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2015年杭州市第二次高考科目教学质量检测(理科)及答案


2015 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷(理科)
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名. 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题卷.

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5

分,共 40 分. 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y= x B.y=cosx x C.y=3 D.y=ln| x | 2.命题“存在 x0∈R, 2 x0 ≤0”的否定 是 .. B.存在 x0∈R, 2 x0 ≥0 D.对任意的 x∈R,2x>0 a a 2 2 a3 a4 4 4 3. 设等比数列{an}的各项均为正数, 若 1? 2 ? ? , ? 则 a1a5= ( ) ? ? , 2 2 a1 a2 4 4 a3 a4 A.24 2 C.8 2 B .8 D.16 A.不存在 x0∈R, 2 x0 >0 C.对任意的 x∈R,2x≤0

4.设函数 y=sinax+b(a>0)的图象如图所示,则函数 y=loga(x+b)的图象可能 是( ) ..

A. B. C. D. 5. 设平行于 y 轴的直线分别与函数 y1=log2x 及 y2=log2x+2 的图象交于 B, C 两点, 点 A(m,n) n 位于函数 y2 的图象上.若△ABC 为正三角形,则 m·2 =( ) A. 8 3 C. 12 3 B.12 D.15

6. 已知 ABC-A1B1C1 是所有棱长均相等的直三棱柱, M 是 B1C1 的中点, 则下列命题正确的是( ) A.在棱 AB 上存在点 N,使 MN 与平面 ABC 所成的角为 45° B.在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45° C.在棱 AC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 平行 D.在棱 BC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 垂直

7.设 P 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )右支上的任意一点,已知 A(a,b)和 B(a,- a 2 b2

b).若 OP ? ? OA ? ? OB (O 为坐标原点) ,则 ? 2 ? ? 2 的最小值为( )

1 1 1 1 A. ab B. C. ab D. 4 2 2 4 8.设 f0(x)=| x |-10,fn(x)=| fn-1(x) |-1(n∈N*) ,则函数 y=f10(x)的零点个数为( ) A.19 B.20 C.21 D.22

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9.设集合{(x,y) | (x-1)2+(y-2)2≤10}所表示的区域为 A,过原点 O 的直线 l 将 A 分成两部 分.当这两部分面积相等时,直线 l 的方程为 ; 当这两部分面积之差最大时,直线 l 的方程为 ,直 正视图 4 线 l 落在区域 A 内的线段长为 . 10.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体中最长的 2 2 2 棱长等于 ,体积等于 . 侧视图 2 4 11.设直线 l:y=kx+1 经过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 1 F,则 p= ;已知 Q,M 分别是抛物线及其准线上的 1 点,若 MQ ? 2QF ,则| MF |= .
俯视图

? 3x ? y ? 0 12.设非负实数 x,y 满足 ? (m<0) ,则不等式所表示的区域的面积等于 ?x ? 3y ? m ? 0
(用 m 表示) ;若 z=2x-y 的最大值与最小值之和为 19,则实数 m= . 13.在正四面体 ABCD 中,M 是 AB 的中点,N 是棱 CD 上的一个动点.若直线 MN 与 BD 所成的角为 α,则 cosα 的取值范围是 . 14 .在 △ABC 中, | AB | ? 3 , | BC |? 5 , M 是 BC 的中点, AM ? ? MP ( λ ∈ R ) .若

MP ?

AB AC ,则△ABC 的面积为 ? | AB | cos B | AC | cos C



15.已知单位正方形的四个项点 A(0,0),B(1,0),C(1,1)和 D(0,1),从 A 点向边 CD 上 3 的点 P( ,1)发出一束光线,这束光线被正方形各边反射(入射角等于反射角) ,直到经 4 过正方形某个顶点后射出,则这束光线在正方形内经过的路程长度为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=6,sinA -sinC=sin(A-B). (Ⅰ)若 b=2 7 ,求△ABC 的面积; (II)若 1≤a≤6,求 sinC 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底 面 ABCD 为等腰梯形,且满足 AB//CD,AD=DC=

1 2

P

AB,PA⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB,求二面角 A-PD-C 的余弦值.
A

D

C

B

(第 17 题图)

x2 y 2 18. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的左焦点为 F(-c, 0), 点 D(0,b), a b
直线 DF 的斜率为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (II)设过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,过点 P(-4c,0)作与直线 AB 的倾斜角互补 | FA | ? | FB | 的直线 l,交椭圆 C 于 M,N 两点,问: 是否为定值,若是,求出此定值,若 | PM | ? | PN | 不是,说明理由. 19. (本题满分 15 分)数列{an}与{bn}满足:① a1=a<0,b1=b>0;②当 k≥2 时, 若 ak-1+bk-1≥0,则 ak=ak-1,bk=

