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解三角形综合练习题


解三角形练习题(1)
2a b c 1.在△ABC 中, - - =______. sin A sin B sin C

2012-10

2.如图所示, 为了测定河的宽度, 在一岸边选定两点 A、 B, 望对岸标记物 C, 测得∠CAB =30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为______. 3.△ABC 的三边长分别为 3、4、6,则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为 ________. 4.在△ABC 中,若 A>B,则下列关系中不一定正确的是________. ①sin A>sin B ②cos A<cos B ③sin 2A>sin 2B ④cos 2A<cos 2B → → 5.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则BA· AC=________. 6.从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30° ,看到正南方向有一只船 俯角为 45° ,则此时两船间的距离为__________. 7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值 为__________. 8.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c=__________. 4 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5 B + C (1)求 sin2 +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a.

10.在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 a+b=5, c= 7, 且 4sin2 7 -cos 2C= . 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

A+B 2

1

解三角形练习题(2) 2012-10 1.在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( ) A.45° 或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 2.在△ABC 中,已知 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则 角 B 的值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 4.在△ABC 中,A=60° ,AC=16,面积为 220 3,那么 BC 的长度为( ) A.25 B.51 C.49 3 D.49 5.△ABC 中,下列结论: ①a2>b2+c2,则△ABC 为钝角三角形;②a2=b2+c2+bc,则 A 为 60° ;③a2+b2>c2, 则△ABC 为锐角三角形;④若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦是方程 5x2-7x-6=0 的根,则此 三角形的面积是________. a 7.在△ABC 中,A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 =______. sin A 8.一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 h 后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75° 的方向上, 这时船与灯塔的距离 BC 等于________. 3 9.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=2,cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

10.在△ABC 中,已知 AB=

4 6 6 ,cos B= ,AC 上的中线 BD= 5,求 sin A 的值. 3 6

2

解三角形练习题(3)

2012-10

1.在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3 )



2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.

1 tan A


3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
0

4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为( A. 2



B.

3 2

C. 3

D. 2 3 )
0

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

0

D. 30 或150 )

0

0

6.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

0 7.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________

8.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________
2 2 2

9.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________
0 0

10.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________ 11.在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________

12.在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是_________________ 13.在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

14.在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值。

3

解三角形练习题(4) 2012-10 1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2



D. 2 : 3 :1

2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 3.在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于( ) A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B D. 2b cos B 4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 ) )

5.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A. 90
0

B. 60

0

C. 135

0

D. 150

0

13 ,则最大角的余弦是( ) 14 1 1 1 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 5 8 6 7 A? B a ?b ? 7.在△ABC 中,若 tan ,则△ABC 的形状是( ) 2 a?b
6.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 8.若在△ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则 D.等腰三角形或直角三角形

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

9.若 A, B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 。 10.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tanC ? _________。 11.在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。

12.在△ABC 中,若 a ?

3, b ? 2 , c ?

6? 2 则A ? _________。 2

13.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 14.在△ABC 中, A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。

15.在△ABC 中,若 a cos

2

C A 3b ? c cos 2 ? ,则求证: a ? c ? 2b 2 2 2

4

参考答案 解三角形练习题(1) 1.0 2.60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=75° .∠ACB=∠ABC. ∴AC=AB=120 m.∴宽 h=AC· sin 30° =60 m. 32+42-62 11 3.1∶2 解析 不妨设 a=3,b=4,c=6,则 cos C= =- <0. 24 2×3×4 ∴C 为钝角,则 B 为较大锐角,设 B 的平分线长为 m, 1 B? ?1 B? 则 S1∶S2=? ?2×3 m sin 2 ?∶?2×6 m sin 2 ?=1∶2. 4.③解析 在△ABC 中,A>B,sin A>sin B,cos A<cos B. ∴1-2sin2A<1-2sin2B,∴cos 2A<cos 2B. AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 5.[由余弦定理得 cos A= = = . 2AB· AC 12 4 1 3 → → → → ∴AB· AC=|AB|· |AC|· cos A=3×2× = . 4 2 3 → → → → ∴BA· AC=-AB· AC=- . 2 6.如图所示,

