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高中物理竞赛历年复赛电磁学试题


2012复赛(21分).如图所示,虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络;虚线大方 框是并联的两个相同的无限网络,此无限网络的结构是:从左到中间,每个电容器的 右极板与两个电容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个电容器的右极板 与一个电容器的左极板相连,直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是 完全相同的平行板真空电容器,其极板面积为s,极板间距为d(d ? s

)。整个电容网 络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接,电池电动势恒定、大小为ε。忽略电容器的

边缘效应,静电力常量k已知。
1、若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地

向右拉动,使其两极板的距离变为2d,求在拉动极板
过程中电池所做的功和外力所做的功。 2、在电容器两极板的距离变为2d后,再将一块与电 容器a的极板形状相同、面积也为s、带电荷量为 Q(Q>0)的金属薄板沿平行于的极板方向全部插入到 电容器a中,使金属薄板距电容器a左极板的距离为x。 求此时电容器a的左极板所带的电荷量。

解: 1. 每个电容器的电容:C ?

S 4? kd
2C n

虚线小框电容网络的等效电容: Ct1 ?
虚线大框中无限网络的等效电容:
1 1 1 ? 1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?? Ct 2 ? 2C 4C 8C ?

1 2 ?1 1 1 1 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? ?? ? ? C?2 4 8 2 ? C 1? 1 C 2

C2t ?

Ct1Ct 2 2C C ? ? 两个电容网络的等效电容: t C ? C n?4 t1 t2

C 2

等效电容器带电量(即与电池正极连接的电容器极板上电量之和):

S? qt ? C t ? ? (n ? 4)2? kd

当电容器a两极板的距离变为2d后,小框内电容网络的等效电容满足:
1 n ?1 1 ? ? ?t C1 2C C ? C 2

1 n ?1 2 ? ? ? Ct1 2C 3C

? ? Ct1

6C 3n ? 1

新网络的等效电容为:Ct? ?

? Ct 2 Ct1 6C ? ? ? Ct 2 3n ? 13 Ct1

新网络带电荷量为:

qt? ? Ct?? ?

3S ? (3n ? 13)2? kd

S? < qt ? Ct ? ? (n ? 4)2? kd

电容器a两极板的距离由d变为2d后,电容网络所带电量的减少量为:
?? ?qt ? qt ? qtt S? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

电容器a两极板的距离由d变为2d过程中,对电池充电的能量为:
S? 2 A ? ?qt ? ? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

电容网络储存的电场能的减少量为:
1 S? 2 2 2 ?U ? ? Ct ? ? Ct?? ? ? 2 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd
2 S ? ?U ? A A ? ?qt ? ? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

S? 2 外力所做的功为: A? ? A ? ?U ? 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd

2.设金属薄板插入到电容器a后,a的左极板所带电荷量为 q ? ,金属薄板左侧带电 荷量为 ?q?,右侧带电荷量为 (q? ? Q) ,a的右极板带电荷量为 ?(q? ? Q) ,与a并 联的电容器左右两极板带电荷量分别为 q??和 ?q?? .由于电容器a和与其并联的电容 器两极板电压相同,所以有
q?? ?q??
q?? ? C q? ( q ? ? Q) ? S S 4? kx 4? k (2d ? x)
S 4? kd

q?? ? 2q? ? Q

2d ? x d

q?

?(q? ? Q)

C?

? q ? ( q ? ? Q)

两个电容器左极板所带的总电量:
q??

q? ? q?? ? 3q? ? Q

2d ? x d

q?

整个电容器网络所带的总电量:

q? ? q??

q? ? q?? ? 3q? ? Q

2d ? x d

整个电容网络两端的电压等于 电池的电动势,即
q? ? q?? q? ? q?? q?? ? (n ? 1) ? ?? ct 2 2C C
C2t ? C 2

q? ?

S? (n ? 5)(2d ? x ) ? Q (3n ? 13)2? kd (3n ? 13) d

C?

