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2012高三数学函数专题复习


2012 届高考数学函数专项突破(分节)精选习题集及详解答案 第一部分 第一节
题号 答案 一、选择题 1.下面哪一个图形可以作为函数的图象( ) 1

函数的概念与性质 函数的概念
2 3 4 5

2.下列对应中是映射的是(

)

A.(1)、(2)、(3) C.(1)、(3)、(5)

B.(1)、(2)、(5) D.(1)、(2)、(3)、(5)

3.(2009 年茂名模拟)已知 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射,?是空集,那么下列结论可以成 立的是( ) B.A=B≠? D.A≠B 且 B 的元素都有原象 )

A.A=B=? C.A、B 之一为?

4. 已知集合 M={(x,y)|x+y=1}, 映射 f: M→N, f 作用下点(x, 在 y)的元素是(2x,2y), 则集合 N=( A.{(x,y)|x+y=2,x>0,y>0} B.{(x,y)|xy=1,x>0,y>0} C.{(x,y)|xy=2,x<0,y<0} D.{(x,y)|xy=2,x>0,y>0}

5.现给出下列对应: (1)A={x|0≤x≤1},B=R ,f:x→y=ln x;


(2)A={x|x≥0},B=R,f:x→y=±x; (3)A={平面 α 内的三角形},B={平面 α 内的圆},f:三角形→该三角形的内切圆; (4)A={0,π},B={0,1},f:x→y=sin x. 其中是从集 A 到集 B 的映射的个数( A.1 二、填空题 x2-1 f(2) =________. 6.(2009 年珠海一中模拟)已知函数 f(x)= 2 ,则 1 x +1 f?2? ? ? 7.设 f:A→B 是从集合 A 到 B 的映射,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b),若 B 中元素(6,2)在映射 f 下的元素是(3,1),则 k,b 的值分别为________. 8. (2009 年东莞模拟)集合 A={a, B={1, b}, -1,0}, 那么可建立从 A 到 B 的映射个数是________. 从 B 到 A 的映射个数是________. 三、解答题 9.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+f(b),且 f(2)=p,f(3)=q,求 f(72)的值. B.2 C.3 ) D.4

10.集合 M={a,b,c},N={-1,0,1},映射 f:M→N 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,那么映射 f:M→N 的个数是多少?

参考答案 1.解析:(4)中元素 c 没有象,不符合映射定义中的“集 A 中的任意一个元素在集 B 中都有元素与之 对应”;(5)中,与元素 a 对应的元素有两个,不符合映射定义中的“对于集 A 中的任意一个元素,在集 B 中都有唯一确定的元素与之对应”;而(1)(2)(3)中的对应都符合映射定义.故本题正确答案为 A. 答案:A 2.解析:A、C、D 中的对应法则都是“一对多”,故它们不是函数的图象,正确答案为 B. 答案:B 3.B

4.解析:因为 x+y=1,所以 2x·2y=2x y=2.这就是说,集合 N 中的元素,其横坐标与其纵坐标之积


为常数 2,又显然集合 N 中横、纵坐标都是正数,故本题正确答案为 D. 答案:D 5.解析:(1)的对应中,对于集 A 中值 0,在集合 B 中,没有元素与之对应,故(1)的对应不是从 A 到 B 的映射;(2)的对应中,对于集 A 中的任意一个非零 x 的值,在集合 B 中,都有两个元素与之对应(不满 足唯一性),故(2)的对应不是从 A 到 B 的映射;(3)、(4)的对应都满足映射的定义,故(3)、(4)的对应都是从 A 到 B 的映射.故选 B. 答案:B 6.-1
? ?3k=6 ,∴k=2,b=1. 7.解析:依题意,(3,1)→(6,2),则? ? ?1+b=2

答案:k=2,b=1 8.9 8 9.解析:∵f(ab)=f(a)+f(b), ∴f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=f(4×2)+f(3×3)= f(4)+f(2)+2f(3)=f(2×2)+f(2)+2f(3) =3f(2)+2f(3)=3p+2q. 10.解析:∵f(a)∈N,f(b)∈N,f(c)∈N,且 f(a)+f(b)+f(c)=0, ∴有 0+0+0=0+1+(-1)=0.当 f(a)=f(b)=f(c)=0 时,只有一个映射;当 f(a)、f(b)、f(c)中恰有一 个为 0,而另两个分别为 1,-1 时,有 C1·A2=6 个映射.因此所求的映射的个数为 1+6=7. 3 2

第二部分
题号 答案 一、选择题 1.函数 f(x)= 1 A.?-3,+∞? ? ? 1 1 C.?-3,3? ? ?

函数的解析式与定义域
1 2 3 4 5

3x2 +lg(3x+1)的定义域是( 1-x 1 B.?-3,1? ? ? 1 D.?-∞,-3? ? ?

)

2 ?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式可取为( 2.已知 f? ? ?1+x? 1+x2

)

x A. 1+x2 2x C. 1+x2

2x B.- 1+x2 x D.- 1+x2

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作 时间 t 的函数,其图象可能是( )

?1-x2, ? 4.设函数 f(x)=? 2 ? ?x +x-2,

x≤1, x>1,

则 f?

1 ? ?f(2)?的值为(

)

15 A. 16 8 C. 9

27 B.- 16 D.18 1

?x,x<0 5.(2009 年北京卷)若函数 f(x)=? 1 ??3? ,x≥0 ? ?
x

1 则不等式|f(x)|≥ 的解集为( 3

)

A.(-3,1) C.(-1,3] 二、填空题

B.[-1,3] D.[-3,1]

6.已知函数 f(x)= x2-2ax+a2-1的定义域为 A,2?A,则 a 的取值范围是____________. 7.如果 f[f(x)]=2x-1,则一次函数 f(x)=_____________. 8.(2009 年潮州模拟)为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 加密 发送 解密 明文― →密文― →密文― →明文 ― ― ― 已知加密为 y=ax-2(x 为明文、y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接 受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是_______. 三、解答题 9.如右图所示, 在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P,沿着折线 BCDA 由 点(终点)移动,设 P 点移动的路程为 x,△ABP 的面积为 y=f(x). B 点(起点)向 A

(1)求△ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数关系式; (2)作出函数的图象,并根据图象求 y 的最大值.

