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2.4.1 等比数列的概念与通项公式


2.4.1

等比数列的概念及通项公式

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1. 等比数列的概念 2 项起,每一项与它的前一项的比等于 如果一个数列从第__ 同一常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫 _________ 公比 ,通常用字母q表示(q≠0). 做等比数列的_____ :常数列一

定是等比数列吗? 提示:不一定.当常数列为非零常数列时,此数列为等比 数列,否则不是.

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等比中项 2.

如果在 a 与 b 中间插入一个数 G, 使 a,G,b 成等比数列,
等比中项 ,这三个数满足关系式 那么 G 叫做 a 与 b 的_________

G=± ab.
等比数列的通项公式 3. 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则数列{an} a1qn-1. 的通项公式为an=______

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:推导等比数列的通项公式有哪些方法? 提示:等比数列的通项公式的推导有下列三种方法: 归纳法:由等比数列的定义可以得到a2=a1q,a3=a2q= a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,…,归纳得an=a1qn-1. an-1 an-2 an 累积法: 由等比数列的定义知 =q, =q, =q, …, an-1 an-2 an-3

a2 an =q,将以上 n-1 个等式左右两边分别相乘得 =qn-1 即 a1 a1 an=a1qn-1. 迭代法:因为{an}是等比数列, 所以an=an-1q=(an-2q)q=an-2q2=(an-3q)q2=an-3q3=…= a1qn-1,所以an=a1qn-1.

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【例1】 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求an; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
20 (3)a3=2,a2+a4= ,求 an. 3

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解 (1)

a4=a1q3, 因为 a7=a1q6, a1q3=2 所以 a1q6=8 ② 由 得 q3=4, ① 3 从而 q= 4,而 a1q3=2, 2 1 于是 a1= 3= , q 2 所以 an =a1qn 1=2


① ②

2n-5 3

.
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a2+a5=a1q+a1q4=18 (2) 因为 a3+a6=a1q2+a1q5=9

③ ④

④ 1 由 得 q= ,从而 a1=32,又 an=1 2 ③ 1 - 所以 32× 2 n 1=1, 即 26 n=20, 所以 n =6.


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(3)设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0. a3 2 a2= q =q,a4=a3q=2q, 2 20 ∴q+2q= . 3 1 解得 q1= ,q2=3. 3 1 当 q= 时,a1=18, 3 ?1?n-1 ∴an=18×?3? =2×33-n. ? ? 2 当 q=3 时,a1= , 9 2 - - ∴an= ×3n 1=2×3n 3. 9 1 综上,当 q= 时,an=2×33-n; 3 当 q=3 时,an=2×3n-3.
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【例 2】 (1)等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等 a1+a3+a9 比数列,则 等于多少? a2+a4+a10

(2)等比数列{an}的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5, a7的等比中项.

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(1)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,

2 ∴ a2 = a a ,∴ ( a + 2 d ) =a1(a1+8d),得 a1=d, 3 1 9 1

a1+a3+a9 13d 13 ∴ = = . a2+a4+a10 16d 16

(2)设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,因为 a2-a5= 42,所以
2 ? a + a q + a q ? 1 1 1 =168, q≠1,由已知,得? 4 ? a q - a q ? 1 1 =42,

2 ? a ? 1 + q + q ?=168, ? 1 所以? 3 ? a q ? 1 - q ?=42. ? 1

① ②

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因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), 1 所以由②除以①,得 q(1-q)= . 4 1 所以 q= . 2 42 所以 a1= =96. 1 ?1?4 -?2? 2 ? ? 若 G 是 a5,a7 的等比中项, 则应有 G =a5a7=a1q · a1q
2 4 6

1 10 2 10 2 ? =a1q =96 × ? =9.
?2?

? ?

所以 a5,a7 的等比中项是± 3.
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9 1 【变式 1】 (1)若等比数列{an}的首项 a1= ,末项 an= ,公比 8 3 2 q= ,求项数 n. 3 (2)在等比数列{an}中,已知 a5-a1=15,a4-a2=6,求 an.

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(1)由 an=a1· q

n-1

1 9?2?n-1 ,得 = ?3? , 3 8? ?

?2?n-1 ?2?3 即?3? =?3? ,得 ? ? ? ?

n=4. ① ②

4 ? ?a5-a1=a1q -a1=15 (2)因为? 3 ? ?a4-a2=a1q -a1q=6

① 1 由 得 q= 或 q=2. 2 ② 1 当 q= 时,a1=-16. 2 当 q=2 时,a1=1.
?1?n-1 ? ? ∴an=-16· 或 ?2?

an=2n-1.
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3 243 【变式 2】 (1)已知 a,- ,b,- ,c 这五个数成等比 2 32 数列,求 a,b,c 的值.

(2)已知b是a与c的等比中项. 求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. ? 3? ? 243? ?3?6 27 2 解 (1)由题意知 b =?-2?×?- 32 ?=?2? ,∴b=± . 8 ? ? ? ? ? ? ? 3?2 27 2 ? ? 当 b= 时,ab= -2 ,解得 a= ; 8 3 ? ? ? 243?2 ? 3?10 ?3?7 bc=?- 32 ? =?-2? ,解得 c=?2? . ? ? ? ? ? ? ?3?7 27 2 同理,当 b=- 时,a=- ,c=-?2? . 8 3 ? ? 2 27 ?3?7 2 27 ? ? 综上所述,a,b,c 的值分别为 , , 2 或- ,- , 3 8 ? ? 3 8 ?3?7 -?2? . ? ?
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(2)证明

∵b是a和c的等比中项, ∴b2=ac,且a,b,c均不为零, ∴(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2 =a3c+2a2c2+ac3. 又∵(a2+b2)· (b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2 =a3c+a2c2+a2c2+ac3 =a3c+2a2c2+ac3. ∴(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2). 又∵a2+b2≠0,b2+c2≠0, ∴ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.

