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内蒙古包头市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


包头一中 2014—2015 学年度第二学期期末考试 高二年级理科数学试题
命题人:田玉清 审题人:理数备课组

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是最符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上. ) 1.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ?

y ? 1 ? 0 ,则(
(A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 2.设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i, 则 z =( (A) 1 ? i (B) ? 1 ? i (B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1 ) (C) ? 1 ? i (D) 1 ? i )

3. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? ( A. 0.16 ) B. 0.32 C. 0.68 D, 0.84

4.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地作 10 次和 15 次
试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知在两个人的试验中发现对变 量 x 的观测数据的平均值恰好相等,都为 s,对变量 y 的观测数据的平均值也恰好相等,都为

t.那么下列说法正确的是(

)

A.直线 l1 和 l2 相交,但是交点未必是点(s,t) B.直线 l1 和 l2 有交点(s,t) C.直线 l1 和 l2 由于斜率相等,所以必定平行 D.直线 l1 和 l2 必定重合

5.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其
中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 ) (D) 54 种

6.在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,?, (xn,yn) (n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图 1 中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y ? x ? 1 上,则这组样本数据的样本相关 2
系数为 ( (A)1 ) (B)0 1 (C)2 (D)-1

a? ? 7. ? x ? ? ? x ? R ? 展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于( x? ?

5

)

A.-1

B.

1 2

C.1

D.2
( )

8.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取
两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (A)

3 1 4 2 (B) (C) (D) 5 5 5 5 n 9.在 ( x ? y) 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( ) A. 13,14 B. 14,15 C. 12,13 D. 11,12,13

10.抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为 Ω ={1,2,3,4,5,6},令事件 A= {2,3,5},B={1,2,4,5,6},则 P(A|B)等于( 2 A. 5 B. 1 2 C. 3 5 D. 4 5 )

1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 ? 11.用数学归纳法证明:
时,左边计算所得的结果是( A. 1 ? a ? a ? a
2 3

1 ? a n?2 ?a ? 1, n ? N ? 在验证n=1成立 1? a
C. 1 ? a D. 1




B.

1 ? a ? a2

12、某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查了 52
名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( 2 表1 表 视力性别 好 差 总计 成绩性别 不及格及格总计 4 16 20 男 6 14 20 男 12 20 32 女 10 22 32 女 16 36 52 总计 16 36 52 总计 表3 智商性别 偏高正常总计 8 12 20 男 8 24 32 女 16 36 52 总计 A. 成绩 B. 视力 表4 阅读量性别 丰富 不丰富 总计 14 6 20 男 2 30 32 女 16 36 52 总计 C. 智商 D. 阅读量

二、填空题 (共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将正确的答案填写到答题卷的 相应位置上)

? ' 1 x ? x 2 2 ? ? 2 可以将方程 x ? y ? 1 所对应的图形变成 13.伸缩变换 ? 4 9 ? y' ? 1 y ? 3 ?
方程 所对应的图形. 14.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取 相同的单位长度,将点 P 的极坐标 ? 2,

? ?

??

? 化成直角坐标 4?

15.已知离散型随机变量 x 的分布列如下表,若 EX ? 0, DX ? 1, 则 a = 2 1 a c P b 12 1 16.当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式: 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? ... ? . 1? x
两边同时积分得:

X

?1

0

1

?

1 2 0

1dx ? ? 2 xdx ? ? 2 x 2 dx ? ... ? ? 2 x n dx ? ... ? ? 2
0 0 0 0

1

1

1

1

1 dx. 1? x

从而得到如下等式: 1?

1 1 1 2 1 1 3 1 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ... ? ? ( ) n ?1 ? ... ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

C

0 n

1 1 1 1 1 2 1 1 1 n ? ? C n ? ( ) 2 ? C n ? ( )3 ? ... ? ? ( ) n ?1 ? _____ C n 2 2 2 3 2 n ?1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明或演算步骤)
17. (本小题满分 10 分) (1)求 2 ?

?

4 x 展开式中不含 ..x 项的系数的和

?

8

2 2 2 2 (2)若 C3 ? C4 ? C5 ??? Cn ? 363, 求自然数 n 的值

18. (本小题满分 12 分) 某小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障 的概率分别为

1 和P 10
49 ,求 P 的值 50

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? , 求 ? 的概率分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分) (普通班做) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量, 这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量级别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染 >250 六级 严重污染

甲、乙两城市 2015 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓 度指数数据如茎叶图所示: 甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8

乙城市
3 4 6 7 8 9 204 7 4 697 807 1809

(1)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好?(注:不 需说明理由) (2)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率; 19.(本小题满分 12 分) (实验班做)空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物
3

的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量级别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染 >250 六级 严重污染

甲、乙两城市 2015 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓 度指数数据如茎叶图所示:

甲城市
3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8

乙城市
3 4 6 7 8 9 204 7 4 697 807 1809

20.(本小题满分 12 分)

(普通班做)某市规定中学生百米成绩达标标准为不超过 16 秒.现从该市中学生中按照 男、女生比例随机抽取了 50 人,其中有 30 人达标.将此样本的频率估计为总体的概率.

