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解三角形综合练习题


解三角形练习题(1)
2a b c 1.在△ABC 中, - - =______. sin A sin B sin C

2012-10

2.如图所示, 为了测定河的宽度, 在一岸边选定两点 A、 望对岸标记物 C, B, 测得∠CAB =30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为______. 3.△ABC

的三边长分别为 3、4、6,则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为 ________. 4.在△ABC 中,若 A>B,则下列关系中不一定正确的是________. ①sin A>sin B ②cos A<cos B ③sin 2A>sin 2B ④cos 2A<cos 2B → → 5.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则BA· =________. AC 6.从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30° ,看到正南方向有一只船 俯角为 45° ,则此时两船间的距离为__________. 7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值 为__________. 8.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c=__________. 4 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5 B+C (1)求 sin2 +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a.

10.在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, 角 B、 b、 已知 a+b=5, c= 7, 4sin2 且 7 -cos 2C= . 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

A+B 2

1

解三角形练习题(2) 2012-10 1.在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( ) A.45° 135° 或 B.135° C.45° D.以上答案都不对 2.在△ABC 中,已知 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则 角 B 的值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 4.在△ABC 中,A=60° ,AC=16,面积为 220 3,那么 BC 的长度为( ) A.25 B.51 C.49 3 D.49 5.△ABC 中,下列结论: ①a2>b2+c2,则△ABC 为钝角三角形;②a2=b2+c2+bc,则 A 为 60° ;③a2+b2>c2, 则△ABC 为锐角三角形;④若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦是方程 5x2-7x-6=0 的根,则此 三角形的面积是________. a 7.在△ABC 中,A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 =______. sin A 8.一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 h 后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75° 的方向上, 这时船与灯塔的距离 BC 等于________. 3 9.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=2,cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

10.在△ABC 中,已知 AB=

4 6 6 ,cos B= ,AC 上的中线 BD= 5,求 sin A 的值. 3 6

2

解三角形练习题(3)
0 0

2012-10

1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6 , B ? 30 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3 )



2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.
1 tan A

3.在△ABC 中,角 A , B 均为锐角,且 cos A ? sin B , 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形



0 4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为(



A. 2

B.

3 2

C. 3

D. 2 3 )
0

5.在△ A B C 中,若 b ? 2 a sin B ,则 A 等于( A. 30 或 60
0 0

B. 45 或 60

0

0

C. 120 或 60

0

D. 30 或 150 )

0

0

6.边长为 5, 7 , 8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0

B. 120

0

C. 135
0

0

D. 150

0

7.在 Rt △ABC 中, C ? 9 0 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________ 8.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则 A ? _________
2 2 2

9.在△ABC 中,若 b ? 2 , B ? 30 , C ? 135 , 则 a ? _________
0 0

10.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________ 11.在△ABC 中, AB ?
6 ? 2 , C ? 3 0 ,则 A C ? B C 的最大值是________
0

12.在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cos C , 则△ABC 的形状是_________________ 13.在△ABC 中,求证:
a b ? b a ? c( cos B b ? cos A a )

14.在△ABC 中,设 a ? c ? 2 b , A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值。

3

解三角形练习题(4) 2012-10 1.在△ABC 中, A : B : C ? 1 : 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1 : 2 : 3 B. 3 : 2 : 1 C. 1 : 3 : 2



D. 2 : 3 : 1

2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 3.在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于( ) A. 2 b sin A B. 2 b cos A C. 2 b sin B D. 2 b cos B 4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 ) )

5.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 bc , 则 A ? ( A. 90
0

B. 60

0

C. 135

0

D. 150
13 14 1 8

0

6.在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 8 , cos C ? A. ?
1 5

,则最大角的余弦是(



B. ?

1 6

C. ?
A?B 2

1 7 ?

D. ?
a?b a?b

7.在△ABC 中,若 tan

,则△ABC 的形状是(



A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 8.若在△ABC 中, ? A ? 6 0 , b ? 1, S ? A B C ?
0

D.等腰三角形或直角三角形
a?b?c

3, 则

sin A ? sin B ? sin C

=_______。

9.若 A , B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 。 10.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C , 则 tan B ? tan C ? _________。 11.在△ABC 中,若 a ? 9 , b ? 10 , c ? 12 , 则△ABC 的形状是_________。
6 ? 2 2

12.在△ABC 中,若 a ?

3,b ?

2,c ?

则 A ? _________。

13.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 14.在△ABC 中, A ? 120 , c ? b , a ?
0

21, S ? A B C ?

3 ,求 b , c 。

15.在△ABC 中,若 a co s

2

C 2

? c co s

2

A 2

?

