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§ 1.5 《定积分的概念》导学案


高二选修 2-2 编号:005

§1.5 《定积分的概念》导学案
姓名:
【学习目标】 1.理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。 2.知道定积分的性质。 3.会用定义法求简单的定积分。 【重点难点】 1.定积分的概念,定积分的几何意义。 2.定积分的概念。 【学习过程】阅读课本 38-44 页 定积分的实际背景(曲边梯形的面积、汽车行驶的路程) 探究一:曲边梯形的面积 如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线 y ? f ( x) 的一段,我们把由直线 x ? a , x ? b ( a ≠ b ), y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形. 问题:如何求由抛物线 y ? x 2 ,直线 x ? 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积 S? 思路:以直代曲,无限逼近 操作过程: ⑴分割

班级:

组别:

组名:

⑵近似代替

⑶求和

⑷取极限
i ?1 i , ]中,可以取任意的 ? i 的函数值 f (? i ) 作为近似 n n

思考:在“近似代替”中,在每一个区间[

值吗? 反思:求曲边梯形面积的四个步骤是什么?

例 1:求 y ? 2 x ? x 2 , y ? 0 ,0≤ x ≤2 围成图形面积。

变式练习:求直线 x =2, x =0, y =0 与曲线 y ? x 2 所围成的曲边梯形的面积。

例 2、已知圆半径为 r ,周长为 2?r ,求圆的面积。

例 3、求由曲线 y ? e , y ? e , x ? 0 围成的图形面积
x

探究二:汽车行驶的路程 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如 果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 汽车以速度 v 组匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 S ? vt . 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v ? t ? ? ?t ? 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单位:h)这段时间内行驶的路
2

程 S (单位:km)是多少? 思路:以不变带变的方法 操作过程: ⑴分割

⑵近似代替

⑶求和

⑷取极限

思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和曲 线 v ? ?t ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系? 结论:一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么我们也可以采用分割、近似代 替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤t≤b 内所 作的位移 S. 三、例题分析: 例 1、弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F ( x) ? kx ( k 为常数, x 是伸长量) ,求弹簧
2

从平衡位置拉长 b 所作的功.

例 2、一辆汽车作变速直线运动,在时刻 t(单位:h)的速度为 v(t ) ? ≤t≤2 时段内行驶的路程.

6 t2

(单位:km/h),求汽车在 1

探究三:定积分的概念 阅读课本 45-47 页 从求曲边梯形面积 S 的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限 得到解决.
小矩形面积和S=? f (?i )?x ? ? f (?i ) ?
i ?1 i ?1 n n

b?a n

如果当 n?∞时,S 的无限接近某个常数,这个常数为函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作 即 定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, f(x) ——叫做被积函数, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, [a, b] ——叫做积分区间。

f(x)dx —叫做被积表达式, b ———叫做积分上限,

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线 y=f(x) (f(x)?0) ,直线 x=a、x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度 v=v(t),则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离 s 为 定积分的几何意义:

特别地,当 a?b 时,有 ?

b

a

f (x)dx?0。

三: 定积分的基本性质 (1) (2) (3)

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx
b a

(k为常数)
b a

? [ f ( x) ? f
a 1

b

2

( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ?
b c

f 2 ( x)dx

?

b

a

f ( x)dx ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a<c<b)
a
1

c

例 1 利用定积分的定义,计算 ? x 3 dx 的值
0

变式:计算 ? x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?
0

2

例 2 计算定积分 ? (2 x ? x 2 )dx
0

1


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