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【例3】 数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n= 2,3,…). (1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列; (2)求an.



(1)a2=3a1-2×2+3=-4, a3=3a2-2×3+3=-15. 下面证明{an-n}是等比数列:

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证明

an +1- n +1 3an-2 n +1 +3- n +1 = an -n an -n 3an -3n = an -n =3(n =1,2,3,…).

又 a1- 1=-2, ∴{an-n }是以-2 为首项,以 3 为公比的等比数列. (2)由(1)知 an- n =- 2· 3n 1, ∴an =n -2· 3n 1.
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- -

判断一个数列是否是等比数列的常用方法 是: (1)定义法 an+1 an =q(q 为常数且不为零)?{an}为等比数列. (2)等比中项法
* a2 = a a ( n ∈ N 且 an≠0)?{an}为等比数列. + + n 1 n n 2

(3)通项公式法 an=a1qn 1(a1≠0 且 q≠0)?{an}为等比数列.


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【例4】 已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中, b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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解 (1)证明

∵an+ S n =n ,①

∴an +1+S n +1=n +1.② ②-①得 an +1- an+an +1=1, ∴2an +1=an +1,∴2(an+1-1)= an-1, an +1-1 1 ∴ = ,∴ {an -1}是等比数列. an -1 2 ∵首项 c1=a1- 1,又 a1+a1=1. 1 1 1 ∴a1= ,∴c1=- ,公比 q= . 2 2 2 又 cn =an- 1, 1 1 ∴{cn}是以- 为首项,公比为 的等比数列. 2 2 课前探究学习

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(2)解

1 1 1 - 由(1)可知 cn = 2 · 2 n -1=- 2 n ,

1 ∴an =cn+ 1=1- 2 n .(9 分) 1 1 - ∴当 n ≥2 时,bn =an -an-1=1- 2 n - 1- 2 n 1 1 1 1 = 2 n -1- 2 n= 2 n. 1 1 又 b1= a1= 代入上式也符合,∴bn = 2 n . 2
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【题后反思】 (1)已知数列的前 n 项和,或前 n 项和与通项 的关系求通项,常用 an 与 Sn 的关系求解. (2)由递推关系 an+1=Aan+B(A, B 为常数, 且 A≠0, A≠1) B 求 an 时, 由待定系数法设 an+1+λ=A(an+λ)可得 λ= , A-1 这样就构造了等比数列{an+λ}.

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已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,求证{an}是等比数列,并 【变式3】
求出通项公式. 证明:∵Sn=2an+1,

∴Sn+1=2an+1+1.
∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an. ∴an+1=2an,

又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0.
又由an+1=2an知an≠0,

an+1 ∴ =2,∴{an}是等比数列. an
∴an=-1×2n-1=-2n-1.

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5 1 【变式 4】 已知数列{an}中,a1=1,an+1= -a ,bn= 2 n 1 ,求数列{bn}的通项公式. an-2 an-2 5 1 1 2an 4 解 an+1-2= -a -2= , = = 2 2an an+1-2 an-2 an-2 n ? 2? 2 +2,即 bn+1=4bn+2,bn+1+ =4?bn+3?.又 a1=1,故 b1 3 ? ? 1 = =-1, a1-2 ? 2? 1 ? ? 所以 bn+3 是首项为- ,公比为 4 的等比数列, 3 ? ? n- 1 4 2 1 2 n -1 所以 bn+ =- ×4 ,bn=- - . 3 3 3 3
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方法技巧

数形结合思想在等比数列中的应用

通过观察图形特征,帮助学生发现图形所表示数的规 律和特点.一方面,培养学生发现图形特征和规律的能力; 另一方面,在单纯发现数列的规律比较困难的情况下,可以 借助图形帮助解决;反之,在观察图形特征比较困难的情况 下,也可以考虑从观察数列特点入手进行解决. 【示例】 图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以中 间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如 此继续下去,得图(3)……试求第n个图形的边长和周长.

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[思路分析] 关键是找到周长与n的关系,即找到由周长所 构成的数列的通项公式. 解 设第n个图形的边长为an.
由题意知, 从第 2 个图形起, 每一个图形的边长均为上一个 1 1 图形边长的 ,所以数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数 3 3 列,故
?1?n-1 an=? ? . ?3?

要计算第n个图形的周长,只需计算第n个图形的边数.第 1个图形的边数为3,因为从第2个图形起,每一个图形的 边数均为上一个图形边数的4倍,所以第n个图形的边数为 ?1?n-1 ?4?n-1 n-1 ? ? ×(3×4 )=3×? ? . ?3? ?3?
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方法点评 解决此类问题,需要抓住变中的不变量,即数 据在改变,但其变化规律不改变.事实上,给出的图形只 是问题的载体,我们只需从“形”中抽象出“数”,即可 将问题归结为等比数列.

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