10.(2009 年汕头模拟)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,(a<0)不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

参考答案
?1-x>0 ? 1 1.解析:由? ?- <x<1,故选 B. 3 ? ?3x+1>0

答案:B 1-x 1-t 2.解析:令 =t,则 x= , 1+x 1+t 2t 2x ,∴f(x)= 2 . ∴f(t)= 2 t +1 x +1 答案:C 3.A 4.A

?x<0 1 ? 5.解析:(1)由|f(x)|≥ ???1? 1 3 ??x?≥3 ? ?x≥0 1 ? (2)由|f(x)|≥ ????1?x? 1 3 ???3? ?≥3 ?
0≤x≤1.

?-3≤x<0.

?x≥0 ? ???1?x 1 ? ??3? ≥3 ?

1 ∴不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}. 3 答案:D 6.解析:∵2?A,∴4-4a+a2-1<0,即 a2-4a+3<0,

解得 1<a<3. 答案:1<a<3 7.解析:设 f(x)=kx+b,则 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. 由于该函数与 y=2x-1 是同一个函数, ∴k2=2 且 kb+b=-1,∴k=± 2. 当 k= 2时,b=1- 2; 当 k=- 2时,b=1+ 2. 答案: 2x+1- 2或- 2x+1+ 2 8.4 9.解析:(1)这个函数的定义域为(0,12), 1 当 0<x≤4 时,S=f(x)= ·4·x=2x; 2 当 4<x≤8 时,S=f(x)=8; 1 当 8<x<12 时,S=f(x)= ·4·(12-x)=24-2x. 2

∴这个函数的解析式为

?2x, ? f(x)=?8, ?24-2x, ?

x∈(0,4], x∈(4,8], x∈(8,12).

(2)其图形如右,由图知, [f(x)]max=8. 10.解析:(1)∵不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3), ∴x=1 和 x=3 是方程 ax2+(b+2)x+c=0(a<0)的两根,

?b+2=-4 a ∴? c ?a=3

,∴b=-4a-2,c=3a,

又方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根. ∴?=b2-4a(c+6a)=0,∴4(2a+1)2-4a×9a=0. 1 ∴(5a+1)(1-a)=0,∴a=- 或 a=1(舍). 5

1 6 3 ∴a=- ,b=- ,c=- , 5 5 5 6 3 1 ∴f(x)=- x2- x- . 5 5 5 (2)由(1)知 f(x)=ax2-2(2a+1)x+3a 2a+1?2 (2a+1)2 =a?x- - +3a a a ? ? 2a+1?2 -a2-4a-1 =a?x- + a a ? ? ∵a<0, -a2-4a-1 , ∴f(x)的最大值为 a ∵f(x)的最大值为正数.

?a<0 ? ∴?-a2-4a-1 >0 ? a ?
? ?a<0 ∴? 2 ? ?a +4a+1>0

解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).

第三部分
题号 答案 一、选择题 1

函数的值域与最值
2 3 4 5

1.函数 y=x2-2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}

)

C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 2.(2008 年中山模拟)函数 y=log2x+logx(2x)的值域是( A.(-∞,-1] C.[-1,3] B.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) )

2 ?x , |x|≥1 ,g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x) 3.(2009 年郑州模拟)设 f(x)=? ?x, |x|<1

的值域是(

)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞)
?-1,x>0 ? (a+b)-(a-b)f(a-b) 4.设函数 f(x)=? (a≠b)的值是( ,则 2 ? ?1,x<0

)

A.a B.b C.a,b 中较小的数 D.a,b 中较大的数 m 5.(2008 年重庆卷)已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为( M 1 A. 4 C. 2 2 1 B. 2 D. 3 2 )

二、填空题 6.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a=________. 1 1 1 2 3 2009 7.若 f?2+x?+f?2-x?=2 对任意的非负实数 x 成立,则 f?2010?+f?2010?+f?2010?+…+f?2010?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ________.
? ?a,a≥b 8.(2009 年福州模拟)对 a,b∈R,记 max{a,b}=? ,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R) ? ?b,a<b

的最小值是 ________.

三、解答题 1 9.若函数 y=f(x)= x2-2x+4 的定义域、值域都是闭区间[2,2b],求 b 的值. 2

10.某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加 2500 1 元,市场对此商品年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R(x)=5x- x2(万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售 2 出的数量(单位:百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本?

参考答案 1.A 2.D 3.解析:要 f(?)的值域是[0,+∞),则 ? 可取(-∞,-1]∪[0,+∞).又 g(x)是二次函数,定义域连 续,故 g(x)不可能同时取(-∞,-1]和[0,+∞).结合选项只能选 C. 答案:C 4.解析:按 a>b,a<b 两种情形分类讨论. 答案:D 5.C 6.2 7.2009 1 8.解析:由|x+1|≥|x-2|?(x+1)2≥(x-2)2?x≥ , 2 1 |x+1|?x≥2? ? ? 故 f(x)= ,其图象如下, ?x<1? |x-2|? 2?

? ? ?

1 1 3 则 fmin(x)=f?2?=?2+1?= . ? ? ? ? 2 3 答案: 2 1 1 9.解析:∵y=f(x)= (x2-4x+8)= (x-2)2+2, 2 2 ∴其图象的对称轴是 x=2. 因此 y=f(x)在[2,2b]上是递增函数,且 2b>2,即 b>1. 1 1 又函数 y=f(x)= x2-2x+4 的定义域、值域都是闭区间[2,2b],所以有 f(2b)=2b,即 (2b)2-2×2b+ 2 2 4=2b, ∴b2-3b+2=0,∴b=1(舍去),b=2. 10. 解析: (1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x)之差, 由题意, x≤5 当 时,产品能全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,所以

?5x-2x -(0.5+0.25x)(0≤x≤5) y=? 1 ??5×5-2×5 ?-(0.5+0.25x)(x>5) ? ?
2 2

1

?4.75x-1x2-0.5(0≤x≤5) ? 2 =? . ? ?12-0.25x (x>5)
1 (2)在 0≤x≤5 时,y=- x2+4.75x-0.5, 2 b 当 x=- =4.75(百台)时,ymax=10.78125(万元); 2a 当 x>5(百台)时,y<12-0.25×5=10.75(万元), 所以当生产 475 台时,利润最大. (3)要使企业不亏本,即要求 ?0≤x≤5 ?x>5 ? ? 或? , ? 1 2 ? ?12-0.25x≥0 ? ?-2x +4.75x-0.5≥0 解得 5≥x≥4.75- 21.5625≈0.1(百台)或 5<x<48(百台)时, 即企业年产量在 10 台到 4800 台之间时, 企业不亏本.

