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山东省菏泽一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省菏泽一中高二 (上) 期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线 A. y=± 的渐近线方程为( )

B. y=±x C. y=±2x D. y=±4x

2.下列命题正确的是(
2


2

A. 若 a>b,则 ac >bc B. 若 a>﹣b,则﹣a>b C. 若 ac>bc,则 a>b D. 若 a>b,则 a﹣c>b﹣c 3.下列命题中,假命题是(
x﹣2



A. ? x∈R,3 >0 B. ? x0∈R,tanx0=2 * 2 C. ? x0∈R,log2x0<2 D. ? x∈N , (x﹣2) >0 4.不等式 3+5x﹣2x ≤0 的解集是(
2



A. {x|x>3 或 x< } B. {x|﹣ ≤x≤3} C. 或{x|x≥3 或 x≤ } D. R

5.等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 a1+a2=5,a3+a4=9,则 S10 的值为( A. 55 B. 60 C. 65 D. 70



6.在空间四边形 OABC 中, 的中点,则 A. ﹣ 等于( + ) B. ﹣





,点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC

+

+

C.

D.

7.在△ABC 中,若 S△ABC= (a +b ﹣c ) ,那么 C 等于( A. B. C. D.

2

2

2



8.一元二次方程 ax +2x+1=0, (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( A. a<0 B. a>0 C. a<﹣1 D. a>1

2



9.已知向量 =(2﹣2y,x) , =(x+2y,3y) ,且 , 的夹角为钝角,则在 xOy 平面上, 点(x,y)所在的区域是( )

A.

B.

C.

D.

10.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等 于( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为 x 轴,且过点 P(﹣2,2 ) ,则抛物线的方 程为 . 12.如图,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里 的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为 海 里/小时.

13.设 f(x)定义如下面数表,数列{xn}满足 x0=5,且对任意自然数 n 均有 xn+1=f(xn) ,则 x2014 的值为 . x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2

14.已知 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=ax﹣y 取得最大值的唯一最优解解是

(2, ) ,则实数 a 的取值范围是



15.如图,南北方向的公路 l,A 地在公路正东 2km 处,B 地在 A 东偏北 30°方向 2 km 处, 河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等. 现要在曲线 PQ 上一处建一座 码头,向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么,修建 这条公路的总费用最低是 万元.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.已知命题 p:方程 + =1 的图象是焦点在 y 轴上的双曲线;命题 q:方程 4x +4
2

(m﹣2)x+1=0 无实根;又 p∨q 为真,¬q 为真,求实数 m 的取值范围. 17.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求 A 的大小; (2)若 , ,求 a. .

18.如图所示,在矩形 ABCD 中,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D′ EC 的位置,使二面角 D′﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥C D′; (2)求二面角 D′﹣BC﹣E 的正切值.

19.小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第 二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小张在 该车运输累计收入超过总支出后, 考虑将大货车作为二手车出售, 若该车在第 x 年年底出售, 其销售收入为 25﹣x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) . (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销 售收入﹣总支出) 20.在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1﹣kan(k≠0)对任意 n∈N 成立,令 bn=an+1﹣an, 且{bn}是等比数列.
*

(1)求实数 k 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求和:Sn=b1+2b2+3b3+…nbn. 21. 已知两点 F1 (﹣1, 0) 及 F2 (1, 0) , 点 P 在以 F1、 F2 为焦点的椭圆 C 上, 且|PF1|、 |F1F2|、 |PF2|构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

2014-2015 学年山东省菏泽一中高二 (上) 期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线 A. y=± 的渐近线方程为( )

B. y=±x C. y=±2x D. y=±4x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 把双曲线 方程. 解答: 解:双曲线 其渐近线方程 整理得 y=± . 故选:A. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1” 为“0”即可求出渐近线方程. 2.下列命题正确的是(
2

