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1984年全国高中数学联赛试题之解答


1984 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1984 年全国高中数学联赛试题
第一试 1.选择题(本题满分 40 分,每小题答对得 5 分答错得 0 分,不答得 1 分) -2 ⑴ 集合 S={ Z |argZ=α,α 为常数}在复平面上的图形是( )

A.射线 argZ=2α B.射线 argZ=-2α C.

射线 argZ=α D.上述答案都不对 2 ⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy )>0 的是( )
y
1
x=1 y 2 =x

y
1

x=1 y 2 =x

y
1

x=1 y 2 =x

y
1

x=1 y 2 =x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

A.

B.

C.

D.

1 ⑶ 对所有满足 1?n?m?5 的 m,n,极坐标方程 ρ= 表示的不同双曲线条数是( n 1-Cmcosθ A.15 B.10 C.7 ⑷ 方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) A.1 B.2 C.3 ⑸ 若 a>0,a≠1,F(x)是一个奇函数,则 G(x)=F(x)?( A.奇函数 1 1 + )是 a -1 2
x

)

D.6 D.大于 3

B.偶函数

C.不是奇函数也不是偶函数 ) B.F(-x)=F( 1+x ) 1-x

D.奇偶性与 a 的具体数值有关

1-x ⑹ 若 F( )=x,则下列等式中正确的是( 1+x A.F(-2-x)=-2-F(x)


C.F(x 1)=F(x) D.F(F(x))=-x ⑺ 若动点 P(x,y)以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(-2xy,y2-x2)的运动方式是 A.以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动 B.以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 C.以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 D.以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动 ⑻ 若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则函数 F(x)在其定义域上 A.是增函数但无最大值 B.是增函数且有最大值 C.不是增函数但无最大值 D.不是增函数但有最大值 2.填充题(本题满分 10 分,每小题 5 分) ⑴ 如图,AB 是单位圆的直径,在 AB 上任取一点 D,作 DC⊥AB,交圆周于 y C,若点 D 的坐标为 D(x,0),则当 x∈ 时,线段 AD、BD、CD 可 1 C 以构成锐角三角形. B A O D 1 x ⑵ 方程 cos =cosx 的通解是 ,在(0,24π)内不相同的解有 4 个.

x

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1984 年全国高中数学联赛

冯惠愚

第二试 1.(本题满分 15 分)下列命题是否正确?若正确,请给予证明.否则给出反例. ⑴ 若 P、Q 是直线 l 同侧的两个不同点,则必存在两个不同的圆,通过 P、Q 且与直线 l 相切; ⑵ 若 a>0,b>0,且 a≠1,b≠1,则 logab+logba?2. ⑶ 设 A、B 是坐标平面上的两个点集,Cr={(x,y)|x2+y2?r2},若对任何 r?0,都有 Cr∪A?Cr∪B,则 必有 A?B.

2.(本题满分 10 分)已知两条异面直线 a、b 所成的角为 θ,它们的公垂线 AA?的长度为 d,在直线 a、b 上分别取点 E、F,设 A?E=m,AF=n,求 EF(A?在直线 a 上,A 在直线 b 上).

3.(本题满分 15 分)如图,在△ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA,PF∥CA,若 S△ABC=1,证 4 明:S△BPF、S△PCE、S□PEAF 中至少有一个不小于 (SXY?Z 表示多边形 XY?Z 的面积). 9

4.(本题满分 15 分) 设 an 是 12+22+32+?+n2 的个位数字,n=1,2,3?,试证:0.a1a2?an?是有理数.