如果男、女生采用相同的达标标准,男、女生达标情况如下表: 男 达标 不达标 总计 a=24 c= b= d=12 n=50 女 [来源: 总计

根据表中所给的数据,完成 2×2 列联表,并判断在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下能否认 为“体育达标与性别有关”?若有,你能否给出一个更合理的达标方案? 附: k ?
2

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c? d)(a ? c)(b? d)
0.025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k0 )

k0

20.(本小题满分 12 分) (实验班做)某市规定中学生百米成绩达标标准为不超过 16 秒.现从该市中学生中按照男、 女生比例随机抽取了 50 人,其中有 30 人达标.将此样本的频率估计为总体的概率. 如果男、女生采用相同的达标标准,男、女生达标情况如下表: 男 达标 不达标 总计 a=24 c= b= d=12 n=50 女 [来源: 总计

(1)根据表中所给的数据,完成 2×2 列联表,并判断在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下能否 认为“体育达标与性别有关”?若有,你能否给出一个更合理的达标方案? 附: k ?
2

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c? d)(a ? c)(b? d)
0.025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k0 )

k0

(2)随机调查 45 名学生,设ξ 为达标人数,求ξ 的数学期望与方差.

21. (本小题满分 12 分) (普通班做) 已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点。
2

(1)求 a ; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

21. (本小题满分 12 分) (实验班做)已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点。
2

(1)求 a ; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间; (3)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) (普通班做)选修 4-4:极坐标系与参数方程. (1)曲线 C 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
3

)?

1 ,以极点 O 为原点,极轴 Ox 为 x 的非负半轴, 2


保持单位长度不变建立直角坐标系 xoy.求曲线 C 的直角坐标方程; (2)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程 ②设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积 .

?
6

22.(实验班做)选修 4-5:不等式选讲. (1)解不等式: x ? | 2 x ? 1|? 3

x? (2)设 x, y , z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,求
2 2 2

y ? z 的值.

包头一中 2014—2015 学年度第二学期期末考试 高二年级理科数学试题答案
一、1---5 ACABB 二、13. x ? y ? 1
'2 '2

6---10 ADCDA

11---12 15.

BD
5 12

; 14. ( 2, 2) ;

;16.

1 3 [( ) n ?1 ? 1] . n ?1 2

4 8 0 三、 17 解: (1)令 x=1 得系数和为 1, 减去 x 项系数 C8 : 2 (?1)8 ? 1 即为所求,答案为 0.(2)

3 2 2 3 C5 ? C5 ??? Cn ? ... ? Cn ?1 ? 364, n ? 13

18、 【解】 :(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 1 49 1-P(C)=1P= ,解得 P= 4 分 5 10 50 1 0 1 3 )? (2) :由题意,P( ? =0)= C( 3 10 1000 1 27 1 1 2 ) ( 1? ) ? P( ? =1)= C( 3 10 10 1000 1 2 243 2 1 ) ( 1? ) ? P( ? =2)= C( 3 10 10 1000 1 1 729 3 0 3 ) ( 1? ) ? P( ? =3)= C( 3 10 10 1000
所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 X 的数学期望为: E ? =0 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 1000 1000 1000 1000 10

19、(实验班)解 (1) 甲地的空气质量要比乙地好

10 2 ? , 15 3 5 1 2 1 2 ? ,所以 P ? P1 P2 ? ? ? 乙地空气质量优良为 5 天,所以 P2 ? 15 3 3 3 9
(2)由茎叶图可知甲地空气质量优良为 10 天,所以 P 1 ? (3)变量 X 的所有可能取值有 0,1,2,且

P? X ? 0 ? ?

0 2 1 1 0 C5 C10 3 C5 C10 10 C52 C10 2 , , ? ? ? ? ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? 2 2 2 7 21 21 C15 C15 C15

所以变量 X 的分布列为 X P 且数学期望 E ? X ? ? 0 1 2

3 7

10 21

2 21

2 3

20. (实验班)解: 男 达标 不达标 总计 a=24 c=8 32 女 b=6 d=12 18 总计 30 20 n=50

k=错误!未找到引用源。≈8.333>6.635,
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“体育达标与性别有关”.男、女 生要使用不同的达标标准. (2)由题意可知,随机抽取 1 人,则此人百米成绩达标的概率为错误!未找到引用 源。 = 错误!未找到引用源。. 由题设可知,ξ ~B(45,错误!未找到引用源。) 故 E(ξ )=45×错误!未找到引用源。=27,D(ξ )=45×错误!未找到引用源。×错 误!未找到引用源。=10.8. 21. (实验班) 【解】 : (Ⅰ)因为 f ' ? x ? ? 所以 f ' ? 3? ? 因此 a ? 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
a ? 2 x ? 10 1? x

a ? 6 ? 10 ? 0 4

f?x 1? x ? 2x ? 1 0 x x 1 ?, ? ? ? 1 6 l ?n ? ?,? ? ?

f ? x? ?
'

2 ? x2 ? 4 x? ? 3 1? x

当 x ? ? ?1,1? ? ?3, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1,3? 时, f ' ? x ? ? 0 所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ? 3, ??? ; f ? x ? 的单调减区间是 ?1,3?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1,3? 内单调减少,在 ? 3, ?? ? 上 单调增加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f ' ? x ? ? 0 所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 因此 f ?16? ? 162 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
f

?e

?2

? 1? ? ? 3 2 ? 1 1 ? ?2 1f ? ?

?

3

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有 一个交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。
.22(普通)解: (1)曲线 C 化为直角坐标为: x ? 3 y ? 1 ,…………5 分

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 (t 为参数)……8 分 (2)解:①直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 ②把直线 ? 代入 x ? y ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 …………12 分
? 22.(实验) (1) ? x | ?2 ? x ? ?
3 14 4? ? ; (2) 7 3?


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