S 4? kd

2012复赛(25分). 如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固

定在水平的桌面上。大圆环半径为R1,小圆环表面绝缘半径为R2 ? R2 R1 ? , 两圆环导线每单位长度电阻均为r0,它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B, 方向竖直向下,一每单位长度电阻为r1的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从 距圆环中心左侧为R1/100(>R2)的ab位臵,以速度v匀速向右沿水平面滑动到相对 于大圆环中心与ab对称的位臵cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。 假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在 上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为R,长度为l的一段圆弧导线通有电流I时, Il B ? k 圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为 ,方 m R2 向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋 法则;无限长直导线通有电流I时,电流在距直导线距离为 r处产生的磁感应强度B的大小为 B ? k m 2 I ,其中km为已知 r 常量。

解:金属杆中产生感应电动势的大小(方向:b→a)

a a

? ? BL v
? R ? L ? 2 R12 ? ? 1 ? ? 2 R1 ? 100 ?
2

l1

v I R1
l2 I2

? ? 2 BR1v

I1

L

I

设杆左的圆弧及杆右边的圆弧的长度分别为l1和l2,各支路电 流如图,以Uab表示a、b两端的电压,则

bb

U ab ? I1l1r0
U ab ? I 2l2 r0
杆左的圆弧及杆右边的圆弧中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为
B1 ? km
B2 ? km

U ab I1l1 ? k m R12 R12 r0
U ab I 2 l2 ? k m R12 R12 r0

B2 ? B1 ? 0
——无论杆运动到何处,大圆环上的电流 在圆心处产生的磁感应强度为0

B1竖直纸面向外, B2垂直纸面向里

在金属杆由ab滑动到cd的过程中,金属杆都处在圆心附近,故金属杆可近似 视为无限长直导线,由提示,金属杆在ab位臵时,杆中电流产生的磁感应强 a 度大小为(垂直纸面向里) a
v
B3 ? km
I? Rab ?

2I R1 100
?
R左 R右 R左 ? R右

R左
800km v B R1 (4r1 ? ? r0 )

L

I

I

R1

R右

B3 ?

bb

Rab ? 2R1r 1

R左 =R右 ? ? R1r0

金属杆在ab位臵时,小环中的磁通量为: ?ab ? ? R2 B3
2

B3 ?

金属杆在CD位臵时,小环中的磁通量为: ?cd ? ?? R2 B3
2

800km v BR2 r0 R1 (4r1 ? ? r0 )

q?

?? R

R ? 2? R2 r0

? 2011复赛(20分). 空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐 ?

标系O-xyz,如图所示,匀强电场沿x方向,电场强度

E ? E0i

磁感应强度

B ? B0 k

,匀强磁场沿z方向,

,E0、B0分别为已知常量,分别为x方向和z方向的单位矢量。

1、有一束带电量都为+q、质量都为m的粒子,同时从Oyz平面内的某点射出, 它们的初速度均在Oyz平面内,速度的大小和方向各不相同,问经过多少时间这

些粒子又能同时回到Oyz平面内。
2、现在该区域内再增加一个沿z方向随时间变化的匀强电场, 式中
qB0 ,若有一电荷量为正q、质量为m的粒子,在t=0时刻从坐标原点O射 ?? m 出,初速度 在Oyz平面内,试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。

? E z ? ? E 0 cos ?t ? k



? v0 (不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,也不考虑变化的电场产
y

生的磁场)

O

z

x

解:1.根据题意,粒子的初速度只有y方向和z方向的分

y

量,设它们为v0y和v0z.因为粒子在z方向不受电场力和磁场
力作用,故粒子在z方向以v0z初速度作匀速运动. 可把粒子在y方向的初速度表示为
O B

v0y

v0 z

v0z

v0y ? v0y ? v0y1 ? v0y1
E0 其中: v0y1 ? ? B0 ——沿y轴负方向 (1)考察初速度为v0y1的运动
与-v0y1相关的磁场力为: 粒子受到的电场力:

E
x V0y-V0y1

v0y

f Bx ? qv0 y1B0 ——沿x轴负方向
V0y1

f E ? f Ex ? qE0 ——沿x轴正方向

f E ? f Bx ? 0
粒子以大小为
E0 的速度沿y负方向运动 B0

(2)考察初速度为 v0y 2 ? v0y ? v0y1 的运动
v0y 2 ? v0y ? v0y 2 = v0y ? E0 B0
——沿y轴正方向
O

y

v0y

v0 z

v0z B

E

与 v0y 2 相关的磁场力使粒子以速率 v0y 2 在Oxy面内 作匀速圆周运动,圆周运动的半径及周期为
r? m v 0y 2 qB0 ? m ? v0y ? E0 B0 ? qB0

x V0y-V0y1 v0y

2?m T= ——与粒子在y方向的初速度无关 qB0
即:所有粒子经过时间T或T的整数倍就能同时回到Oyz平面.