BC= 3h,AC=h, ∴AB= 3h2+h2=2h. a2+c2-b2 3ac 3 π 7.∵a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 6 3 8. ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴5=15+c2-2 15×c× . 2 2 化简得:c -3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0,∴c=2 5或 c= 5. B+C 1-cos?B+C? 1+cos A 59 +cos 2A= +cos 2A= +2cos2 A-1= . 2 2 2 50 4 3 1 1 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= .由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 5 5 2 2 5 4 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 a2=4+25-2×2×5× =13, ∴a= 13. 5 A+B 7 C 7 10.解 (1)∵A+B+C=180° ,由 4sin2 -cos 2C= ,得 4cos2 -cos 2C= , 2 2 2 2 1+cos C 7 1 ∴4· -(2cos2C-1)= ,整理,得 4cos2C-4cos C+1=0,解得 cos C= , 2 2 2 ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 1 1 3 3 3 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 解三角形练习题(2) 1.C 2.C [cos Acos B>sin Asin B?cos(A+B)>0,∴A+B<90° ,∴C>90° ,C 为钝角.] 2 2 2 a + c - b 3 3 . D [∵(a2 + c2 - b2)tan B = 3 ac , ∴ · tan B = ,即 cos B· tan B = sin B = 2ac 2 3 π 2π .∵0<B<π,∴角 B 的值为 或 .] 2 3 3 2 2 4.D 5.A [①由 a >b +c2 知 A 为钝角,①正确;②由 a2=b2+c2+bc 知 A=120° ,②错; 9.解 (1)sin2
5

π ③由 a2+b2>c2,仅能判断 C 为锐角,A、B 未知,③错;④由 A∶B∶C=1∶2∶3,知 A= , 6 π π 1 3 B= ,C= ,∴sin A∶sin B∶sin C= ∶ ∶1=1∶ 3∶2,④错.所以仅①正确.] 3 2 2 2 3 6.6 cm2 解析 由 5x2-7x-6=0,解得 x1=- ,x2=2.∵x2=2>1,不合题意.∴设夹 5 3 4 1 4 角为 θ,则 cos θ=- 得 sin θ= ,∴S= ×3×5× =6 (cm2). 5 5 2 5 2 39 a 13 2 39 7. ∴a= b2+c2-2bccos A= 12+42-2×1×4cos 60° = 13.∴ = = . 3 sin A sin 60° 3 8.20 2 km

解析 如图所示, BC AC AC 20 2 = ∴BC= ×sin 45° = × =20 2 (km). sin 45° sin 30° sin 30° 1 2 2 3 4 9.解 (1)∵cos B= >0,且 0<B<π,∴sin B= 1-cos2B= . 5 5 4 2× 5 2 a b asin B 由正弦定理得 = ,sin A= = = . sin A sin B b 4 5 1 1 4 (2)∵S△ABC= acsin B=4,∴ ×2×c× =4,∴c=5. 2 2 5 3 2 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B=2 +52-2×2×5× =17,∴b= 17. 5 1 2 6 10.解 设 E 为 BC 的中点.连接 DE,则 DE∥AB,且 DE= AB= ,设 BE=x. 2 3 在△BDE 中利用余弦定理可得:BD2=BE2+ED2-2BE· EDcos∠BED, 8 2 6 6 7 5=x2+ +2× × x,解得 x=1,x=- (舍去).故 BC=2, 3 3 6 3 2 21 3 28 2 21 30 2 2 2 2 从而 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B= ,即 AC= .又 sin B= ,故 = , 3 3 6 sin A 30 6 sin A= 1.C 3.C 70 . 14 解三角形练习题(3)

b ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3 2.A a

0 ? A ? ? ,sin A ? 0

cos A ? sin( ? A) ? sin B, ? A, B 都是锐角,则 ? A ? B, A ? B ? , C ? 2 2 2 2 2 1 0 0 4.D 作出图形 5.D b ? 2a sin B,sin B ? 2sin A sin B,sin A ? , A ? 30 或 150 2
6.B 设中间角为 ? ,则 cos ? ?

?

?

?

?

?

52 ? 82 ? 72 1 ? ,? ? 600 ,1800 ? 600 ? 1200 为所求 2? 5?8 2

6

7. 9.

