? sin ? sin 2 ? 9 25 16 ? 2 ? 2 的最小值。 2 sin ? sin ? sin ?



【17】.空间中一向量 a 的方向角分别为 ? , ? , ? ,求 答 72 利用柯西不等式解之

【18】 、设 x, y, z ? R,若 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? 4 ,则 3x ? y ? 2 z 之范围为何?又 3x ? y ? 2 z 发生
最小值时, x ? ? 答案: [(x ? 1) ? ( y ? 2) ? z ][3 ? (?1) ? (?2) ] ? (3x ? 3 ? y ? 2 ? 2z)
2 2 2 2 2 2 2

12

4(14) ? (3x ? y ? 2 z ? 5) 2 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 5 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 x ?1 y ? 2 z ? ? ? t ∴ 3(3t ? 1) ? (?t ? 2) ? 2(?2t ) ? 5 ? 2 14 若 3x ? y ? 2z ? 5 ? 2 14 又 3 ?1 ?2 3 14 14 ∴t ? ? ∴x ?? ?1 7 7
【19】 设?ABC 之三边长 x,y,z 满足 x ? 2y + z = 0 及 3x + y ? 2z = 0,则?ABC 之最大角是多少度? 【解】 ?

?2 1 1 1 1 ?2 ? x ? 2y ? z ? 0 ? x:y:z = : : = 3:5:7 1 ?2 ?2 3 3 1 ?3x ? y ? 2 z ? 0
1 (3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7k ) 2 = ? ,∴? = 120? 2 2(3k )(5k )

设三边长为 x = 3k,y = 5k,z = 7k 则最大角度之 cos? =

【20】. 设 x,y,z ? R 且

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ? 1,求 x ? y ? z 之最大值,最小值。 16 5 4
Ans 最大值 7;最小值 ? 3

【解】 ∵

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ?1 16 5 4

由柯西不等式知 [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?(

? x ?1 2 y?2 2 z ?3 2 ) ?( ) ?( ) 2 5 ? 4

? x ?1 y?2 ? ) ? 5.( ) ? 2. ?? ? ?4.( 4 5 ? ?

(

z ?3 ? ) 2 ? ?

2

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ?5?x?y?z?2?5 ∴ ?3?x?y?z?7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

【21】. 求 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。 答. 最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【详解】 令向量 a ? (2sin?, 3 cos?,? cos?), b ? (1,sin?,cos?) 由柯西不等式 | a . b | ? | a || b |得 | 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? | ? 4 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ? cos2 ? ,
13

?

?

?

?

? ?

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4(sin 2 ? ? cos 2 ? )(1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2 2
所求最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【22】△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:

(a 2 ? b 2 ? c 2 )(
sin A ?

1 1 1 ? ? ) ? 36 R 2 证明:由三角形中的正弦定理得 2 2 2 sin A sin B sin C

1 4R 2 1 4R 2 1 4R 2 a ? ? ? ,所以 ,同理 , 于是左边= 2R sin 2 A a2 sin 2 B b2 sin 2 C c2
4R 2 4R 2 4R 2 2R 2R 2R 2 ? 2 ? 2 ) ? (a ? ?a? ?a? ) ? 36R 2 。 2 a b c a b c

(a 2 ? b 2 ? c 2 )(

【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得 (A2+B2) [ (x-x0)2+(y-y0)2 ] ≥ [ A(x-x0)+B(y-y0) ] 2= [ (Ax+By)-(Ax0+By0) ] 2=(Ax0+By0+C)2, 所 以 |PQ|≥

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.



x ? x0 y ? y 0 Ax ? By ? C | Ax0 ? By0 ? C | ? ? ? 0 2 02 时,取等号,由垂线段最短得 d= . A B A ?B A2 ? B 2

【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1 1 1 ? ? ≤λ 恒成立,求 λ 的范围. x? y y?z z?x

1 1 1 1 z 1 1 1 ? ? ? ( ? ? ? ≤ x ? y y ? z z ? x 2 xy 2 y z 2 zx 2 x ? y ? z

x ? x? y?z

y ) x? y?z

?

3 1 z x y 3 故 λ 的取值范围是[ ,+∞). (12 ? 12 ? 12 )( ? ? )? 2 2 x? y?z x? y?z x? y?z 2

温馨提示 本题主要应用了最值法,即不等式

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ≤λ 恒成立,等价于( )max≤λ,问 x? y y?z z?x x? y y?z z?x

题转化为求 f(x,y,z)=

1 1 1 ? ? 的最大值. x? y y?z z?x a?b?c 的值. x? y?z

【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.