第四部分
题号 答案 一、选择题 1 2

函数的单调性
3 4 5

?(3-a)x-4a,x<1, ? 1.(2009 年顺德一中月考)已知 f(x)=? ? x≥1, ?logax,

是(-∞,+∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是( A.(1,+∞) 3 C.?5,3? ? ? B.(-∞,3) D.(1,3)

)

1 2.(2010 年湖北卷)若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1, 2 +∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A.[-1,+∞) C.(-∞,-1] )

B.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

3.(2010 年辽宁卷)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f? 之和为( )

?x+3?的所有 x ? ?x+4?

A.-3

B.3

C.-8

D.8 )

1 4.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈?0,2?成立,则 a 的取值范围是( ? ? A.(0,+∞) 5 C.?-2,+∞? ? ? B.[-2,+∞) D.(-3,+∞) )

a 5.(2009 年浙江卷)若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是( x A.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 二、填空题 6.函数 y= x2+2x-3的递减区间是________.

1 2 7.如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=-f(x),则 f?3?,f?3?,f(1)从小 ? ? ? ? 到大的排列是________. 8.(2010 年湖南卷)已知函数 f(x)= 3-ax (a≠1). a-1

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________.

三、解答题 9.已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y) =f?

? x+y ?,试证明: ? ?1+xy?
(1)f(x)为奇函数; (2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

2x-t 10.(2009 年珠海模拟)已知 α,β 是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个实数根,函数 f(x)= 2 的定义 x +1 域为[α,β]. (1)判断 f(x)在[α,β]上的单调性,并证明你的结论; (2)设 g(t)=maxf(x)-minf(x),求函数 g(t)的最小值. 参考答案 1. 解析: 依题意, a>1 且 3-a>0, 有 解得 1<a<3, 又当 x<1 时, (3-a)x-4a<3-5a, x≥1 时, ax≥0, 当 log 3 所以 3-5a≤0 解得 a≥ ,所以 1<a<3,故选 D. 5 答案:D 2.C 3.C a 4.解析:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=- . 2 1 1 a 1 5 若- ≥ ,即 a≤-1 时,则 f(x)在?0,2?上是减函数,应有 f?2?≥0?- ≤a≤-1; ? ? ? ? 2 2 2 1? a 若- ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在?0,2?上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0; ? 2 a 1 若 0<- < ,即-1<a<0,则应有 2 2 a? a2 a2 a2 f?-2?= - +1=1- ≥0 恒成立,故-1<a<0. ? 4 2 4 5 综上有 a≥- .故选 C. 2 答案:C 3 a 2x -a 5.解析:因为 f′(x)=2x- 2= 2 ,对?a∈R,f′(x)在(0,+∞)正、负不确定,故 A、B 错误, x x 而对 C,当 a=0 时,f(x)=x2,显然成立,故选 C. 答案:C 6.(-∞,-3) 7.解析:∵f(x)为 R 上的奇函数, 1 1 2 2 1 2 ∴f?3?=-f?-3?,f?3?=-f?-3?,f(1)=-f(-1),又 f(x)在[-1,0]上是增函数且- >- >-1, ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 1? ? 2? ∴f?-3?>f?-3?>f(-1), ? 1 2 ∴f?3?<f?3?<f(1). ? ? ? ? 1 2 答案:f?3?<f?3?<f(1) ? ? ? ? 3 8.(1)?-∞,a? (2)(-∞,0)∪(1,3] ? ? ? x+y ?,令 x=y=0,得 f(0)=0, 9.证明:(1)由 f(x)+f(y)=f? ? ?1+xy? ? x-x ?=f(0)=0. 令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f? ? ?1-x2? ∴f(x)=-f(-x),即 f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减.

令 0<x1<x2<1, 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1) ? x2-x1 ?, =f? ? ?1-x1x2? ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0, x2-x1 >0, ∴ 1-x2x1 又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0, ∴x2-x1<1-x2x1, x2-x1 ? x2-x1 ?<0, ∴0< <1,由题意知 f? ? 1-x2x1 ?1-x1x2? 即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0, ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 10.解析:(1)f(x)在[α,β]上为增函数 2x-t -2x2+2tx+2 ∵f(x)= 2 ,∴f′(x)= , x +1 (x2+1)2 ∵ 当 x∈(α,β)时,4x2-4tx-1<0, 1 ∴ 当 x∈(α,β)时,-2x2+2tx+ >0, 2 ∴当 x∈(α,β)时,-2x2+2tx+2>0, ∴f′(x)>0,∴f(x)在[α,β]上单增. (2)由题意及(1)可知,f(x)max=f(β),f(x)min=f(α), 2β-t 2α-t ∴g(t)=f(β)-f(α)= 2 - 2 β +1 α +1 (β-α)[-2αβ+t(α+β)+2] = α2β2+α2+β2+1 1 ∵α+β=t,αβ=- ,∴β-α= (β+α)2-4αβ= t2+1, 4 1 α2+β2=(α+β)2-2αβ=t2+ , 2 8 t2+1(2t2+5) ∴g(t)= ,t∈R, 16t2+25 令 t2+1=U,则 t2=U2-1,U∈[1,+∞), 8U(2U2+3) 16U3+24U ∴g(t)= = , 16U2+9 16U2+9 4 2 3 ?16U +24U?′=8(32U +6U +27)>0, ∵? ? (16U2+9)2 ? 16U2+9 ? 16U3+24U ∴ 在[1,+∞)单调递增, 16U2+9 8 ∴当 U=1,t=0 时,g(t)min= . 5

第五部分

函数的奇偶性与周期性

题号 答案 一、选择题

1

2

3

4

5

1.f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数” 的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 2.(2010 年安徽卷)若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3) )

3.(2009 年肇庆一中模拟)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)>0,且 g(-2)=0,则不等式 f(x)g(x)>0 的解集是( A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)
? 2 ?x +4x,x≥0 4.(2009 年天津卷)已知函数 f(x)=? ,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ?4x-x ,x<0 ?

)

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) )

5.(2009 年全国卷Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 二、填空题

6.(2010 年福建卷)函数 f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为________. 7.

