tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

竞赛讲座:基本不等式与柯西不等式


基本不等式应用
一.基本不等式

1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab
2. (1)若 a, b ? R * ,则

2 2 (2)若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 “=” )

2

a?b ?

ab 2
2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 , 则x?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 “=” ) ;若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “=” ) x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x
a b 3.若 ab ? 0 ,则 ? ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域
4.若 a, b ? R ,则 ( 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解: (1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x (2)当 x>0 时,y=x+ 1 (2)y=x+ x 1 3x 2· 2 2x 1 ≥2 x = 6 1 x· x ∴值域为[ 6 ,+∞)

=2; 1 x· x =-2

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x
1

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上