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2016版高考数学二轮:3.1《三角函数的图象与性质》ppt课件


专题三

三角函数、解三角形与平面向量

第 1讲 三角函数的图象与性质

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高考真题体验
1.(2015· 山东)要得到函数 y=sin 4x 的图象( π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位 )

π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位

1 2 3 4
? π? ? y=sin?4x-3? ?的图象,只需将函数 ? ?

1 2 3 4

解析

? ? ? ? π? π? ? ? ? ? ?? ∵y=sin?4x-3?=sin?4?x-12??, ? ? ? ? ??
? π? ? y=sin?4x-3? 只需将函数 ?的图象, ? ?

∴要得到

y=sin 4x 的图象

π 向右平移12个单位.

答案 B

1 2 3 4

2.(2015· 课标全国 Ⅰ) 函数 f(x) = cos(ωx + φ) 的部分图象如图 所示,则f(x)的单调递减区间为( ? 1 3? ? A.?kπ-4,kπ+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? B.?2kπ-4,2kπ+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? ? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? ? 2 k - , 2 k + D.? ,k∈Z 4 4? ? ? )

1 2 3 4

解析

由图象知,周期

?5 1? ? - T=2? ?4 4?=2, ? ?

2π ∴ ω =2,∴ω=π. 1 π π 由 π×4+φ=2+2kπ,k∈Z,不妨取 φ=4,
? π? ? ∴f(x)=cos?πx+4? ?. ? ?

1 2 3 4

π 1 3 由 2kπ<πx+4<2kπ+π,k∈Z,得 2k-4<x<2k+4,k∈Z,
? 1 3? ? ∴f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4? ?,k∈Z.故选 ? ?

D.

答案 D

1 2 3 4

3.(2015· 安徽)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的 2π 常数)的最小正周期为 π, 当 x= 3 时, 函数 f(x)取得最小值, 则下列结论正确的是( )

A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

1 2 3 4

解析 由于f(x)的最小正周期为π, ∴ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ),

2π 4π π 又当 x= 3 时,2x+φ= 3 +φ=2kπ-2(k∈Z), 11π ∴φ=2kπ- 6 (k∈Z), π 又 φ>0,∴φmin=6, π 故 f(x)=Asin(2x+6).

1 2 3 4

1 π 于是 f(0)=2A,f(2)=Asin(4+6),
? ?13π ? π? ? ? ? f(-2)=Asin?-4+6?=Asin? 6 -4? ?, ? ? ? ?

π 5π π 7π π 又∵-2< 6 -4<6<4- 6 <2,
其中
? ? ? ? ?5π ? π? π? ? ? ? ? ?? ? f(2)=Asin?4+6?=Asin?π-?4+6??=Asin? 6 -4? ?, ? ? ? ? ?? ? ?

1 2 3 4
?13π ? ? ?13π ?? ? 7π? ? ? ? ? ?? ? f(-2)=Asin? 6 -4?=Asin?π-? 6 -4??=Asin?4- 6 ? ?. ? ? ? ? ?? ? ?



? π π? ? - , f(x)在? ? 2 2?单调递增, ? ?

∴f(2)<f(-2)<f(0),故选A.
答案 A

1 2 3 4

4.(2015· 湖北)函数 f(x)=4cos 的零点个数为________.

2x

?π ? ? ? - x cos ?-2sin 2 ? ?2 ?

x-|ln(x+1)|

解析

f(x)=4cos 2sin x-2sin x-|ln(x+1)| ? ? ? ? 2x 2cos - 1 =2sin x· ? ?-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|, 2 ? ?

2x

令f(x)=0,得sin 2x=|ln(x+1)|.

1 2 3 4

在同一坐标系中作出两个函数y=sin 2x与函数y=|ln(x+1)|
的大致图象如图所示.

观察图象可知,两函数图象有2个交点, 故函数f(x)有2个零点. 答案 2

考情考向分析

1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对 称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、

角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考
的必考点.

热点分类突破 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
(1)三角函数: 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y), y 则 sin α=y,cos α=x,tan α=x.各象限角的三角函数值的符号:一 全正,二正弦,三正切,四余弦. sin α (2)同角关系:sin α+cos α=1,cos α=tan α. kπ (3)诱导公式:在 2 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看
2 2

象限”.

例1

(1)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向 )

2π 运动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( 1 3 A.(-2, 2 ) 1 3 C.(-2,- 2 ) 3 1 B.(- 2 ,-2) 3 1 D.(- 2 ,2)

解析 设Q点的坐标为(x,y),
2π 1 2π 3 则 x=cos 3 =-2,y=sin 3 = 2 .
1 3 ∴Q 点的坐标为(-2, 2 ).