14

由柯西不等式等号成立的条件,知

a b c a?b?c =λ.因此只需求 λ 的值即可.由柯 ? ? =λ,再由等比定理,得 x y z x? y?z a b c ? ? =λ 时,上式等号成立. x y z

西不等式,得 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25× 36,当且仅当

于是 a=λx,b=λy,c=λz,从而有 λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±

5 a b c 5 (舍负),即 ? ? ? . 6 x y z 6

竞赛欣赏
1 (1987 年 CMO 集训队试题)设 a, b, c ? R ? ,求证:

a5 ? b5 ? c5 ? a3bc ? b3ca ? c3ab
证明:因 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,由定理 1 有

(2-10)

a 4 b 4 c 4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 此即(2-10)式。 bc ca ab bc ? ca ? ab
2 设 a, b, c ? R ? ,求证:

b2 c 2 a 2 ? ? ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) a b c

证明:由均值不等式得 a3 ? c2 a ? 2a2c, b3 ? a2b ? 2ab, c3 ? b2c ? 2bc 2 ,故

a3 ? b3 ? c3 ? a2b ? b2c ? c2a ? 2(ab2 ? bc2 ? ca2 )
即 (a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? 3(ab2 ? bc2 ? ca2 ) .
2 2 2 2 2 2 2 又由柯西不等式知 3(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c) ,故 3(a ? b ? c ) ? a ? b ? c

又由定理 1,得 原式左=

a4 b4 c4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 3(a 2 ? b2 ? c 2 )2 ? ? ? ? ? 原式右 a 2c b2 a c 2b bc 2 ? ca 2 ? ab2 (a 2 ? b2 ? c 2 )(a ? b ? c)

一、柯西不等式在解题中的应用 1、 利用柯西不等式证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式,主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的,或者是利用柯西不 等式进行夹逼的方法获证。 例、已知 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1, 求证: a ? b ? 1 。
2 2

证明:由柯西不等式,得

a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? a2 ? 1 ? a2 b2 ? 1 ? b2 ?1

?

?

???

?

??

15

1 ? b2 ? 当且仅当 时,上式取等号, a 1? a2 b

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ,
a 2b 2 ? 1 ? a 2 1 ? b 2 ,
于是

?

??

?

a2 ? b2 ?1 。

2、 利用柯西不等式解无理方程(或方程组) 用柯西不等式解无理方程,是先把方程的(含有无理式的)运用柯西不等式化为不等式,然后结合原 方程把不等式又化成等式,在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性,得到与原方程同解的且比原 方程简单的无理方程,进而得到简单的整式方程,从而求得原方程的解。 例:解方程

x2 ?

1 ? x2 x2 ?

?x ? 1?2 ?
1 ? x2

?x ? 1?

1

2

?2? 1

1 x?x ? 1?



解:?

?x ? 1?2 ? ?x ? 1?
1

?x ? 1?2
2

=

x2 ?

1 ? x2

2

? ? x ? 1?

由柯西不等式知

x2 ? ?

1 ? x2

?x ? 1?

1

2

? ?x ? 1?

2

x x ?1 ? x ?1 x

即 x?

x2 ?

1 1 1 ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? , 2 2 x( x ? 1) x ( x ? 1)

? x2 ? ?2?

1 1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x ( x ? 1) 2

1 x( x ? 1)
1 成立,即 x( x ? 1)

当上式取等号时有 x( x ? 1) ?

x 2 ? x ? 1 ? 0 (无实根) 或 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,即
16

x?

?1? 5 ,经检验,原方程的根为 2 x? ?1? 5 2

用柯西不等式解方程组,也同样是利用柯西不等式取等号的条件,从而求得方程组的解。 例:解方程组

x? y ? z ?9 x? w?6 x 4 ? x 2 ( y 2 ? z 2 ? w 2 ) ? w 2 ( y 2 ? w 2 ) ? 486
解:原方程组可化为

x? y ? z ?9 x? w?6 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(x 2 ? w 2 ) ? 486
运用柯西不等式得

(x 2 ? y 2 ? z 2 ) ?
两式相乘,得

92 62 ? 27 , x 2 ? w 2 ? ? 18 3 2

?x

2

? y 2 ? z 2 ? x 2 ? w2 ? 486

? ?

?

当且仅当 x=y=z=w=3 时取等号。 故原方程组的解为 x=y=z=w=3. 3、 柯西不等式证明不等式。 很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出,而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构 的巧变、巧设数组等,下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。 例:设 a,b,c 为正数且不相等到,求证:

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c
分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9= ?1 ? 1 ? 1? , 2?a ? b ? c ? ? ?a ? b? ? ?b ? c? ? ?c ? a ?
2

这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。

17

?a ? b ? c ? ? ? ?