(2009 年南昌模拟)设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图所示,则不等 式 f(x)<0 的解是________.

8.(2009 年重庆卷)若 f(x)=

1 +a 是奇函数,则 a=____________. 2x-1

三、解答题 9.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)-λf(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围.

10.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=2x -x2. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011).

参考答案 1.解析:f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x),若“f(x),g(x)均为偶函数”,则“h(x)为 偶函数”, 而反之若“h(x)为偶函数”, 则“f(x), g(x)不一定均为偶函数”, 所以“f(x), g(x)均为偶函数”, 是“h(x)为偶函数”是充分而不必要的条件,故选 B. 答案:B 2.解析:用-x 代换 x 得:f(-x)-g(-x)=e x,即 f(x)+g(x)=-e x,解得:f(x)=
- -

ex-e x ,g(x)=- 2


ex+e x ,而 f(x)单调递增且大于等于 0,g(0)=-1,故选 D. 2


答案:D 3.A 4.解析:由已知,当 x<0 时,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-4x=-(4x-x2)=-f(x).

当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=4(-x)-(-x)2=-(x2+4x)=-f(x). 且 f(0)=0,∴f(x)为奇函数, 又当 x≥0 时,f(x)为增函数, ∴f(x)在 R 上为单调递增函数, ∴由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a. 即 a2+a-2<0,解得-2<a<1. 答案:C 5.解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1), ∴函数 f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函数. ∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3), 即 f(x+3)是奇函数.故选 D. 答案:D 6.解析:f(x)-1=x3+sin x 为奇函数,又 f(a)=2, ∴f(a)-1=1,故 f(-a)-1=-1 即 f(-a)=0. 答案:0 7.(-2,0)∪(2,5] 1 1 1 2x 2x 2x 8. 解析: f(-x)= -x +a= +a, f(-x)=-f(x)? +a=-?2x-1+a??2a= - = ? ? 2 -1 1-2x 1-2x 1-2x 1-2x 1 1,故 a= . 2 1 答案: 2 9.解析:(1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为 P(x,y),



?x +x=0 2 ?y +y ? 2 =0
0 0

?x0=-x ? ,即 ? . ? ?y0=-y

∵点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|可得:2x2-|x-1|≤0. 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解. 1 当 x<1 时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤ . 2

1 因此,原不等式的解集为?-1,2?. ? ? (3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1. ①当 λ=-1 时,得 h(x)=4x+1 在[-1,1]上是增函数,符合题意,∴λ=-1. 1-λ ②当 λ≠-1 时,抛物线 h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1 的对称轴的方程为 x= . 1+λ 1-λ (ⅰ)当 λ<-1,且 ≤-1 时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得 λ<-1. 1+λ 1-λ (ⅱ)当 λ>-1,且 ≥1 时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得-1<λ≤0. 1+λ 综上,得 λ≤0. 10.解析:(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)为奇函数,∴-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x.当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0]. ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4), 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8, ∴x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007) =f(2010)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+…+f(2011)=0+…+0=0.

第六部分
题号 1 2

函数的图象
3 4 5

答案 一、选择题 1.函数 y=f(x)的图象与函数 g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则 f(x)的表达式为( A.f(x)= 1 (x>0) log2x B.f(x)=log2(-x)(x<0) D.f(x)=-log2(-x)(x<0) ) )

C.f(x)=-log2x(x>0)

2.函数 y=e|ln x|-|x-1|的图象大致是(

3.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等 的圆口酒杯,如下图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为 h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是( )

A.h2>h1>h4 C.h3>h2>h4

B.h1>h2>h3 D.h2>h4>h1 )

1 4.函数 f(x)=2|log2x|-?x-x?的图象为( ? ?

1 5.(2009 年日照模拟)函数 y=f(x)的图象如右图所示, 则函数 y=log f(x)的图象 2 大致是( )

二、填空题 6.(2009 年上海嘉定一中测试)f(x)是定义域为 R 的偶函数,其图象关于直线 x=2 对称,当 x∈(-2,2) 时,f(x)=-x2+1,则 x∈(-4,-2)时,f(x)的表达式为________. 7.

(2010 年深圳一模)已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的 图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③ f(x1)+f(x2) ?x1+x2? <f 2 ? 2 ?.

图象如右

其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上) 5 5 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f?x+2?+f(x)=0,且函数 f?x+4?为奇函数,给出下列结论: ? ? ? ? 5 ①函数 f(x)的最小正周期是 ; 2 5 ②函数 f(x)的图象关于点?4,0?对称; ? ? 5 ③函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称; 2 5 ④函数 f(x)的最大值为 f?2?. ? ? 其中正确结论的序号是________.(写出所有你认为正确的结论的符号) 三、解答题 9.(2010 年福州模拟)

函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象的示意图如右图所示,设两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数? (2)若 x1∈[a,a+1], 2∈[b,b+1], a, x 且 b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}指出 a, b 的值,并说明理由;

(3)结合函数图象示意图,判断 f(6),g(6),f(2010),g(2010)的大小.

10. 若函数 f(x)对定义域中任意 x 均满足 f(x)+f(2a-x)=2b, 则称函数 y=f(x)的图象关于点(a, b)对称. x2+mx+m 的图象关于点(0,1)对称,求实数 m 的值; (1)已知函数 f(x)= x (2)已知函数 g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当 x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ ax+1,求函数 g(x)在(-∞,0)上的解析式; (3)在(1)(2)的条件下,当 t>0 时,若对任意实数 x∈(-∞,0),恒有 g(x)<f(t)成立,求实数 a 的取值 范围.

参考答案 1.解析:(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 g(x)=log2x(x>0)?f(x)=-log2(-x)(x<0),故选 D. 答案:D 2.D 3.A 4.D

5.解析:由 f(x)图象知 f(x)≥1, 1 ∴y=log f(x)≤0,结合图象知选 C. 2 答案:C 6.f(x)=-(x+4)2+1 7.②③ 8.②③ 9.解析:(1)C1 对应的函数为 g(x)=x3,C2 对应的函数为 f(x)=2x. (2)a=1,b=9. 理由如下: 令 φ(x)=f(x)-g(x)=2x-x3,则 x1,x2 为函数 φ(x)的零点. ∵φ(1)=1>0,φ(2)=-4<0,φ(9)=29-93<0,φ(10)=210-103>0, ∴方程 φ(x)=f(x)-g(x)的两个零点 x1∈(1,2),x2∈(9,10) 因此整数 a=1,b=9. (3)从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6).