a ?b ak ?1 ? bk ?1 ;若 ak-1+bk-1<0,则 ak= k ?1 k ?1 ,bk= 2 2

bk-1. (Ⅰ)若 a=-1,b=1,求 a2,b2,a3,b3 的值; (II)设 Sn=(b1-a1)+(b2-a2)+…+(bn-an) ,求 Sn(用 a,b 表示) ; (Ⅲ) 若存在 n∈N*, 对任意正整数 k, 当 2≤k≤n 时, 恒有 bk-1>bk, 求 n 的最大值 (用 a, b 表示) . 20. (本题满分 14 分)设 a>0,b>0,函数 f (x)=ax2-bx-a+b. (I) (i)求不等式 f (x)<f (1)的解集;

b 的取值范围; a (II)当 x∈[0,m]时,对任意的正实数 a,b,不等式 f (x)≤(x+1)| 2b-a |恒成立,求实 数 m 的最大值.
(ii)若 f (x)在[0,1]上的最大值为 b-a,求

2015 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷(理科)荅案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 5 题号 D D C C B 荅案 6 B 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9.2x-y=0,x+2y=0, 2 5 10. 33 , 12.

16 3

11.p=2,|MF|=4

3m 2 3 3 5 11 ;-10 13. [ 14. 15.5 , ] 6 2 20 4 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (Ⅰ)因为 sinA=sinC+sin(A-B) =sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB, 1 所以 cosB= . 2 根据余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 π (2 7 )2=a2+62-12acos ,即 a2-6a+8=0, 3 解得:a=2 或 a=4. 1 1 ? 当 a=2 时, S?ABC ? ac sin B ? ? 2 ? 6 ? sin ? 3 3 ; 2 2 3 1 1 ? 当 a=4 时, S?ABC ? ac sin B ? ? 4 ? 6 ? sin ? 6 3 . ……………………8 分 2 2 3 (II)当 a ? 3 ?[1,6] 时, sin C ? 1 , 1 当 a ? 1 时, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 1 ? 36 ? 2 ? 1 ? 6 ? ? 31 ,∴ b ? 31 , 2 6 31 3 93 于是 ,从而: sin C ? , ? π sin C sin 31 3 3 3 93 3 当 a ? 6 时,△ABC 为等边三角形,则 sin C ? ,因为 , ? 2 31 2 3 从而得 sin C 的取值范围是 [ ,1] . ……………………7 分 2 17. (Ⅰ)取 AB 中点 E,连接 CE,则由题意知,△BCE 为正三角形,所以∠ABC=60°.
由等腰梯形知∠BCD=120°,设 AD=DC=BC=2,则 AB=4,BD= 2 3 , 故 AD2+BD2=AB2,即得∠ADB=90°,所以 AD⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAD,且 BC ? 平面 PBD, 所以平面 PBD⊥平面 PAD. ……………………7 分 (Ⅱ)解法一:在平面 ABCD 中,过点 C 作 CH//BD 交 AD 延长线于点 H, 由(1)知 BD ? 平面 PAD,所以 CH ? 平面 PAD,从而 CH⊥PD.

在平面 PAD 中, 过点 H 作 HG⊥PD 交 PD 延长线于点 G, 连接 CG,则 PG ? 平面 HGC,所以 PG ? GC, 所以∠HGC 即为二面角 A-PD-C 的平面角. 在 Rt△CHD 中, CD=2,? CDH=60°, 所以 CH= 3 , 由 Rt△PAD∽Rt△HGD,得 GH ?

P H D A C G E B

PA ? DH 4 ?1 2 , ? ? PD 2 5 5
4 19 , ?3 ? 5 5

P

在 Rt△GHC 中, GC ? HG 2 ? HC 2 ?

所以 cos ?GHC ?

GH 2 19 . ? GC 19 2 19 . 19

A

H D G

所以二面角 A-PD-C 的余弦值为-

……………………8 分

方法 2:建立如图所示的直角坐标系 D-xyz,设 AD=DC=

1 AB=2, 2

则 D(0,0,0), A(2,0,0), P(2,0,4), B(0,2 3,0), C( ?1, 3,0) , DP ? (2,0,4), DC ? (?1, 3,0) , 则平面 PAD 的法向量 n1=(0,1,0),设平面 PDC 的法向量 n2=(x,y,z).

? 2 ?x ? 2z ? 0 ,1) . 由 n2 ? DP =0 及 n2 ? DC =0,得 ? ,令 z=1,取 n2= (?2, ? 3 ? ?x ? 3y ? 0
设二面角 A-PD-C 的大小为 θ,则 cos? ?

n1 ? n2 2 19 ?? . 19 | n1 | ? | n2 |

18. (Ⅰ)依题意可知:

b c 1 ? tan 60 ? 3 ,故 e ? ? . ……………………3 分 a 2 c (II)设直线 AB 方程为: x=ty-c,则直线 MN 的方程为:x=-ty-4c,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ) ,