1 1 1 ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a?

1 1 ? ? 1 ? ??a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ?? ? ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a? 2 2 2 ?? ? ? 2 2 2 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a?b ? b?c ? c?a ? ?? ? b?c? ?? c?a? ? ? ? ? ?? a?b? 证明:2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ?

? ?

?

? ?1 ? 1 ? 1? ? 9 2 2 2 9 ? ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c
2

? 1 1 1 ? ? ?? a ? b ? ? b ? c ? ? c ? a ? ? ? a ? b b ? c c ? a ? ?

2

? a,b,c 各不相等, ? 等号不可能成立,从而原不等式成立。 ? 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是我们只要改变一下多项式的形态结构,认清其内
在的结构特征,就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。 例:设 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 , 求证:

1 1 1 1 ? ??? ? ?0 a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ? a n ?1 a n ?1 ? a1
分析:这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证:

?a1 ? a n?1 ? ? ?

?

? 1 1 1 ? ??? ? ? 1, a n ? a n ?1 ? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3

证明:为了运用柯西不等式,我们将 a1 ? a n ?1 写成

a1 ? an?1 ? ?a1 ? a2 ? ? ?a2 ? a3 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? 于是

题目 已知

,且

,求证



本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修

不等式选讲人教

版第十页习题

第 11 题。

这是一道经典的条件不等式证明题,解题入口宽、方法多样,对本题进行一题多解训练,可达到举一反三 触类旁通,解读一题沟通一片以点带面的复习效果。

证法 1(配方法)因为 所以

,所以



18



所以

,当且仅当





,即

时等号成立。

点评 本解法先消元 ,将

表示成只含

的二次式,并将此式当作是以 为主元的二次

三项式进行配方,再将配方后余下的部分再次配方,然后用实数平方的非负性,从而使问题得到解决。

证法 2(构造二次函数)因为 于是

,所以

, ,

故当

时,

最小,此时



所以



所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元 ,将 成只含 的二次式,然后选 为主元,将此式当作是含有参数 的以 为自变量的二次函数

表示 ,求出

的最小值 解。



的最小值就是

的最小值,从而使问题获

证法 3(用重要不等式)因为 ,

所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。 证法 4(用等号成立的条件构造平方和)由所证不等式等号成立的条件得,

19



即 等号成立。

, 所以

, 当且仅当



证法 5 (用等号成立的条件构造配偶不等式)由所证不等式等号成立的条件可构造如下不等式:





,三式相加得,

,所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 证法 4 和证法 5 注意到等号成立的条件

是问题获得简解的关键之所在。

证法 6(用柯西不等式)由三元柯西不等式得

,即



证法 7 (用向量数量积不等式) 构造向量



, 由向量数量积不等式

得,

,即

,当且仅当

时等号成立。

证法 8(利用直线与圆有公共点解题)把 当作参数 可看作是直角坐标系 圆心是坐标原点半径为 下的一条直线的方程,设

当作变量,则 则

即 ,此方程可看作是

的圆的方程。因为这两个方程所组成的方程组有解,所以直线与圆有公共

点,故圆心到直线的距离不大于半径。故

,即

有解,所以

,解得则

,即



点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识,化静为动,动中求静。根据“方程组有解,
20

则直线与圆有公共点,从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式,进而使问题得以解决。

证法 9(三角换元法)设 由 得

则 ,所以

,设

。 ,由正弦函数的

有界性得

,两边平方解得

,故



证法 10(构造概率模型)设随机变量 取值为

时的概率均为

,因为



所 以

, 所 以

, 即

, 当 且 仅 当

时等号成立。

证法 11 (用琴生不等式)构造函数

,因为



上的凹函数,由琴生不等式得,

,即

,所以

,当且仅当

时等号成立。

证法 12(用点面距离公式) 可看作是这个平面内任意一点

可看作是空间直角坐标系

下的一个平面的方程,

到原点 O 的距离的平方,由垂线段最短知,当 OP 与

平面垂直时, OP 最短从而

最小, 由点面距离公式得点 O 到平面的的距离为:



所以

,即



凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容, 但与初等函数关系密切, 是初等数学与高等数学的衔接处, 点面距离公式是大学空间解析几何的内容,但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓 广,这些知识可开阔学生的视野,类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。 以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题,消元法、配方法、构造法,函数和方程 思想,化归和转化思想,数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法,在以上十二种解法中体现得淋
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漓尽致。一题多解有利于培养发散思维、求异思维和综合运用多种知识解决问题的能力,有利于拓宽解题 思路,有利于创造性思维的培养。发挥经典以一当十,解析一题复习一片。

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