3b 2

,则求证: a ? c ? 2 b

4

参考答案 解三角形练习题(1) 1.0 2.60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=75° .∠ACB=∠ABC. ∴AC=AB=120 m.∴宽 h=AC· 30° sin =60 m. 32+42-62 11 3.1∶2 解析 不妨设 a=3,b=4,c=6,则 cos C= =- <0. 24 2×3×4 ∴C 为钝角,则 B 为较大锐角,设 B 的平分线长为 m, 1 B 1 B 则 S1∶S2=?2×3 m sin 2 ?∶?2×6 m sin 2 ?=1∶2. ? ? ? ? 4.③解析 在△ABC 中,A>B,sin A>sin B,cos A<cos B. ∴1-2sin2A<1-2sin2B,∴cos 2A<cos 2B. AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 5.[由余弦定理得 cos A= = = . 2AB· AC 12 4 1 3 → → → → ∴AB· =|AB|· |· A=3×2× = . AC |AC cos 4 2 3 → → → → ∴BA· =-AB· =- . AC AC 2 6.如图所示,

BC= 3h,AC=h, ∴AB= 3h2+h2=2h. a2+c2-b2 3ac 3 π 7.∵a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 6 3 8. ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴5=15+c2-2 15×c× . 2 2 化简得:c -3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0,∴c=2 5或 c= 5. B+C 1-cos?B+C? 1+cos A 59 +cos 2A= +cos 2A= +2cos2 A-1= . 2 2 2 50 4 3 1 1 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= .由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 5 5 2 2 5 4 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 a2=4+25-2×2×5× =13, ∴a= 13. 5 A+B 7 C 7 10.解 (1)∵A+B+C=180° ,由 4sin2 -cos 2C= ,得 4cos2 -cos 2C= , 2 2 2 2 1+cos C 7 1 ∴4· -(2cos2C-1)= ,整理,得 4cos2C-4cos C+1=0,解得 cos C= , 2 2 2 ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 1 1 3 3 3 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 解三角形练习题(2) 1.C 2.C [cos Acos B>sin Asin B?cos(A+B)>0,∴A+B<90° ,∴C>90° 为钝角.] ,C a2+c2-b2 3 3.D [∵(a2 +c2 -b2)tan B= 3ac,∴ · B= ,即 cos B· B=sin B= tan tan 2ac 2 3 π 2π .∵0<B<π,∴角 B 的值为 或 .] 2 3 3 2 2 4.D 5.A [①由 a >b +c2 知 A 为钝角,①正确;②由 a2=b2+c2+bc 知 A=120° ,②错; 9.解 (1)sin2
5

π ③由 a2+b2>c2,仅能判断 C 为锐角,A、B 未知,③错;④由 A∶B∶C=1∶2∶3,知 A= , 6 π π 1 3 B= ,C= ,∴sin A∶sin B∶sin C= ∶ ∶1=1∶ 3∶2,④错.所以仅①正确.] 3 2 2 2 3 6.6 cm2 解析 由 5x2-7x-6=0,解得 x1=- ,x2=2.∵x2=2>1,不合题意.∴设夹 5 3 4 1 4 角为 θ,则 cos θ=- 得 sin θ= ,∴S= ×3×5× =6 (cm2). 5 5 2 5 2 39 a 13 2 39 7. ∴a= b2+c2-2bccos A= 12+42-2×1×4cos 60° 13.∴ = = = . 3 sin A sin 60° 3 8.20 2 km

解析 如图所示, BC AC AC 20 2 = ∴BC= ×sin 45° = × =20 2 (km). sin 45° sin 30° sin 30° 1 2 2 3 4 9.解 (1)∵cos B= >0,且 0<B<π,∴sin B= 1-cos2B= . 5 5 4 2× 5 2 a b asin B 由正弦定理得 = ,sin A= = = . sin A sin B b 4 5 1 1 4 (2)∵S△ABC= acsin B=4,∴ ×2×c× =4,∴c=5. 2 2 5 3 2 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B=2 +52-2×2×5× =17,∴b= 17. 5 1 2 6 10.解 设 E 为 BC 的中点.连接 DE,则 DE∥AB,且 DE= AB= ,设 BE=x. 2 3 在△BDE 中利用余弦定理可得:BD2=BE2+ED2-2BE· EDcos∠BED, 8 2 6 6 7 5=x2+ +2× × x,解得 x=1,x=- (舍去).故 BC=2, 3 3 6 3 2 21 3 28 2 21 30 2 2 2 2 从而 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B= ,即 AC= .又 sin B= ,故 = , 3 3 6 sin A 30 6 sin A= 1.C 3.C
b a

70 . 14
0

解三角形练习题(3)
0

? tan 3 0 , b ? a tan 3 0 ? 2 3 , c ? 2 b ? 4 4 , c ? b ? 2 3 2.A

0 ? A ? ? , sin A ? 0

co s A ? sin (

?
2

? A ) ? sin B ,

?
2

? A , B 都是锐角,则

?
2

? A ? B, A ? B ? 1 2
0

?
2

,C ?
0

?
2

4.D 作出图形 5.D

b ? 2 a sin B , sin B ? 2 sin A sin B , sin A ?

, A ? 3 0 或1 5 0

6.B 设中间角为 ? ,则 co s ? ?

5 ?8 ?7
2 2

2

2?5?8

?

1 2

, ? ? 6 0 ,1 8 0 ? 6 0 ? 1 2 0 为所求
0 0 0 0

6

7. 9.