2 2 xn-1 x2 x2 x2 1 n 5.(本题满分 15 分) 设 x1,x2,?,xn 都是正数,求证: + +?+ + ?x +x +?+xn. x2 x3 xn x1 1 2

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1984 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1984 年全国高中数学联赛试题解答 第一试 1.选择题(本题满分 40 分,每小题答对得 5 分答错得 0 分,不答得 1 分) -2 ⑴ 集合 S={ Z |argZ=α,α 为常数}在复平面上的图形是( A.射线 argZ=2α B.射线 argZ=-2α ) D.上述答案都不对

C.射线 argZ=α

解:由于 argZ∈[0.2π),故不存在答案 B.arg-=2π-α,故选 D. Z ⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)>0 的是(
y
1
x=1 y 2 =x

)
y
x=1 y 2 =x

y
1

x=1 y 2 =x

y
1

x=1 y 2 =x

1

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

A.

B.

C.

D.

解:当 0<x<1 时,得 1>y2>x>0;当 x>1 时,得 y2>x>1.选 D. 1 ⑶ 对所有满足 1?n?m?5 的 m,n,极坐标方程 ρ= 表示的不同双曲线条数是( n 1-Cmcosθ A.15
n

)

B.10

C.7
n

D.6
1 2 1 2

解:由 e=Cm,若表示双曲线,则 e>1,由 Cm>1,可得 m、n 的不同取值为 C5=5,C5=10,C4=4,C4=6, C3=3,C2=2,共有 6 个不同的值,故选 D. ⑷ 方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.大于 3 解:作 y=sinx 及 y=lgx 的图象,当 x>10 时,lgx>1.故二者只在(0,10)内可能有交点.经作图可知, 二者在(0,π)内有一交点,在(2π,3π)内有一交点.选 C. ⑸ 若 a>0,a≠1,F(x)是一个奇函数,则 1 1 G(x)=F(x)?( x + )是 a -1 2 A.奇函数
x 1 1

B.偶函数

C.不是奇函数也不是偶函数

D.奇偶性与 a 的具体数值有关

解:G(x)=F(x)?

a +1 ,故 G(-x)=G(x),且 G(x)的定义域是 F(x)的定义域与{x|x≠0,x∈R}的交集, 2(ax-1)

为以原点为对称的区域,故选 B. 1-x ⑹ 若 F( )=x,则下列等式中正确的是( 1+x A.F(-2-x)=-2-F(x) C.F(x 1)=F(x)


) B.F(-x)=F( 1+x ) 1-x

D.F(F(x))=-x

1-x 1-t 1-t 解:令 t= ,得 x= ,即 F(t)= ,经一一验证,知 F(-2-x)=-2-F(x),选 A. 1+x 1+t 1+t ⑺ 若动点 P(x,y)以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(-2xy,y2-x2)的运动方式是 A.以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动
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1984 年全国高中数学联赛

冯惠愚

B.以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 C.以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 D.以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动 3π 解:令 x=cosωt,y=sinωt.则-2xy=-sin2ωt=cos( -2ωt) 2 3π y2-x2=-cos2ωt=sin( -2ωt).显然-2ωt 与 ωt 旋转方向相反.故选 C. 2 ⑻ 若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则函数 F(x)在其定义域上 A.是增函数但无最大值 B.是增函数且有最大值 C.不是增函数但无最大值 D.不是增函数但有最大值 解:定义域为 0<x< 3,当 x= 3 时,F(x)最大,故选 D. 2
y
1 A C B

2.填充题(本题满分 10 分,每小题 5 分) ⑴ 如图,AB 是单位圆的直径,在 AB 上任取一点 D,作 DC⊥AB,交圆周于 C,若点 D 的坐标为 D(x,0),则当 x∈ 时,线段 AD、BD、CD 可 以构成锐角三角形. 解:由对称性,先考虑 0?x<1 的情况,设 AD=a,BD=b,CD=c,则 a+b=2, ab=c2,且必有 a?c?b,于是只要考虑 c2+b2>a2,即(1-x)(1+x)+(1-x)2>(1+x)2, 解得 0?x< 5-2. ∴ 2- 5<x< 5-2. x ⑵ 方程 cos =cosx 的通解是 4 x 8 8 解: =2kπ±x,x= kπ,与 x= mπ. 4 3 5 ,在(0,24π)内不相同的解有

O D 1

x



8 8 当 0< k<24 时,k=1,2,?,8;当 0< m<24 时,m=1,2,?,14;而当 k=3,m=5 及 k=6,m=10 3 5 时,解是相同的,故共有 8+14-2=20 个不同的解.