,其渐近线方程是

,整理后就得到双曲线的渐近线

, ,


2

A. 若 a>b,则 ac >bc B. 若 a>﹣b,则﹣a>b C. 若 ac>bc,则 a>b D. 若 a>b,则 a﹣c>b﹣c 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: 根据不等式式的性质,令 c=0,可以判断 A 的真假;由不等式的性质 3,可以判断 B, C 的真假;由不等式的性质 1,可以判断 D 的真假,进而得到答案. 解答: 解:当 c=0 时,若 a>b,则 ac =bc ,故 A 错误; 若 a>﹣b,则﹣a<b,故 B 错误; 若 ac>bc,当 c>0 时,则 a>b;当 c<0 时,则 a<b,故 C 错误; 若 a>b,则 a﹣c>b﹣c,故 D 正确 故选 D 点评: 本题考查的知识点是不等式的性质,及命题的真假判断与应用,其中熟练掌握不等 式的基本性质是解答本题的关键.
2 2

3.下列命题中,假命题是(
x﹣2



A. ? x∈R,3 >0 B. ? x0∈R,tanx0=2 * 2 C. ? x0∈R,log2x0<2 D. ? x∈N , (x﹣2) >0 考点: 全称命题;特称命题. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据指数函数,对数函数,正切函数,二次函数的图象和性质,分别判断四个答案 的真假,可得答案. 解答: 解:由指数函数的值域为(0,+∞)可得:? x∈R,3 >0 为真命题; 由正切函数的值域为 R 可得:? x0∈R,tanx0=2 为真命题; 由对数函数的值域为 R 可得:? x0∈R,log2x0<2 为真命题; 2 * 2 当 x=2 时, (x﹣2) =0,故? x∈N , (x﹣2) >0 为假命题, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是全称命题,函数的值域,是函数与命题的综合应用,难度不大, 属于基础题. 4.不等式 3+5x﹣2x ≤0 的解集是(
2 x﹣2



A. {x|x>3 或 x< } B. {x|﹣ ≤x≤3} C. 或{x|x≥3 或 x≤ } D. R

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次不等式的解法即可得出. 解答: 解:由 3+5x﹣2x ≤0 化为 2x ﹣5x﹣3≥0,解得 x≥3 或 x 故解集为 .
2 2



故选:C. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题. 5.等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 a1+a2=5,a3+a4=9,则 S10 的值为( A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列{an}中,a1+a2=5,a3+a4=9,知 此能求出 S10 的值. 解答: 解:∵等差数列{an}中, a1+a2=5,a3+a4=9, ∴ , ,解得 a1=2,d=1,由 )

解得 a1=2,d=1, ∴ ×1=65.

故选 C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审 题,仔细解答.

6.在空间四边形 OABC 中, 的中点,则 A. ﹣ 等于( + ) B. ﹣





,点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC

+

+

C.

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由题意结合图形,直接利用 解答: 解:因为空间四边形 OABC 如图, ,求出 , ,然后即可解答. , ,

点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点, 所以 所以 故选 B. = . = .

点评: 本题考查空间向量的基本运算,考查计算能力.
2 2 2

7.在△ABC 中,若 S△ABC= (a +b ﹣c ) ,那么 C 等于( A. B. C. D.



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三角形的面积公式化简式子,再结合余弦定理求出 tanC=1,结合内角的范围求出 角 C 的值.

解答: 解:由题意得,S△ABC= (a +b ﹣c ) ,

2

2

2

所以

= (a +b ﹣c ) ,即 sinC=

2

2

2



由余弦定理得,cosC= 则 sinC=cosC,即 tanC=1, 又 0<C<π,所以 C= ,



故选:C. 点评: 本题考查余弦定理的应用,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理法公式是解题的 关键. 8.一元二次方程 ax +2x+1=0, (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( A. a<0 B. a>0 C. a<﹣1 D. a>1
2



考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 求解其充要条件,再从选项中找充要条件的真子集.求解充要条件时根据题设条件 特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解. 解答: 解:一元二次方程 ax +2x+1=0, (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 x1× x2= <0,即 a<0, 而 a<0 的一个充分不必要条件是 a<﹣1 故应选 C 点评: 本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义.本题解决的特点是先找出 其充要条件,再寻求充分不必要条件.
2

9.已知向量 =(2﹣2y,x) , =(x+2y,3y) ,且 , 的夹角为钝角,则在 xOy 平面上, 点(x,y)所在的区域是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 , 的夹角为钝角,得到 ? <0,再转化为向量的坐标关系,从而得 x 与 y 的

不等关系,由此关系可得不等关系表示的平面区域.