? x ? ty ? c ?9c 2 ? 2 2 2 2 则 ? x2 , , , ? y ? y ? ? (3 t ? 4) y ? 6 tcy ? 9 c ? 0 y 1 2 3t 2 ? 4 ? 2 ? 2 ?1 3c ? 4c ? x ? ?ty ? 4c 36c 2 ? 又 ? x2 ,?(3t 2 ? 4) y 2 ? 24tcy ? 36c2 ? 0 ,? y3 ? y4 ? 2 , y2 3t ? 4 ? 2 ? 2 ?1 3c ? 4c
9c 2 2 1 ? t | y1 | 1 ? t | y2 | |yy | | FA | ? | FB | 1 ? ? 1 2 ? 3t ?24 ? .……12 分 所以 | PM | ? | PN | 4 36c 1 ? (?t )2 | y3 | 1 ? (?t ) 2 | y4 | | y3 y4 | 2 3t ? 4
2 2

1 19. (Ⅰ) a2 ? ?1, b2 ? 0, a3 ? ? , b3 ? 0 , 2

……………………4 分

ak ?1 ? bk ?1 b ?a a ?b b ?a ? ak ?1 ? k ?1 k ?1 , bk ?1 ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1 , 2 2 2 2 b ? ak ?1 因此无论是 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 还是 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,都有 bk ? ak ? k ?1 , 2 1 即 {bk ? ak } 是以 b1 ? a1 ? b ? a 为首项, 为公比的等比数列. 2 1 所以 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ...(bn ? an ) ? 2(b ? a )(1 ? n ) . ……………………4 分 2
(II) (Ⅲ) bk ?1 ? bk ,? ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,? ak ? ak ?1 , 即 k ? [2, N ] 时,恒有 ak ? a ,

1 1 由(II)知 bk ? ak ? (b ? a )( ) k ?1 ,? bk ? a ? (b ? a )( ) k ?1 , 2 2 1 所以 ak ?1 ? bk ?1 ? a ? a ? (b ? a )( ) k ? 2 ? 0 , 2
解得: k ? 2 ? log 1
2

?2a . b?a ?2a ?2a ?2a 的最大整 ] (其中 [2 ? log 1 ] 表示不超过 2 ? log 1 b?a 2 b?a 2 b?a

所以 N 的最大值为 [2 ? log 1
2

数) . ……………………7 分 20. (I) (i) f ( x) ? f (1) 即 f ( x) ? 0 ,即 ( x ? 1)(ax ? a ? b) ? 0 .

b?a ); a b?a 当 b ? 2a 时,解集为 ( ,1) ; a 当 b ? 2a 时,解集为 ? . b (ii)因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 ? 0 , a b 1 ①当 0 ? ? ,即 b ? a 时, f (0) ? b ? a ? 0 ? f (1) ,不合题意; 2a 2 b b 1 ②当 ? ,即 b ? a 时, f (0) ? b ? a ? 0 ? f (1) ,符合题意, ? 1 . a 2a 2
当 b ? 2a 时,解集为 (1, 所以
b a

的取值范围为 [1, ??) .
2

……………………7 分

(II)由 f ( x) ? ( x ? 1) 2b ? a ,得 ax ? (b ? 2b ? a ) x ? a ? b ? 2b ? a ? 0 ,

b b b b 即 x 2 ? ( ? 2 ? ? 1) x ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 0 , a a a a
令t ?

b 2 ,则 x ? (t ? 2t ? 1) x ? t ? 1 ? 2t ? 1 ? 0 , a

2 当 ? ? (t ? 2t ? 1) ? 4(t ? 1 ? 2t ? 1) ? 0 时,解得

t ? 2t ? 1 ? (t ? 2t ? 1)2 ? 4(t ? 1 ? 2t ? 1) 2

?x?

t ? 2t ? 1 ? (t ? 2t ? 1) 2 ? 4(t ? 1 ? 2t ? 1) 2



3t ? 1 ? (3t ? 1)2 ? 4t 3t ? 1 ? (3t ? 1) 2 ? 4t 1 ?x? (1)当 t ? 时, , 2 2 2
又因为

3t ? 1 ? (3t ? 1)2 ? 4t 3t ? 1 ? (3t ? 1)2 ? 4t ?1, ? 0, 2 2

3t ? 1 ? (3t ? 1)2 ? 4t 只需要 m ? 恒成立即可,即 m ? 1 . 2
(2)当 0 ? t ?

1 ? t ? (1 ? t )2 ? 4(3t ? 2) 1 ? t ? (1 ? t )2 ? 4(3t ? 2) 1 ?x? 时, , 2 2 2

显然

1 ? t ? (1 ? t )2 ? 4(3t ? 2) ? 0, 2



1 ? t ? (1 ? t )2 ? 4(3t ? 2) 1 ? t ? t 2 ? 14t ? 9 1 ? 在 (0, ) 上递减,所以 2 2 2

1 ? t ? t 2 ? 14t ? 9 ?1, 2
所以只需要 m ?

1 ? t ? t 2 ? 14t ? 9 恒成立,即 m ? 1 . 2
……………………7 分

综上,m 的最大值为 1.


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