V0y1

? 对粒子在Oxy平面内的运动无影响. 2.增加的电场 E z ? ? E0 cos ?t ? k

粒子已经在z轴方向有速度大小为v0z的匀速运动,增加交变电 场 E z 后,粒子在z方向还要受到电场力作用,有
y v0y O v0 z

maz ? qE0 cos ?t
qE az = 0 cos ?t ——简谐运动 m
简谐运动:
B E x

v0z

az ? ?

k z = ??2 z m

1 qE0 z?? 2 cos ?t ? m

V0y-V0y1 v0y

粒子在z方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加,即有

1 qE0 z ? v0z t ? 2 cos ?t ? m

V0y1

速度大小为

粒子在Oxy平面内的运动:

E0 B0

的沿y负方向的匀速运动
E0 的匀速圆周运动 B0
o
?0 t

速度大小为 v0y 2 ? v0y ? 匀速圆周运动周期: 假设没有y负方向的匀速运动,有:

?0 ?

2 π qB0 ? T m

y r

y? ? rsin?0t

v0 y 2

x? ? r ?1 ? cos ?0t ?
r? m ? v0y ? E0 B0 ? qB0
x?
考虑y负方向 的匀速运动

x

x?

E0 ? ? qB0 ? m ? v ? t? ? 0y ? ?1 ? cos qB0 ? B0 ? ? m ?

E0 ? ? qB0 ? m ? v ? 1 ? cos t? ? 0y ?? qB0 ? B0 ? ? m ?
E0 E0 ? qB0 m ? t? t ? v0y ? ? sin B0 qB0 ? B0 ? m

y??

y?

E0 ? qB0 m ? v ? t ? 0y ? sin qB0 ? B0 ? m

z ? v0z t ?

mE0 qB0 cos t 2 qB0 m

2011复赛(20分). 半导体pn结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结 时,pn结两端会产生电势差,这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时,光照使pn

结内部产生由负极指向正极的电流即光电流,照射光的强度恒定时,光电流是恒定的,
已知该光电流为IL;同时,pn结又是一个二极管,当有电流流过负载时,负载两端的电 压V使二极管正向导通,其电流为 ID ? I0 (e ? 1), 式中VT和I0在一定条件下均为已知常数。 1、在照射光的强度不变时,通过负载的电流I与负载两端的电压V的关系是I= 。
V VT

太阳能电池的短路电流IS=_______________,开路电压VOC=___________________, 负载获得的功率P=______________。 2、已知一硅pn结太阳能电池的IL=95mA,I0=4.1×10-9 mA, VT=0.026V。则此太阳能电池的开路电压VOC= V, 若太阳能电池输出功率最大时,负载两端的电压可近似表示



VmP ? VT ln

最大功率Pmax=

1 ? (I L / I0 ) ,则VmP= 1 ? (VOC / VT )

V。太阳能电池输出的
Ω。

mW。若负载为欧姆电阻,则输出

最大功率时,负载电阻R=

解:1.

(1) 有光照射,就有光电流IL,而且光强不变,光电流IL恒定。负载端电压 为 V时 , 有
ID

IL

ID ? I0 (e

V VT

? 1)

I

V

V ? V ? T I ? I L ? I D ? I L ? I 0 ? e ? 1? ? ? ? ?

ID ? 0

(2) 当负载短路时, I D ? 0 ,即

IS ? IL

IL

V=0

(3) 开路时,相当于负载电阻为无穷大,I=0,即
? I L ? I0 ? e ? ?
VOC VT

? ? 1? ? 0 ? ?

ID

IL

? I ? VOC ? VT ln ?1 ? L ? ? I0 ?
V ? V ? T (4) 有负载时,负载端电压为V时,负载中的电流为 I ? I L ? I 0 ? e ? 1? , ? ? ? ?

即负载功率为
ID

? ? P ? VI ? VI L ? VI 0 ? e ? 1? ? ? ? ?
V VT

IL

I

V

2.

IL=95mA,I0=4.1×10-9 mA,VT=0.026V
? I ? 95 ? ? VOC ? VT ln ?1 ? L ? ? 0.026ln ?1 ? ? 0.62V ?9 ? ? 4.1?10 ? ? I0 ?

(1)

(2)

VmP

95 ?9 1 ? (I L / I0 ) 4.1 ? 10 ? VT ln ? 0.026 ln ? 0.54V 0.62 1 ? (VOC / VT ) 1? 0.026 1?

(3)

Vmp ? ? VT Pm ? Vmp I ? Vmp ? I L ? I D ? ? Vmp ? I L ? I0 (e ? 1) ? ? ? ? ?

0.54 ? ? ?9 0.026 ? 0.54 ? ? 95 ? 4.1?10 (e ? 1) ? ?10?3 ? 49mW ? ?

(4)

Pm ?