解答: 解: , 的夹角为钝角, =(2﹣2y,x) , =(x+2y,3y) , ∴ ? <0,
2 2

∴(x﹣2y) (x+2y)+3xy=x ﹣4y ﹣3xy=(x+4y) (x﹣y)<0 ∴ ①或

则不等式组①表示直线 x+4y=0 右上方与直线 x﹣y=0 左上方的公共区域, 不等式组②表示直线 x+4y=0 左下方与直线 x﹣y=0 右下方的公共区域, 故选:A. 点评: 本题考查了向量积的坐标运算及夹角的向量表示,二元一次不等式组表示的平面区 域等,求解时应注意等价思想的灵活运用. 10.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等 于( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 常规题型.

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分析: 延长 CA 到 D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成 的角,而三角形 A1DB 为等边三角形,可求得此角. 解答: 解:延长 CA 到 D,使得 AD=AC,则 ADA1C1 为平行四边形, ∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角, 又 A1D=A1B=DB= AB, 则三角形 A1DB 为等边三角形,∴∠DA1B=60° 故选 C. 点评: 本小题主要考查直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的 角的求法,考查转化思想,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为 x 轴,且过点 P(﹣2,2 ) ,则抛物线的方 2 程为 y =﹣4x . 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设抛物线方程为 y =mx,代入 P(﹣2,2 线方程. 解答: 解:设抛物线方程为 y =mx, 代入 P(﹣2,2 ) ,可得, 8=﹣2m,即有 m=﹣4,
2

2

) ,得到方程,解方程即可得到所求抛物

则抛物线的方程为 y =﹣4x. 2 故答案为:y =﹣4x. 点评: 本题考查抛物线的方程的求法,考查待定系数法的运用,考查运算能力,属于基础 题. 12.如图,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里 的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为 /小时. 海里

2

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 综合题. 分析: 根据题意可求得∠MPN 和,∠PNM 进而利用正弦定理求得 MN 的值,进而求得船航行 的时间,最后利用里程除以时间即可求得问题的答案. 解答: 解:由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN 中,由正弦定理,得 = ,

∴MN=68×

=34



又由 M 到 N 所用时间为 14﹣10=4(小时) , ∴船的航行速度 v= 故答案为: . = (海里/时) ;

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.解答关键是利用正弦定理建立边角关系,考 查了学生分析问题和解决问题的能力. 13.设 f(x)定义如下面数表,数列{xn}满足 x0=5,且对任意自然数 n 均有 xn+1=f(xn) ,则 x2014 的值为 1 . x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2

考点: 数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 数列{xn}满足 x0=5,且对任意自然数 n 均有 xn+1=f(xn) ,利用表格可得: 可得 x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4) =5,x5=f(x4)=f(5)=2,…,于是得到 xn+4=xn,进而得出答案. 解答: 解:∵数列{xn}满足 x0=5,且对任意自然数 n 均有 xn+1=f(xn) ,利用表格可得: ∴x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4) =5,x5=f(x4)=f(5)=2,…, ∴xn+4=xn, ∴x2014=x503×4+2=x2=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了数列的周期性,属于中档题.

14.已知 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=ax﹣y 取得最大值的唯一最优解解是

(2, ) ,则实数 a 的取值范围是



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出约束条件的可行域,通过目标函数的最优解求解 a 的范围即可. 解答: 解:画出可行域如图,将目标函数化为 y=ax﹣z, 显然当目标函数方向线的斜率大于可行域的边界直线 l:3y﹣x=2 的斜率时,直 线 y=ax﹣z 在点 p 处截距最小, 即a ) . 故答案为: . 时, 目标函数 z=ax﹣y 取得最大值时的最优解为 (2,

点评: 本题考查线性规划的应用,考查计算能力,注意目标函数的几何意义是解题的关键. 15.如图,南北方向的公路 l,A 地在公路正东 2km 处,B 地在 A 东偏北 30°方向 2 km 处, 河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等. 现要在曲线 PQ 上一处建一座 码头,向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么,修建 这条公路的总费用最低是 5a 万元.