当 x>x2 时,f(x)>g(x),∴g(2010)<f(2010). ∵g(6)<g(2010), ∴f(6)<g(6)<g(2010)<f(2010). 10.解析:(1)由题设可得 f(x)+f(-x)=2, 即 x2+mx+m x2-mx+m + =2,解得 m=1. x -x

(2)当 x<0 时,-x>0 且 g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2-g(-x)=-x2+ax+1. 1 (3)由(1)得 f(t)=t+ +1(t>0), t 其最小值为 f(1)=3. a a2 g(x)=-x2+ax+1=-?x-2?2+1+ , ? ? 4 a a2 ①当 <0,即 a<0 时,g(x)max=1+ <3, 2 4 得 a∈(-2 2,0) a ②当 ≥0,即 a≥0 时,g(x)max<1<3, 2 得 a∈[0,+∞);由①②得 a∈(-2 2,+∞).

第七部分
题号 答案 一、选择题 1

函数模型及其应用
2 3 4 5

1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与 营运年数 x(x∈N)的关系为 y=-x2+12x-25,则每辆客车营运多少年报废可使其营运年平均利润最大 ( ) A.2 B.4 C.5 D.6 )

2.某种放射性元素,100 年后只剩原来质量的一半,现有这种元素 1 克,3 年后剩下( 3×0.5 A. 克 100 C.0.925 克 B.(1-0.5%)3 克 100

D.

0.125克

3.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠, ②如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠,③如果超过 500 元,其 500 元按②条给予优 惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠.某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次购买上述 同样的商品,则应付款( )

A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元 4.如图甲所示,

图甲 点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点 P 沿着 A—B—C—M 运动时, 以点 P 经过的路程 x 为自变量,三角形 APM 的面积函数的图象形状大致是图乙中的( )

图乙

5.(2008 年揭阳模拟)某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月 租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与 打出电话费 s(元)的函数关系如右图所示, 当打出电话 150 分钟时, 这两种方 式电话费相差( A.10 元 二、填空题 6.商店某种货物的进价下降了 8%,但销售价没变,于是这种货物的销售利润由原来的 r%增加到(r +10)%,那么 r 的值等于________. 7.为 ) B.20 元 C.30 元 40 D. 元 3

了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含 1 - 药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=?16?t a(a 为常数),如右图 ? ? 所示: 据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么,药物释放 开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 8.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 万元,又知总 1 收入 k 是单位产品数 Q 的函数,k(Q)=40Q- Q2,则总利润 L(Q)的最大值是________. 20 三、解答题 9.某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为 200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制, 超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 隔墙建造单价为每米 248 元, 池底建造单价为每 (池壁厚度忽略不计,且池无盖). (1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米) 式,并指出其定义域; (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价. 的函数关系 矩形且面积为 长、宽都不能 元,中间两条 平方米 80 元

10.(2009 年柳州模拟)某工厂日生产某种产品最多不超过 30 件,且在生产过程中次品率 P 与日生产

?x+20,0<x≤15 200 量 x(x∈N )件间的关系为 P=? x +300 ? 3000 ,15<x≤30
* 2

每生产一件正品盈利 2900 元,每出现一件次品亏损 1100 元. (1)将日利润 y(元)表示日产量 x(件)的函数; (2)该厂的日产量为多少件时,日利润最大? 次品个数 (注:次品率 P= ×100%,正品率=1-P) 产品总数

参考答案 1.解析:设年平均利润为 g(x),则 -x2+12x-25 25 g(x)= =12-(x+ ). x x 25 25 25 ∵x+ ≥2 x· =10,∴当 x= ,即 x=5 时, x x x g(x)max=2. 答案:C 2.解析:设放射性元素后一年比前一年减少了 x,则 100 年后只剩原来质量的 a(1-x)100,依题意得: 1 100 100 100 a(1-x)100= a,1-x= 0.5,∴(1-x)3= 0.53= 0.125,故选 D. 2 答案:D 3.解析:此人购买的商品原价为 168+423÷90%=638 元,若一次购买同样商品应付款为 500×90% +(638-500)×70%=450+96.5=546.6 元. 答案:C 1 1 4.解析:当 0≤x≤1 时,y= ·x·1= x; 2 2 1 1 1 当 1<x≤2 时,y=1- (x-1)- (2-x)- 2 4 4 1 3 =- x+ ; 4 4 15 5 1 当 2<x≤2.5 时,y= ( -x)×1= - x. 22 4 2

? ? 1 3 则 y=?-4x+4, ?-1x+5, ? 2 4

1 x, 2

0≤x≤1, 1<x≤2, 2<x≤2.5. 图形为 A.

答案:A 5.解析:两种话费相差为 ?y,

第 5 题图 根据几何关系可得:?y=?y′,又 ?y′=10,∴?y=10. 答案:A 销售价-进价 6.解析:销售利润= ×100%.设销售价为 y,进价为 x, 进价

?y-x×100%=r%, ? x 则? y-x(1-8%) ? ? x(1-8%) ×100%=(r+10)%.
解之得 r=15. 答案:15 7.解析:(1)由题意和图示,当 0≤t≤0.1 时,可设 y=kt(k 为待定系数),由于点(0.1,1)在直线上, ∴k=10;同理,当 t>0.1 时,可得 1 1 - 1=?16?0.1 a?0.1-a=0?a= . ? ? 10 1 ? ?10t≤4 1 或 (2)由题意可得 y≤0.25= ,即得? 4 ? ?0≤t≤0.1

?? 1 ?t- 1 ≤1 ??16? 10 4 ?0≤t≤ 1 或 t≥0.6,由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. ? 40 ?t>0.1 ? ?10t(0≤t≤0.1) ? 答案:(1)y=?? 1 ? 1 ??16?t-10(t>0.1) ?
(2)0.6

1 1 8.解析:总利润 L(Q)=40Q- Q2-10Q-2000=- (Q-300)2+2500. 20 20 故当 Q=300 时,总利润最大值为 2500 万元. 答案:2500 万元 200 9.解析:(1)因污水处理水池的长为 x 米,则宽为 米, x 200? 200 总造价 y=400?2x+2× x ?+248× ×2+80×200 ? x

?0<x≤16, ?x+324?+16000,由题设条件? 200 =800? ? x ? ?0< x ≤16, ?
解得 12.5≤x≤16,即函数定义域为[12.5,16]. 324 (2)先研究函数 y=f(x)=800?x+ x ?+16000 在[12.5,16]上的单调性,对于任意的 x1,x2∈[12.5,16], ? ? 不妨设 x1<x2, 1 1 则 f(x2)-f(x1)=800?(x2-x1)+324?x -x ?? ? ? 2 1?? 324 =800(x2-x1)?1-x x ?,∵12.5≤x1≤x2≤16, ? 1 2?