第二试 1.(本题满分 15 分)下列命题是否正确?若正确,请给予证明.否则给出反例. ⑴ 若 P、Q 是直线 l 同侧的两个不同点,则必存在两个不同的圆,通过 P、Q 且与直线 l 相切; ⑵ 若 a>0,b>0,且 a≠1,b≠1,则 logab+logba?2. ⑶ 设 A、B 是坐标平面上的两个点集,Cr={(x,y)|x2+y2?r2},若对任何 r?0,都有 Cr∪A?Cr∪B,则 必有 A?B. 解:⑴若 PQ∥l,则只能作出一个圆过 P、Q 且与直线 l 相切; ⑵ 若 a>1,0<b<1,则 logab+logba?-2; ⑶ A={(x,y)|x2+y2?r2},B={(x,y)|0<x2+y2?r2},于是 Cr∪A?Cr∪B 恒成立,但不满足 A?B. 2.(本题满分 10 分)已知两条异面直线 a、b 所成的角为 θ,它们的公垂线 AA?的长度为 d,在直线 a、b 上分别取点 E、F,设 A?E=m,AF=n,求 EF(A?在直线 a 上,A 在直线 b 上). 解:EF= m2+n2+d2±2mncosθ.(证明见课本). 3.(本题满分 15 分)如图,在△ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA,PF∥CA,若 S△ABC=1,证 4 明:S△BPF、S△PCE、S□PEAF 中至少有一个不小于 (SXY?Z 表示多边形 XY?Z 的面积). 9

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1984 年全国高中数学联赛
A E F B PM N C

冯惠愚

证明:如图,三等分 BC 于 M、N,若点 P 在 BM 上(含点 M),则由于 PE 2 4 ∥AB,则△CPE∽△CBA.CP∶CB? .于是 S△PCE? .同理,若 P 在 NC 上 3 9 4 (含点 N),则 S△BPF? . 9 BP 1 2 CP 若点 P 在线段 MN 上.连 EF,设 =r( <r< ),则 =1-r. BC 3 3 BC

A F B E C

S △ BPF=r2 ,S △ PCE=(1-r)2 .∴ S △ BPF+S △ PCE=r2+(1-r)2=2r2 -2r+1=2(r- 12 1 112 1 5 ) + <2( - ) + = . 2 2 32 2 9 4 于是 S□AEPF? . 9 故命题成立.

MP N

4.(本题满分 15 分) 设 an 是 12+22+32+?+n2 的个位数字,n=1,2,3?,试证:0.a1a2?an?是有理数. 解 由于 12+22+?+n2 的个位数字只与 1 到 n 的个位数字的平方和有关,故只要考虑这些数的个位数字 的平方: 但 12≡1.22≡4,32≡9,42≡6,52≡5,62≡6,72≡9,82≡4,92≡1,02≡0(mod 10) ∴ a1=1,a2=5,a3=4,a4=0,a5=5,a6=1,a7=0,a8=4,a9=5,a10=5, a11=6,a12=0,a13=9,a14=5,a15=0,a16=6,a17=5,a18=9,a19=0,a20=0. 由 a20=0 知,a20k+r=ar(k,r∈N,0?r?19,并记 a0=0),即 0.a1a2?an?是一个循环节为 20 位数的循环 小数,即为有理数.其一个循环节为“15405104556095065900” .
2 2 xn-1 x2 x1 x2 n 5.(本题满分 15 分) 设 x1,x2,?,xn 都是正数,求证: + +?+ + ?x1+x2+?+xn. x2 x3 xn x1 2 2 2 2 2

x2 x3 xn 证明 +x2?2x1, +x3?2x2, +x4?2x3,?, +x1?2x1. x2 x3 x4 x1 上述各式相加即得.

x1

-5-


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