考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、l 为准线的抛物线,欲求从 M 到 A,B 修建公路的 费用最低,只须求出 B 到直线 l 距离即可. 解答: 解:依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、l 为准线的抛物线, 根据抛物线的定义知:欲求从 M 到 A,B 修建公路的费用最低,只须求出 B 到直线 l 距离即 可. ∵B 地在 A 地东偏北 30°方向 2 km 处, ∴B 到点 A 的水平距离为 3(km) , ∴B 到直线 l 距离为:3+2=5(km) , 那么修建这两条公路的总费用最低为:5a(万元) . 故答案为:5a. 点评: 本题考查了抛物线方程的应用,考查了学生根据实际问题选择函数模型的能力,考 查了计算能力,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.已知命题 p:方程 + =1 的图象是焦点在 y 轴上的双曲线;命题 q:方程 4x +4
2

(m﹣2)x+1=0 无实根;又 p∨q 为真,¬q 为真,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;双曲线的简单性质. 专题: 计算题.

分析: 根据 p∨q 为真,¬q 为真,可得命题 p 为真与命题 q 为假,再讨论实数 m 的取值范 围,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:∵方程 + =1 是焦点在 y 轴上的双曲线,

∴2﹣m<0,且 m﹣1>0.即 m>2.故命题 p:m>2; ∵方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,∴△=16(m﹣2) ﹣16<0,解得 1<m<3.故命题 q: 1<m<3. ∵又 p∨q 为真,¬q 为真,∴p 真 q 假. 即 ,此时 m≥3;…(11 分)
2 2

综上所述:实数 m 的取值范围{m|m≥3}. 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假, 双曲线的标准方程和二次方程根的个数判断, 难度不大,是基础题. 17.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求 A 的大小; (2)若 , ,求 a. .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)由 b,c,cosA 的值,利用余弦定理求出 a 的值即可. 解答: 解: (1)由 b= asinB,根据正弦定理得:sinB= sinAsinB, ∵在△ABC 中,sinB≠0, ∴sinA= ,

∵△ABC 为锐角三角形, ∴A= ; ,c= +1,cosA=
2 2 2

(2)∵b=

, ﹣2× ×( +1)× =4,

∴根据余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=6+4+2

则 a=2. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键. 18.如图所示,在矩形 ABCD 中,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D′ EC 的位置,使二面角 D′﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥C D′; (2)求二面角 D′﹣BC﹣E 的正切值.

考点: 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证 BE⊥CD′,先证 BE⊥面 D′EC,欲证线面垂直先证线线垂直,根据线面 垂直的判定定理可证得; (2)先以 EB,EC 为 x、y 轴,过 E 垂直平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 出平面 D′BC 的法向量,求出两平面的法向量的所成角的余弦值,再求出其正切值. 解答: 解: (1)∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形, 易知,∠BEC=90°,即 BE⊥EC. 又∵平面 D′EC⊥平面 BEC,面 D′EC∩面 BEC=EC, ∴BE⊥面 D′EC,又 CD′? 面 D′EC, ∴BE⊥CD′. (2)如图以 EB,EC 为 x、y 轴,过 E 垂直平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 B( ,0,0) ,C(0, ,0) ,D′(0, , ) , , 设平面 BEC 的法向量为 ,平面 D′BC 的法向量为













tan<



>=

, .

∴二面角 D′﹣BC﹣E 的正切值为

点评: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力,属于基础题. 19.小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第 二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小张在 该车运输累计收入超过总支出后, 考虑将大货车作为二手车出售, 若该车在第 x 年年底出售, 其销售收入为 25﹣x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) . (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销 售收入﹣总支出) 考点: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)求出第 x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差,令其大于 0,即可得到结 论; (2)利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出,可得平均利润,利用基本不等式,可得结论. 解答: 解: (1)设大货车运输到第 x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差为 y 万元, 则 y=25x﹣[6x+x(x﹣1)]﹣50=﹣x +20x﹣50(0<x≤10,x∈N) 2 由﹣x +20x﹣50>0,可得 10﹣5 <x<10+5 ∵2<10﹣5 <3,故从第 3 年,该车运输累计收入超过总支出; (2)∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出, ∴二手车出售后,小张的年平均利润为 =19﹣(x+ )≤19﹣10=9
2