2 Vmp

R

0.542 R? ? ? 6? ?3 Pm 49 ?10

2 Vmp

2011复赛(15分). 半导体pn结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结时, pn结两端会产生电势差,这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时,光照使pn结内部 产生由负极指向正极的电流即光电流,照射光的强度恒定时,光电流是恒定的,已知该光 电流为IL;同时,pn结又是一个二极管,当有电流流过负载时,负载两端的电压V使二极管 正向导通,其电流为 ID ? I0 (e ? 1), 式中Vr和I0在一定条件下均为已知常数。 1、在照射光的强度不变时,通过负载的电流I与负载两端的电压V的关系是I= 太阳能电池的短路电流IS= 的功率P=
V ? V ? VI L ? VI 0 ? e T ? 1? ? ? ? ?

V Vr

V ? V ? I L ? I 0 ? e T ? 1? ? ?。 ? ?

IL


,开路电压VOC=

? I ? VT ln ?1 ? L ? ? I0 ?

,负载获得
ID

2、已知一硅pn结太阳能电池的IL=95mA,I0=4.1×10-9 mA, Vr=0.026V。则此太阳能电池的开路电压VOC= 0.62 V, 若太阳能电池输出功率最大时,负载两端的电压可近似表示

IL



VmP ? VT ln

最大功率Pmax=

1 ? (I L / I0 ) ,则VmP= 1 ? (VOC / VT )

0.54

V。太阳能电池输出的
IL

49

mW。若负载为欧姆电阻,则输出 6.0 Ω。

最大功率时,负载电阻R=

2010复赛(12分). 如图所示,一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 )的粒子作角速 度为ω、半径为 R 的匀速圆周运动。一长直细导线位于圆周所在的平面内,离 圆心的距离为d ( d > R ) ,在导线上通有随时间变化的电流i,t= 0 时刻,粒子 速度的方向与导线平行,离导线的距离为d+R。若粒子做圆周运动的向心力等 于电流 i 的磁场对粒子的作用力,试求出电流 i 随时间的变化规律.不考虑变 化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线电流产生的磁感应强度表示 式中的比例系数 k 已知.

?
O

R

q

d

解:设电流 i 产生的磁场磁感应强度为B,则

?
O R q

mv 2 qvB ? R

v ? ?R
t 时刻,粒子的坐标为

B?

m? q
d

x(t ) ? R cos ?t y(t ) ? R sin ?t
取电流i 正方向与y轴正向一致,t时刻电流为i(t) , 则其产生的磁场磁感应强度为
i(t ) B?k d ? x(t )
m? B? q

y i
?t

q O x

i (t ) ? k

m? ? d ? R cos ?t ? q

d

x(t ) ? R cos ?t

2010复赛(20分). 如图所示,两个固定的均匀带电球面,所带电荷量分别为 +Q和-Q (Q >0) ,半径分别为R和R/2,小球面与大球面内切于C点,两球面 球心O和O′的连线MN沿竖直方向。在MN与两球面的交点B、0和C 处各开 有足够小的孔,因小孔损失的电荷量忽略不计,有一质量为m,带电荷为q

(q>0)的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。设静电力常量为k,
重力加度为g. 1. 要使质点从 A 点上抛后能够到达B点,所需的 最小初动能为多少? 2. 要使质点从A点上抛后能够到达O点,在不同 条件下所需的最小初动能各为多少?

解:1. 根据能量守恒,有
kqQ kqQ kqQ kqQ ? ? mgR ? Ek min ? ? R R2 2 R 5R 2

Ek min ? mgR ?

7kqQ 30 R

2. A→B过程中:质点所受电场力合力向下,质点做减速运动 B→O过程中:Q对质点的电场力为零, -Q对质点的电场力向上,
该电场力可能大于重力,也可能小于重力,即质点 在B→O过程中,可能加速,也可能减速。 (1)质点在B→O过程中始终加速:mg小于质点在B点所受的电场力,即

mg ?

kqQ

? 3R 2 ?

2

mg ?

9kqQ 4R2 Ek min ? mgR ?

此时只要质点能到达B点,就能到达O点,即 即 mg ?

7kqQ 30 R

9kqQ 7kqQ E ? mgR ? 时: k min 4R2 30 R 9kqQ 说明:若 mg ? ,最小动能应比 Ek min 略大一点 2 4R

(2)质点在B→O过程中始终减速:mg大于质点在O点所受的电场力,即 即

mg ?

kqQ

?R? ? ? ?2?

2

mg ?

4kqQ R2

此时质点恰好能到达O点,应满足:

kqQ kqQ kqQ kqQ ? ? mg ? 2 R ? Ek min ? ? R R2 2 R 5R 2

Ek min ? 2mgR ?