324 324 ∴0<x1x2<162<324,∴ >1,即 1- <0. x 1x 2 x 1x 2 又 x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1), 故函数 y=f(x)在[12.5,16]上是减函数. 324 200 200 ∴当 x=16 时,y 取得最小值,此时,ymin=800?16+ 16 ?+16000=45000(元), = =12.5(米). ? ? x 16 综上,当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低价为 45000 元. 10.解析:

?2900?1-x+20?x-1100·x+20·x, 0<x≤15, 200 200 ? ? (1)y=? x +300 ? x +300? ?2900?1- 3000 ?x-1100· 3000 ·x,15<x≤30,
2 2

?2500x-20x , ? =? 4 3 ?2500x-3x , ?
(2)当 0<x≤15 时,

2

0<x≤15, 15<x≤30.

125 125 y=2500x-20x2=-20?x- 2 ?2+20·? 2 ?2, ? ? ? ? ∴当 x=15 时,y 取得最大值 33000(元). 当 15<x≤30 时,y′=2500-4x2, 令 y′=2500-4x2=0,得 x=25; 当 15<x<25 时,y′>0;当 25<x≤30 时,y′<0, 4 ∴y=2500x- x3 在区间(15,25]上单调递增,在区间 3 [25,30]上单调递减. 故当 x=25 时,y 取得最大值,其值为 125000 4 (元). 2500×25- ×253= 3 3 125000 ∵33000< , 3 125000 ∴当 x=25 时,y 取得最大值为 (元). 3 答:该厂的日产量为 25 件时,日利润最大.

第八部分

函数测试

————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题 后直接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

1.设集合 A 和集合 B 都是实数集 R,映射 f:A→B 是把集合 A 中的元素 x 对应到集合 B 中的元素 x3 -x+1,则在映射 f 下象 1 的原象所组成的集合是 ( ) A.{1} B.{0} C.{0,-1,1} D.{0,1,2} 2.若不等式 x2-x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为( ) A.[0,1) B.(0,1) C.[0,1] D.(-1,0] 3.函数 y=loga(|x|+1)(a>1)的大致图象是 ( )

1 - - 4.已知函数 f(x)=logax,其反函数为 f 1(x),若 f 1(2)=9,则 f( )+f(6)的值为 2 ( B.1 1 D. 3 1x 1 5.函数 f(x)=( ) 与函数 g(x)=log |x|在区间(-∞,0)上的单调性为 2 2 ( A.都是增函数 B.都是减函数 C.f(x)是增函数,g(x)是减函数 D.f(x)是减函数,g(x)是增函数 ? ?log2x,x>0, 1 6.已知函数 f(x)=? x 若 f(a)= ,则 a= 2 ? ?2 ,x≤0. ( A.-1 B. 2 C.-1 或 2 D.1 或- 2 7.设函数 f(x)=-x2+4x 在[m,n]上的值域是[-5,4],则 m+n 的取值所组成的集合为 ( A.[0,6] C.[1,5] B.[-1,1] D.[1,7] ) ) ) A.2 1 C. 2 )

1 8.方程( )|x|-m=0 有解,则 m 的取值范围为 2 ( ) A.0<m≤1 B.m≥1 C.m≤-1 D.0≤m<1 9.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如右图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不同

的是 ( )

A.y=x2+1 B.y=|x|+1 ?2x+1,x≥0, ?ex,x≥0, ? ? C.y=? 3 D.y=? -x ? ? ?x +1,x<0, ?e ,x<0 10.设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,那么 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 11.中国政府正式加入世贸组织后,从 2000 年开始,汽车进口关税将大幅度下降.若进口一辆汽车 2001 年售价为 30 万元,五年后(2006 年)售价为 y 万元,每年下调率平均为 x%,那么 y 和 x 的函数关系式 为 ( ) B.y=30(1+x%)6 A.y=30(1-x%)6 C.y=30(1-x%)5 D.y=30(1+x%)5 12.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0, 则当 n∈N*时,有 ( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)

题 号

第Ⅰ卷

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 第Ⅱ卷 17 18 19 20 21 二

22

总 分

得 分 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1 13.函数 f(x)= 的定义域是________. 1-ex

14.若 x≥0,则函数 y=x2+2x+3 的值域是________. 15.设函数 y=f(x)是最小正周期为 2 的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段 AB,则在

区间[1,2]上 f(x)=______.

?1,x>0 ? 16.设函数 f(x)=?0,x=0 ?-1,x<0 ?

,g(x)=x2f(x-1),

则函数 g(x)的递减区间是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) a·2x-1 17.(本小题满分 10 分)设 f(x)= x 是 R 上的奇函数. 2 +1 (1)求 a 的值; - (2)求 f(x)的反函数 f 1(x).

7 2 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= -xm,且 f(4)=- . x 2 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=3x,且 f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为区间[-1,1]. (1)求 g(x)的解析式; (2)判断 g(x)的单调性.

20.(本小题满分 12 分)某工厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为 鼓励销售商订购, 决定当一次订购量超过 100 个时, 每多订购一个, 订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02

元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价恰为 51 元; (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少?如果订购 1 000 个,利润又是多少?(工 厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)

1 21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x2+x- . 4 (1)若函数的定义域为[0,3],求 f(x)的值域; 1 1 (2)若定义域为[a,a+1]时,f(x)的值域是[- , ],求 a 的值. 2 16

1 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=( )x, 3 - 函数 y=f 1(x)是函数 y=f(x)的反函数. - (1)若函数 y=f 1(mx2+mx+1)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈[-1,1]时,求函数 y=[f(x)]2-2af(x)+3 的最小值 g(a).

