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2014高考数学综合训练


2014 高考数学综合训练:等差数列、等比数列

1. 一个由正数组成的等比数列, 它的前 4 项和是前 2 项和的 5 倍, 则此数列的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4 2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S4=12,则 S12 的值为( ) A.64 B.44 C.36 D.22 3.在正项等比数列{an}中,已知 a3·a5=64,则 a1+a7 的最小值为( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S11=S10,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 5.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=2,a6=a1a2a3,则公比 q 的值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 6.公差不为零的等差数列{an}的第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4

)

)

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a13=S13=13,则 a1=( ) A.-14 B.13 C.-12 D.-11 8.已知数列{an}是公差为 2 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列,则数列{an}的前 5 项 和 S5=( ) A.20 B.30 C.25 D.40 9.已知等比数列{an}中,各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 4a3,a5,2a4 成等差数列, 若 a1=1,则 S4=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 10.已知等差数列 {an} 的首项 a1= 1,前三项之和 S3 =9,则数列 {an} 的通项公式 an= ________. 11.已知等差数列{an}的公差为-2,a3 是 a1 与 a4 的等比中项,则数列{an}的前 n 项和 Sn =________. 12.已知{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=-2,则 a5+a6+a7=________. 13.在数列{an}和等比数列{bn}中,a1=0,a3=2,bn=2an+1(n∈N*). (1)求数列{bn}及{an}的通项公式; (2)若 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

14.数列{an}中,a1=3,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,…),且 a1,a2,a3 成公比 不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

15. 等比数列{cn}满足 cn+1+cn=10· 4n 1(n∈N*), 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 an=log2cn. (1)求 an,Sn; 1 (2)数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,是否存在正整数 m(m>1),使得 4Sn-1 T1,Tm,T6m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.


1.B

[ 解析 ] 设此 数列的 公 比为 q , 根据 题意得 q>0 且 q≠1 ,由

a1(1-q4) = 1-q

5a1(1-q2) ,解得 q=2. 1-q 12 2.C [解析] 由 S8-S4=12 得 a5+a8=a6+a7=a1+a12=6,则 S12= ×(a1+a12)=36. 2 3.C [解析] 由 a3·a5=64 可得 a1·a7=64,则 a1+a7≥2 a1a7=16. 4.B [解析] 由 S11=S10 得,a11=0,即 a1+(11-1)×(-2)=0,得 a1=20. 5.C [解析] a1q5=(a1q)3,q2=a2 1,因为各项均为正数,所以 q=a1=2. 6. C [解析] 由(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)得 d=-2a1, 因此可罗列该数列的前 6 项为 a1, -a1,-3a1,-5a1,-7a1,-9a1,则公比为 3. 13(a1+a13) 7.D [解析] 在等差数列中,S13= =13,得 a1+a13=2,即 a1=2-a13=2 2 -13=-11,选 D. 8.C [解析] 由数列{an}是公差为 2 的等差数列,得 an=a1+(n-1)· 2,又因为 a1,a2, 2 a5 成等比数列,所以 a1 · a5 = a 2 ,即 a · (a + 8) = (a + 2) ,解得 a = 1 ,所以 S5 = 5a1 + 2 1 1 1 1 5×(5-1) ·d=5×1+20=25. 2 9.C [解析] 由 4a3+2a4=2a5 得 q2(q2-q-2)=0,由题意知 q=2,则 S4=1+2+4+8 =15. 3(a1+a3) 10.2n-1 [解析] 由 =S3,得 a3=5,故 d=2,an=1+(n-1)×2=2n-1. 2 n(n-1) 11.-n2+9n [解析] 由 a2 ×(-2)= 3=a1·a4 可得 a1=-4d=8,故 Sn=8n+ 2 2 -n +9n. 12.24 [解析] 由 a2+a3=1,a3+a4=-2 得 q=-2,由 a2+a2q=1,得 a2=-1,因此 a5+a6+a7=8-16+32=24. 13.解:(1)方法一,依题意 b1=2,b3=23=8, 设数列{bn}的公比为 q,由 bn=2an+1>0,可知 q>0. 由 b3=b1·q2=2· q2=8,得 q2=4,又 q>0,则 q=2, - - 故 bn=b1qn 1=2· 2n 1=2n, n 又由 2an+1=2 ,得 an=n-1. (2)依题意 cn=(n-1)· 2n. - 1 2 3 Sn=0· 2 +1· 2 +2· 2 +…+(n-2)· 2n 1+(n-1)· 2n ,① + 2 3 4 n 则 2Sn=0· 2 +1· 2 +2· 2 +…+(n-2)· 2 +(n-1)· 2n 1,② ①-②得 + 22-2n 1 + + -Sn=22+23+…+2n-(n-1)· 2n 1= -(n-1)· 2n 1, 1-2 + + 即-Sn=-4+(2-n)· 2n 1,故 Sn=4+(n-2)· 2n 1. bn+1 方法二,(1)依题意{bn}为等比数列,则 =q(常数), bn 由 bn=2an+1>0,可知 q>0. 2an+1+1 由 =2an+1-an=q, 2an+1 得 an+1-an=log2q(常数),故{an}为等差数列. 设{an}的公差为 d,由 a1=0,a3=a1+2d=0+2d=2,得 d=1, 故 an=n-1. (2)同方法一. 14.解:(1)a1=3,a2=3+c,a3=3+3c, ∵a1,a2,a3 成等比数列,∴(3+c)2=3(3+3c), 解得 c=0 或 c=3.

当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故 c=3. (2)当 n≥2 时,由 a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c, n(n-1) 则 an-a1=[1+2+…+(n-1)]c= c. 2 3 3 又∵a1=3,c=3,∴an=3+ n(n-1)= (n2-n+2)(n=2,3,…). 2 2 3 当 n=1 时,上式也成立,∴an= (n2-n+2). 2 15.解:(1)因为 c1+c2=10,c2+c3=40,所以公比 q=4, - - 由 c1+4c1=10,得 c1=2,cn=2· 4n 1=22n 1, - 所以 an=log222n 1=2n-1. Sn=a1+a2+…+an=log2c1+log2c2+…+log2cn=log2(c1· c2· …· cn)=log2(21· 23· …· 22n -1 + +…+ - 2n 1) )=log22(1 3 =n2. 1 1 1 1 (2)由(1)知 bn= 2 = ?2n-1-2n+1?, 2 ? 4n -1 ? 1 1 1 1 1 1 n 于是 Tn= [(1- )+( - )+…+( - )]= . 2 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1 假设存在正整数 m(m>1),使得 T1,Tm,T6m 成等比数列,则 2 ? m ? =1× 6m ,整理得 4m2-7m-2=0, ?2m+1? 3 12m+1 1 解得 m=- 或 m=2. 4 * 由 m∈N ,m>1,得 m=2. 因此存在正整数 m=2,使得 T1,Tm,T6m 成等比数列.


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