答案 A

(2)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合, π 3 cos?2+α?sin?-π-α? -4 终边上一点 P(-4,3),则 的值为______. 11π 9π cos? 2 -α?sin? 2 +α? -sin α· sin α 解析 原式= =tan α. -sin α· cos α 3 y 根据三角函数的定义,得 tan α=x=-4, 3 ∴原式=-4.

思维升华

(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题 (如钟表、摩天
轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解 .应用定 义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上 点的位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符 号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的 原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

跟踪演练 1 (1)已知点

? P? ?sin ?

3π 3π? ? , cos 落在角 θ 的终边上, 4 4? ? ) 7π D. 4

且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π A.4
解析

3π B. 4

5π C. 4

3 π cos 4π -cos 4 tan θ= 3 = π =-1, sin 4π sin 4

3π 3π 又 sin 4 >0,cos 4 <0,
7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),所以 θ= 4 .

答案 D

(2)如图,以 Ox 为始边作角 α(0<α<π),终边 与单位圆相交于点 P,已知点 P 的坐标为
? 3 4? sin ? ? ?-5,5?,则 ? ?

解析

2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+cos α cos α ? 3? ? ?2 18 2 =2cos α=2×?-5? =25. ? ?

18 2α+cos 2α+1 25 =________. 1+tan α 3 4 由三角函数定义,得 cos α=-5,sin α=5,

热点二 三角函数的图象及应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象

(1)“五点法”作图:
π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0,2,π, 2 ,2π,求出 x 的值与相应 的 y 的值,描点、连线可得.

(2)图象变换:
向左?φ>0?或向右?φ<0? y=sin x—————————— 平移|φ|个单位 →y=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)
纵坐标变为原来的A?A>0?倍 ———————————— → y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变

例2

(1)已知函数 y=3sin ωx(ω>0)的周期是 π,将函数 y=

π π 3cos(ωx-2)(ω>0)的图象沿 x 轴向右平移8个单位, 得到函数 y=f(x)的图象,则函数 f(x)等于(
π A.3sin(2x-8) π C.-3sin(2x+8)

)

π B.3sin(2x-4) π D.-3sin(2x+4)

2π 解析 由题意可知 T= ω =π,所以 ω=2, π 所以 y=3cos(ωx-2)(ω>0)的解析式为
π y=3cos(2x-2)=3sin 2x, π 再把图象沿 x 轴向右平移8个单位后得到 π π y=3sin 2(x-8)=3sin(2x-4). 答案 B

(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数, A>0, ω>0,0<φ<π) π 的图象如图所示,则 f(3)的值为________.

解析

3T 11π π 根据图象可知,A=2, 4 = 12 -6,

所以周期T=π,
2π π 由 ω= T =2. 又函数过点(6,2), π 所以有 sin(2×6+φ)=1,而 0<φ<π, π π 所以 φ=6,则 f(x)=2sin(2x+6), π 2π π 因此 f(3)=2sin( 3 +6)=1. 答案 1

思维升华

(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,

常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求 A ;
由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求

解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降
找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变 换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

跟踪演练 2

π (1)若将函数 y=tan(ωx+4)(ω>0)的图象向右平

π π 移6个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+6)的图象重合,则 ω 的最小正值为( D )

1 A.6

1 B.4

1 C.3

1 D.2

(2)(2015· 陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=
?π ? ? 3sin?6x+φ? ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的 ? ?

最大值为( C )

A.5

B.6C.8 D.10

解析 由题干图易得ymin=k-3=2,则k=5.
∴ymax=k+3=8.

热点三 三角函数的性质 (1)三角函数的单调区间:
π π y=sin x 的单调递增区间是[2kπ-2,2kπ+2](k∈Z),单调递 π 3π 减区间是[2kπ+2,2kπ+ 2 ](k∈Z); y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递

减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); π π y=tan x 的递增区间是(kπ-2,kπ+2)(k∈Z).

(2)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数; π 当 φ=kπ+2(k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx+φ=kπ π +2(k∈Z)求得. π y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+2(k∈Z)时为奇函数; 当 φ = kπ(k∈Z) 时 为 偶 函 数 ; 对 称 轴 方 程 可 由 ωx + φ =
kπ(k∈Z)求得.

y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.

例 3

已 知 函 数 f(x) = sin(ωx + φ) +

3 cos(ωx +

π φ)(ω>0,0<|φ|<2)为奇函数,且函数 y=f(x)的图象的两相邻对 π 称轴之间的距离为2. π (1)求 f(6)的值;
解 f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)
1 3 π =2[2sin(ωx+φ)+ 2 cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ+3).

π 因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=2sin(φ+3)=0, π π 又 0<|φ|<2,可得 φ=-3,所以 f(x)=2sin ωx,
2π π 由题意得 ω =2· 2,所以 ω=2.