答案:卷(二) 一、选择题 1.C 2.A 不等式 x2-x≤0 的解集 M={x|0≤x≤1},f(x)=ln(1-|x|)的定义域 N= {x|-1<x<1}, 则 M∩N={x|0≤x<1}. 3.B - - 4.B 依题意,函数 f(x)=logax,所以 f 1(x)=ax(a>0,且 a≠1),若 f 1(2)=9,所以 a2=9,a=3, 1 f(x)=log3x,f( )+f(6)=log33=1,选择 B. 2 1 1 5.D f(x)=( )x 在 x∈(-∞,0)上为减函数,g(x)=log (-x)在(-∞,0)上为增函数. 2 2 1 6.C 本题考查分段函数求值.据题意得 f(a)= ? 2

?a≤0 ?a>0 ? ? ? 1 或? a 1 , ? ?2 =2 ?log2a=2 ?
解之得 a= 2或-1,故选 C. 7.D 由-x2+4x=4 得 x=2,由-x2+4x=-5,解得 x=5 或 x=-1,结合二次函数的图象知-1 ≤m≤2,2≤n≤5,故-1+2≤m+n≤2+5,即 1≤m+n≤7. 1 1 8.A 由( )|x|-m=0 得,m=( )|x|, 2 2 1 |x| ∵|x|≥0,∴0<( ) ≤1, 2 1 |x| ∴方程( ) -m=0 有解,必须 0<m≤1,故选 A. 2 9.C 利用偶函数的对称性知 f(x)在(-2,0)上为减函数.又 y=x2+1 在(-2,0)上为减函数;y=|x|+1 在(-2,0)上为减函数; ? ?2x+1,x≥0, y=? 3 ? ?x +1,x<0 在(-2,0)上为增函数. x ?e ,x≥0, ? y=? 1 在(-2,0)上为减函数.故选 C. ? ?ex,x<0 10.C a=log0.70.8>0, 且 a=log0.70.8<log0.70.7=1. b=log1.10.9<log1.11=0. c=1.10.9>1. ∴c>1>a>0>b.即 b<a<c. 故选 C. 11.C 每年价格为上一年的 (1-x%)倍,所以五年后的价格为 y=30(1-x%)5. 12.C 对任意 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·(f(x2)-f(x1))>0, 因此 x2-x1 和 f(x2)-f(x1)同号,所以 f(x)在(-∞,0]上是增函数.由于 n∈N*, 且 n+1>n>n-1, 所以-n-1<-n<-n+1<0, 即 f(n+1)=f(-n-1)<f(-n)<f(-n+1)=f(n-1). 二、填空题 13. 【解析】 要使 f(x)有意义, 则 1-ex>0, ∴ex<1,∴x<0, ∴f(x)的定义域是(-∞,0). 【答案】 (-∞,0) 14. 【解析】 x≥0 时,函数单调递增,故值域为[3,+∞). 【答案】 [3,+∞) 15. 【解析】 由函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数,且它在区间[0,1]上的图象为线段 AB,可画出 f(x)在区间[-1,0]和[1,2]上的图象如图所示,

可得 f(x)在区间[1,2]上的图象为线段 BC,其中 B(1,1),C(2,2),所以在区间[1,2]上,f(x)=x.

【答案】 x 16. 【解析】 依题意有 g(x)

?x ,x>1 ? 2 =x f(x-1)=?0,x=1 ?-x2,x<1 ?

2



所以 g(x)的递减区间是(0,1). 【答案】 (0,1) 三、解答题 17. 【解析】 (1)由题意知 f(-x)=-f(x)对 x∈R 恒成立. - a·2 x-1 a·2x-1 即 -x =- x , 2 +1 2 +1 即(a-1)(2x+1)=0, ∴a=1. 2x-1 (2)由(1)知 f(x)= x , 2 +1 2x-1 1+y 由 y= x 得 2x= , 2 +1 1-y 1+y x=log2 , 1-y 1+x - ∴f 1(x)=log2 (-1<x<1). 1-x 7 18. 【解析】 (1)∵f(4)=- , 2 2 7 ∴ -4m=- ,∴m=1. 2 4 2 (2)f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减,证明如下: x 任取 0<x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) 2 2 =( -x1)-( -x2) x1 x2 2 =(x2-x1)( +1). x1x2 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0, +1>0. x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2), 2 即 f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减. x 19. 【解析】 (1)∵f(a+2)=18,f(x)=3x. + ∴3a 2=18,即 3a=2. 故 g(x)=(3a)x-4x=2x-4x,x∈[-1,1]. 1 1 x (2)g(x)=-(2x)2+2x=-?2 -2?2+ . ? ? 4 1 当 x∈[-1,1]时,2x∈?2,2?.令 t=2x, ? ? 由二次函数单调性得 1 1 1 -?t-2?2+ 在?2,2?上是减函数, ? ? 4 ? ? ∴函数 g(x)在[-1,1]上是减函数.

20. 【解析】 (1)设订购 x 个,单价为 51 元. 60-(x-100)×0.02=51, ∴x=550. (2)当 0<x≤100 且 x∈Z 时,P=60; 当 100<x≤550 且 x∈Z 时, P=60-(x-100)×0.02 =62-0.02x; 当 x>550 且 x∈Z 时,P=51. ∴P=

?60(0<x≤100且x∈Z), ? ?62-0.02x(100<x≤550且x∈Z), ?51(x>550且x∈Z). ?
(3)订购 500 个零件, 利润为 500×[(62-0.02×500)-40]=6 000(元); 订购 1 000 个零件,利润为 1 000×(51-40)=11 000(元). 1 1 21. 【解析】 (1)∵f(x)=?x+2?2- , ? ? 2 1 ∴对称轴为 x=- . 2 1 ∵- <0≤x≤3, 2 ∴f(x)的值域是[f(0),f(3)], 1 47 即?-4, 4 ?. ? ? 1 (2)∵f(x)的最小值为- , 2 ∴对称轴 1 x=- ∈[a,a+1]. 2 1 a≤- , 2 ∴ 1 a+1≥- . 2 3 1 解得- ≤a≤- . 2 2 ∵区间[a,a+1]的中点为 1 x0=a+ , 2 1 1 当 a+ ≥- , 2 2 1 即-1≤a≤- 时, 2 1 f(x)最大值为 f(a+1)= . 16 1 ∴(a+1)2+(a+1)- 4 1 = . 16 ∴16a2+48a+27=0.

? ? ?