1 2

sin A sin B ? sin A co s A ?
6 ?

1 2

sin 2 A ?
b sin B

1 2

8. 120
b sin A sin B

0

co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

? ?

1 2

, A ? 120

0

2bc
? 4 sin A ? 4 sin 1 5 ? 4 ?
0

2

A ? 15 ,
0

a sin A

?

,a ?

6 ?2 4

10.

120

0

a ∶ b ∶ c ? sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 , 令 a ? 7 k , b? 8 k , c 1 3 k ?
co s C ? a ?b ?c
2 2 2

? ?

1 2

, C ? 120

0

2ab

11. 4
AC sin B ? BC sin A ? AB AC ? BC AB , ? , sin C sin B ? sin A sin C
2 )(sin A ? sin B ) ? 4 ( 6 ? 2 ) sin A?B 2 co s A?B 2

AC ? BC ? 2( 6 ?

? 4 co s

A?B 2

? 4, ( A C ? B C ) m ax ? 4

12. △ABC 是直角三角形。 13.证明:将 cos B ?
a
2

?c ?b
2

2

, cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

代入右边

2 ac a ?c ?b
2 2 2

2 bc b ?c ?a
2 2 2

得右边 ? c (
a b ? b a

?

)?

2 a ? 2b
2

2

?

a ?b
2

2

?

a b

?

b a

? 左边,

2abc

2abc

2ab

ab



? c(

cos B b

?

cos A a

) A ?C cos 2
B 2 39 8 ?

14.解:∵ a ? c ? 2 b , ∴ sin A ? sin C ? 2 sin B ,即 2sin
B 2 1 2 B 2 A?C 2 B 2 3 4 3 4

A ?C 2
13 4

4sin ?

B cos 2

B 2



∴ sin

?

co s

?

,而 0 ?

B 2

?

?
2

, ∴ cos



∴ sin B ? 2 sin 1.C
lg

co s

? 2?

?

13 4

?

解三角形练习题(4)

2.A
sin A

3.D
? lg 2,

4.D
sin A co s B sin C ? 2, sin A ? 2 co s B sin C

co s B sin C

sin( B ? C ) ? 2 cos B sin C , sin B cos C ? cos B sin C ? 0, sin( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形

5.B
( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 b c , ( b ? c )
b ? c ? a ? 3 b c , co s A ?
2 2 2

2

? a

2

? 3b c ,

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2

, A ? 60

0

2bc

7

6.C

c ? a ? b ? 2 a b co s C ? 9, c ? 3 , B 为最大角, co s B ? ?
2 2 2

1 7

7.D

tan

A?B 2

?

a?b a?b

?

sin A ? sin B sin A ? sin B

2 co s ? 2 sin

A?B 2 A? B 2

sin co s

A?B 2 , A?B 2

tan

A?B 2

tan ? tan

A?B A?B A? B ? 2 , tan ? 0 ,或 tan ? 1 所以 A ? B 或 A ? B ? A?B 2 2 2 2

8.

2 39 3
S ?ABC ?

1 2

b c sin A ?

1 2

c?

3 2

?

3 , c ? 4, a ? 1 3, a ?
2

13

a?b?c sin A ? sin B ? sin C

?

a sin A

?

13 3 2

?

2 39 3

9.

?

A?B ?

?
2

,A?

?
2

?B

tan A ? tan (

?
2

sin ( ? B) ? co s(

? ?
2

? B) ? B)

?

co s B sin B

?

1 tan B



2

tan A ?

1 tan B

, tan A tan B ? 1 t aCn ? s i nB cos B ?
?

10. 2
?

t a nB ?

sin C cos C
2 sin A sin A
8? 4 4 2 2?
2

sin B co s C ? co s B ? sin C co s B co s C

sin ( B ? C ) 1 2 sin A

?

11.锐角三角形 12. 60

0

co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

2? ?

3 ?3 ? 2 2?

3 ?1 2 ? ( 3 ? 1)

2bc

6? 2

?

1 2

13. ( 5 , 1 3 )

? a ? b ? c ?1 3 ? c ? 2 ? 2 2 2 2 ? a ? c ? b , ? 4 ? c ? 9 , 5 ? c ? 1 3, 5 ? c ? ? 2 2 2 ? 2 ?c ? b ? a ?c ? 9 ? 4
2 2 2

13

14.解: S ? A B C ?

1 2

b c sin A ?

3 , b c ? 4, a ? b ? c ? 2 bc cos A , b ? c ? 5 ,而 c ? b
2 2 2

所以 b ? 1, c ? 4 15.证明:∵ a co s
2

C 2

? c co s

2

A 2

?

3b 2

∴ sin A ?

1 ? co s C 2

? sin C ?

1 ? co s A 2

?

3 sin B 2

即 sin A ? sin A cos C ? sin C ? sin C cos A ? 3 sin B ∴ sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3 sin B 即 sin A ? sin C ? 2 sin B ,∴ a ? c ? 2 b

8


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