故f(x)=2sin 2x.
π π 因此 f(6)=2sin 3= 3.

π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移6个单位后,得到函数 y= g(x)的图象,求函数 g(x)的单调递增区间. π π 解 将 f(x)的图象向右平移6个单位后, 得到 f(x-6)的图象, π π π 所以 g(x)=f(x-6)=2sin[2(x-6)]=2sin(2x-3). π π π 当 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z), π 5π 即 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z)时,g(x)单调递增, π 5π 因此 g(x)的单调递增区间为[kπ-12,kπ+12](k∈Z).

思维升华

函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式 把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数 性质求 y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、 对称性等问题.

跟踪演练3 设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

解 f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a
π = 2sin(2x+4)+1+a,
2π 则 f(x)的最小正周期 T= 2 =π,
π π π 且当 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2(k∈Z),

3 π 即 kπ-8π≤x≤kπ+8(k∈Z)时,f(x)单调递增.
3π π 所以[kπ- 8 ,kπ+8](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间.

π (2)当 x∈[0,6]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y =f(x)(x∈R)的对称轴方程. π π π 7π 解 当 x∈[0,6]时?4≤2x+4≤12, π π π π 当 2x+4=2,即 x=8时 sin(2x+4)=1. 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2.
π π kπ π 由 2x+4=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +8(k∈Z), kπ π 故 y=f(x)的对称轴方程为 x= 2 +8,k∈Z.

高考押题精练

1 2 3

π 1.已知函数 f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在(2,π)上单调递减, 则 ω 的取值范围是(
1 5 A.[2,4] 1 C.(0,2]

)
1 3 B.[2,4] D.(0,2]

1 2 3

押题依据

结合三角变换考查三角函数的性质是高考常见

π 的题型.本题中函数在(2,π)上单调递减和函数的单调减区 π 间是(2,π)是不同的概念,要加以辨析.
π 解析 f(x)=sin ωx+cos ωx= 2sin(ωx+4), π π 3π 令 2kπ+2≤ωx+4≤2kπ+ 2 (k∈Z),

1 2 3

2kπ π 2kπ 5π 解得 ω +4ω≤x≤ ω +4ω(k∈Z). π 由题意,函数 f(x)在(2,π)上单调递减, π 故(2,π)为函数单调递减区间的一个子区间,
? ?2kπ+ π ≤π, ? ω 4ω 2 故有? ?2kπ 5π + ≥ π , ? ? ω 4ω

1 2 3

1 5 解得 4k+2≤ω≤2k+4(k∈Z).
1 5 3 由 4k+2<2k+4,解得 k<8.

由ω>0,可知k≥0,因为k∈Z,
1 5 所以 k=0,故 ω 的取值范围为[2,4]. 答案 A

1 2 3

π 2.如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|≤2)与 π 坐标轴的三个交点 P、Q、R 满足 P(2,0),∠PQR=4,M 为 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为( )

8 A.3 3 C.8

16 B. 3 3 D.16

1 2 3

押题依据

由三角函数的图象求解析式是高考的热点,

本题结合平面几何知识求A,考查了数形结合思想. 解析 由题意设Q(a,0),R(0,-a)(a>0).
a a 则 M(2,-2),由两点间距离公式得,
PM= a2 a2 ?2-2? +?2? =2 5,解得 a=8,

1 2 3

π T 由此得,2=8-2=6,即 T=12,故 ω=6, π 由 P(2,0)得 φ=-3,代入 f(x)=Asin(ωx+φ)得,
π π f(x)=Asin(6x-3),
π 16 从而 f(0)=Asin(-3)=-8,得 A= 3 3.

答案 B

1 2 3

π 3 2 3 2 3.设函数 f(x)=sin(2x+3)+ 3 sin x- 3 cos x. (1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度,得到函数 g(x) π π 的图象,求 g(x)在区间[-6,3]上的值域.

押题依据

三角函数图象性质的综合考查体现了数形结合

的思想,是高考考查的重点.

1 2 3

1 3 3 解 (1)f(x)=2sin 2x+ 2 cos 2x- 3 cos 2x
1 3 3 π =2sin 2x+ 6 cos 2x= 3 sin(2x+6).
2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π.
π π kπ π 令 2x+6=kπ+2(k∈Z),得对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z).

1 2 3

π (2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度, 3 π π 3 得到函数 g(x)= 3 sin[2(x-3)+6]=- 3 cos 2x 的图象, 3 即 g(x)=- 3 cos 2x. π π π 2π 当 x∈[-6,3]时,2x∈[-3, 3 ], 1 可得 cos 2x∈[-2,1],

1 2 3

3 3 3 所以- 3 cos 2x∈[- 3 , 6 ],
π π 3 3 即函数 g(x)在区间[-6,3]上的值域是[- 3 , 6 ].


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