1 1 1 sin A sin B ? sin A cos A ? sin 2 A ? 2 2 2
6? 2

8. 120 cos A ?

0

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? , A ? 1200 2bc 2
10.

A ? 150 ,

a b b sin A 6 ?2 ? ,a ? ? 4sin A ? 4sin150 ? 4 ? sin A sin B sin B 4

1200

? 1 3k a ∶ b ∶ c ? sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 , 令 a ? 7 k , b? 8 k , c
cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? , C ? 1200 2ab 2

11. 4 AC BC AB AC ? BC AB ? ? , ? , sin B sin A sin C sin B ? sin A sin C
AC ? BC ? 2( 6 ? 2)(sin A ? sin B) ? 4( 6 ? 2) sin A ? B cos A ? B 2 2

? 4 cos

A? B ? 4, ( AC ? BC ) max ? 4 2

12. △ABC 是直角三角形。 13.证明:将 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cos A ? 代入右边 2ac 2bc

a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 2a 2 ? 2b 2 a 2 ? b 2 a b ? )? ? ? ? ? 左边, 得右边 ? c( 2abc 2abc 2ab ab b a


a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

14.解:∵ a ? c ? 2b, ∴ sin A ? sin C ? 2sin B ,即 2sin

A ?C A ? C B cos 4sin ? cos 2 2 2

B , 2

∴ sin

B ? B 1 A?C 3 B 13 ? cos ? ,而 0 ? ? , ∴ cos ? , 2 2 2 2 2 4 2 4

∴ sin B ? 2sin 1.C 2.A 3.D

B B 3 13 cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4

39 8

解三角形练习题(4)

4.D

lg

sin A sin A ? lg 2, ? 2,sin A ? 2 cos B sin C cos B sin C cos B sin C

sin( B ? C ) ? 2cos B sin C,sin B cos C ? cos B sin C ? 0, sin( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形
5.B

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, (b ? c)2 ? a 2 ? 3bc,
b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , A ? 600 2bc 2
7

6.C

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 9, c ? 3 , B 为最大角, cos B ? ?

1 7

7.D

A? B A? B 2cos sin A ? B a ? b sin A ? sin B 2 2 , tan ? ? ? 2 a ? b sin A ? sin B 2sin A ? B cos A ? B 2 2 A? B tan A? B 2 , tan A ? B ? 0 ,或 tan A ? B ? 1 所以 A ? B 或 A ? B ? ? tan ? A ? B 2 2 2 2 tan 2
1 1 3 S?ABC ? bc sin A ? c ? ? 3, c ? 4, a 2 ? 13, a ? 13 2 2 2

8.

2 39 3

a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2

9.

?

A? B ?

?
2

,A?

?
2

?B

sin( ? B) ? 2 tan A ? tan( ? B) ? ? 2 cos( ? B) 2

?

?

cos B 1 ? sin B tan B



1 , tan A tan B ? 1 tan B sin B si C n tan B? ta C n? ? 10. 2 cos B co Cs sin B cos C ? cos B ? sin C sin( B ? C ) 2sin A ? ? ? 1 cos B cos C sin A sin A 2 tan A ?
11.锐角三角形 12. 60
0

8? 4 3 ?3 b ?c ?a 3 ?1 1 4 cos A ? ? ? ? 2bc 6? 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2 2 2? 2
2 2 2

2?

13. ( 5, 13)

?a 2 ? b 2 ? c ? 2 2 ?a ? c ? b ?c 2 ? b 2 ? a ?

?13 ? c 2 2? 2 2 , ?4 ? c ? 9,5 ? c ? 13, 5 ? c ? 13 ? 2 2 ?c ? 9 ? 4
2

14.解: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3, bc ? 4, a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, b ? c ? 5 ,而 c ? b 2

所以 b ? 1, c ? 4 15.证明:∵ a cos

C A 3b 1 ? cos C 1 ? cos A 3sin B ? c cos 2 ? ? sin C ? ? ∴ sin A ? 2 2 2 2 2 2 即 sin A ? sin A cos C ? sin C ? sin C cos A ? 3sin B
2

∴ sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B 即 sin A ? sin C ? 2sin B ,∴ a ? c ? 2b

8


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