当且仅当 x=5 时,等号成立 ∴小张应当在第 5 年将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大. 点评: 本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中 档题. 20.在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1﹣kan(k≠0)对任意 n∈N 成立,令 bn=an+1﹣an, 且{bn}是等比数列. (1)求实数 k 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求和:Sn=b1+2b2+3b3+…nbn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件先分别求出 a1,a2,a3,a4,进而求出 b1,b2,b3,由{bn}成等比数 列,由此能求出 k. (2)由已知条件求出 bn=2 ,根据 bn=an+1﹣an,利用累加法能求出数列{an}的通项公式.
n *

(3)由 Sn=b1+2b2+3b3+…nbn=1? 2+2? 2 +3? 2 +…+n? 2 ,利用错位相减法能求出 Sn. 解答: 解: (1)∵a1=1,a2=3, a3=3×3﹣k×1=9﹣k, a4=3×(9﹣k)﹣k×3=27﹣6k, ∵bn=an+1﹣an, ∴b1=3﹣1=2,b2=6﹣k,b3=18﹣5k, ∵{bn}成等比数列, ∴ =b1? b3,
2

2

3

n

∴(6﹣k) =2×(18﹣5k) , 解得 k=2 或 k=0(舍) 当 k=2 时,an+2=3an+1﹣2an, ∴an+2﹣an+1=2(an+1﹣an) , ∴ ,∴k=2 时满足条件.

(2)∵b1=2,{bn}成等比数列,

,∴bn=2 ,
n﹣1

n

∴a2﹣a1=2, ∴an﹣a1=1+2+2 +2 +…+2 =
n 2 3

,…,an﹣an﹣1=2
n﹣1



=2 ﹣1,

n

∴an=2 . (3)Sn=b1+2b2+3b3+…nbn 2 3 n =1? 2+2? 2 +3? 2 +…+n? 2 ,① 2 3 4 n+1 2Sn=1? 2 +2? 2 +3? 2 +…+n? 2 ,② 2 3 n n+1 ①﹣②,得:﹣Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n×2 =
n+1

﹣n×2
n+1

n+1

=2 ﹣2﹣n×2 , ∴ .

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要注意错位相减法 的合理运用. 21. 已知两点 F1 (﹣1, 0) 及 F2 (1, 0) , 点 P 在以 F1、 F2 为焦点的椭圆 C 上, 且|PF1|、 |F1F2|、 |PF2|构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;数列与解析几何的综合;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为
2 2 2

,c=1.再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构

成等差数列,即可得到 a,利用 b =a ﹣c 得到 a 即可得到椭圆的方程; 2 2 (2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x +4y =12 中,得到关于 x 的一元二次方 程,由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△=0,即可得到 m,k 的关系式,利用点到直线 的距离公式即可得到 d1=|F1M|,d2=|F2N|. 法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为θ,则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|,即可得到四边形 F1MNF2 面积 S 的表达式,利用基本不等式的性质即可得出 S 的最大值; 法二:利用 d1 及 d2 表示出 及 d1d2,进而得到

, 再利用二次函数的单调性即可得出其最 大值. 解答: 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 .

∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列,∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,a=2. 又∵c=1,∴b =3.∴椭圆 C 的方程为
2


2 2 2 2 2

(2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x +4y =12 中,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣ 12=0. 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△=64k m ﹣4(4k +3) (4m ﹣12)=0, 2 2 化简得:m =4k +3. 设 , ,
2 2 2 2

法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为θ, 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|,





=



∵m =4k +3,∴当 k≠0 时, 当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 法二:∵

2

2

, . .











=



四边形 F1MNF2 的面积

=



=



当且仅当 k=0 时,

,故 .



所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为

点评: 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、 二次函数的单调性、 基本不等式的性质等基础知识, 考查运算能力、 推理论证以及分析问题、 解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想.


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