9 3 ∴a=- ?a=-4舍去?. ? 4? 1 1 当 a+ <- , 2 2 3 即- ≤a<-1 时, 2 1 f(x)最大值为 f(a)= , 16 1 1 ∴a2+a- = . 4 16 2 ∴16a +16a-5=0. 1 5 ∴a=- ?a=4舍去?. ? 4? 3 综上知 a=- 4 5 或 a=- . 4 - 22. 【解析】 (1)∵f 1(x) 1 =log x(x>0), 3 - ∴f 1(mx2+mx+1) 1 =log (mx2+mx+1),由题知,mx2+mx+1>0 恒成立, 3 ∴①当 m=0 时,1>0 满足题意; ②当 m≠0 时, ? ?m>0 应有? 2 ??=m -4m<0 ? ?0<m<4, ∴实数 m 的取值范围为 0≤m<4. (2)∵x∈[-1,1], 1 1 ∴( )x∈[ ,3], 3 3 1 1 2 y=[f(x)] -2af(x)+3=[( )x]2-2a( )x+3 3 3 1x 2 2 =[( ) -a] +3-a , 3 1 当 a< 时, 3 28 2a ymin=g(a)= - ; 9 3 1 当 ≤a≤3 时, 3 ymin=g(a)=3-a2; 当 a>3 时,ymin=g(a)=12-6a. ∴g(a)

? 9 - 3 (a<3), ? 1 =? 3-a ( ≤a≤3), 3 ? ?12-6a(a>3).
2

28

2a

1

第九部分
题号 答案 一、选择题

一次函数与二次函数
1 2 3 4 5

1.一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1

)

2.(2009 年武汉摸底)设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列之一,则 a 的值为(

)

A.1 -1- 5 C. 2

B.-1 -1+ 5 D. 2 )

3.(2009 年临川模拟)已知函数 f(x)=ax2-2ax+1(a>1),若 x1<x2,且 x1+x2=1+a,则( A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 4. 右图所示为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,则|OA|·|OB|等于( c A. a c C.± a c B.- a D.无法确定 )

2 2 5.关于 x 的方程(x -1)2-|x -1|+k=0,给出下列四个命题:

①存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根;

④存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是( A.0 二、填空题
2 6.若方程 4(x -3x)+k-3=0,x∈[0,1]没有实数根,求 k 的取值范围________.

) C.2 D.3

B.1

7.如果方程 x2+2ax+a+1=0 的两个根中,一个比 2 大,另一个比 2 小,则实数 a 的取值范围是 ________. 8.已知 f(x)=x 2, g(x)是一次函数且为增函数, 若 f[g(x)]=4x2-20x+25, 则 g(x)=____________. 三、解答题 9.(2009 年广州六中月考)设二次函数 f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0 的两根 x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1. (1)求实数 a 的取值范围; 1 (2)试比较 f(0)·f(1)-f(0)与 的大小,并说明理由. 16

10.设函数 f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)的最小值.

参考答案 1.C 2.B 3.B c c 4.解析:提示:|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=?a?=- ,∵a<0,c>0. ? ? a 答案:B
2 2 5.解析:据题意可令|x -1|=t(t≥0)①,则方程化为 t2-t+k=0②,作出函数 y=|x -1|的图象,结

合函数的图象可知:(1)当 t=0 或 t>1 时方程①有 2 个不等的根;(2)当 0<t<1 时方程①有 4 个根;(3)当 t =1 时,方程①有 3 个根. 故当 t=0 时, 代入方程②, 解得 k=0 此时方程②有两个不等根 t=0 或 t=1, 故此时原方程有 5 个根; 1 2 当方程②有两个不等正根时,即 0<k< 此时方程②有两根且均小于 1 大于 0,故相应的满足方程|x -1|=t 4 1 1 的解有 8 个,即原方程的解有 8 个;当 k= 时,方程②有两个相等正根 t= ,相应的原方程的解有 4 个; 4 2 故选 B. 答案:B 6.k<3 或 k>11 7.a<-1 8.2x-5 9.解析:法一:(1)令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 则由题意可得

?0<1-a<1, ? 2 ?g(1)>0, ?g(0)>0, ?
?>0, ?0<a<3-2 2.

?a<3-2 2,或a>3+2 ?-1<a<1, ?? a>0, ?a>0, ?

2,

故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2). (2)f(0)·f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,令 h(a)=2a2, ∵当 a>0 时,h(a)单调递增,∴当 0<a<3-2 2时, 0<h(a)<h(3-2 2)=2(3-2 2)2=2(17-12 2) =2· 1 1 1 < ,即 f(0)·f(1)-f(0)< . 16 17+12 2 16

法二:(1)同解法一. (2)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,由(1)知 0<a<3-2 2, ∴4 2a-1<12 2-17<0.又 4 2a+1>0,于是 1 1 1 2a2- = (32a2-1)= (4 2a-1)(4 2a+1)<0, 16 16 16 1 1 即 2a2- <0,故 f(0)f(1)-f(0)< . 16 16 法三:(1)方程 f(x)-x=0?x2+(a-1)x+a=0,由韦达定理得 x1+x2=1-a,x1x2=a,于是 0<x1<x2<1

?x +x >0, ? ??x x >0, ?(1-x )+(1-x )>0, ?(1-x )(1-x )>0
?>0,
1 2 1 2 1 2 1 2

?a>0, ? ??a<1, ?a<3-2 2或a>3+2 2 ?

?0<a<3-2 2. 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2). (2)依题意可设 g(x)=(x-x1)(x-x2),则由 0<x1<x2<1,得 f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)= [x1(1-x1)][x2(1-x2)]<? x1+1-x1?2?x2+1-x2?2 1 1 = ,故 f(0)f(1)-f(0)< . 16 16 2 2 ? ?? ?

? 2 ?x +x-3,x≥2, 10.解析:(1)f(x)=? 2 ?x -x+1,x<2. ?

∵f(0)=1≠0,∴f(x)不是 R 上的奇函数. ∵f(1)=1,f(-1)=3,f(1)≠f(-1), ∴f(x)不是偶函数.故 f(x)是非奇非偶的函数. (2)当 x≥2 时,f(x)=x2+x-3,此时 f(x)min=f(2)=3. 1 3 当 x<2 时,f(x)=x2-x+1,此时 f(x)min=f?2?= . ? ? 4 3 所以,f(x)min= . 4


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