11kqQ 10 R

11kqQ 4kqQ E ? 2 mgR ? 即 mg ? 时: k min 2 10 R R

(3)质点在B→O过程中存在受力平衡点D, B→D减速, D→O加速,即

9kqQ 4kqQ ? mg ? 4R2 R2

此时,只要质点能到达D点,就能到达O点。
设D到O距离为x,则有

mg ?

kqQ ?R ? ? ? x? ?2 ?
2

x?

kqQ R ? mg 2

质点恰好能到达D点,应满足:
kqQ kqQ kqQ kqQ ? ? mg ? ? 2 R ? x ? ? Ek min ? ? R 2 R 5R 2 ? R 2? ? x

5 9kqQ Ek min ? mgR ? ? 2 kmgqQ 2 10 R
说明:若

9kqQ 4kqQ ? mg ? ,最小动能应比 Ek min 略大一点 2 2 4R R

2010复赛(20 分). 由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系 列.n=1时,正方形网络边长为L, n= 2时,小正方形网络的边长为L/3;n=3 时,最小正方形网络的边长为L/9.当 n=1、2、3 时,各网络上A、B两点间 的电阻分别为多少?

解:

1. n=1情形:
Lr ? Lr R1 ? ? Lr 2

Lr A

Lr B

Lr

Lr

2. n=2 情形:

2Lr Lr 2Lr ? ? 3 3 ? 5 Lr R2 ? 3 2 6
A

Lr 3

B

3. n=3 情形:
5 R 2 ? Lr 6

1 R2 3

1 R2 3

1 5 ? 2 3 1? ? ? ? ?? 2 ? ? 7 9 36 3 ? 3 6 R3 ? ? Lr ? Lr 2 9
2Lr 9

Lr 9

3Lr 9

Lr 9

Lr 3

1 R2 3

Lr 3

Lr 9

2Lr 9

A
2Lr 9

3Lr 9 3Lr 9
Lr 3

3Lr 9 3Lr 9

B
2Lr 9

Lr 9

1 R2 3

Lr 3

Lr 9

2009复赛(每题5分)
1.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里,电场强度 的大小自左向右逐渐增大,如图所示。这种分布的静电场是否可能存在?试 述理由。 2.用测电笔接触市电相线,即使赤脚站在地上也不会触 电,原因是 。另一 方面,即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作,测电笔仍会 发亮,原因是 。 3. 在图示的复杂网络中,所有电源的电动势均为E0,所有电阻器的电阻值均 为R0,所有电容器的电容均为C0,则图示电容器A极板上的电荷量为 。

解:1.不存在
原因:静电场是保守场,电荷沿任意闭合路径一周电场力做的功等于0,但 在这种电场中,电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电场力做功不为0 (由

b→c电场力所做的功与由d→a电场力所做的功抵消,但由a→b电场力所做的
功大于由c→d电场力所做的功)

c d a

b

2.用测电笔接触市电相线,即使赤脚站在地上也不会触电,原因是: 测电笔内阻很大,通过与之串联的人体上的电流(或加在人体上的电压)在 安全范围内。

另一方面,即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作,测电笔仍会发亮,原因是:
市电为交流电,而电工鞋相当于一电容器,串联在电路中仍允许交流电通过。

测电笔工作原理:测电笔是用来判别物体是否带电的工具之一 。它的内部构 造是一只有两个电极的灯泡,泡内充有氖气,俗称氖泡,它的一极接到笔尖, 另一极串联一只高电阻后接到笔的另一端。当氖泡的两极间电压达到一定值 时,两极间便产生辉光,辉光强弱与两极间电压成正比。当带电体对地电压 大于氖泡起始的辉光电压,而将测电笔的笔尖端接触它时,另一端则通过人 体接地,所以测电笔会发光。测电笔中电阻的作用是用来限制流过人体的电 流,以免发生危险。

电流的估算:人站在地上,当笔尖接触火线A处时,火线便通过测电笔 (包括电阻R阻和氖管 R 氖管 )人体与大地接通,构成了电流的通路。该电 路可简化成 一般: R阻=5M?
R 人 =2000?
220V

R 阻 R 氖管 R 人

R 氖管 =2M?

I?

220 ? 30?A 6 6 5 ?10 +2 ?10 +2000

说明:人体的安全电流为10mA,安全电压为36V

3. 电容器A极板两端电压为2E0,于是带电量为
Q ? 2E0C0

- +

2008复赛(5分). 在国际单位制中,库仑定律写成 F ? k

q1q2 ,式中静电力常 2 r
q1q2 F ? ,式中距离 r2
1 3

量 k ? 8.98 ?109 N ? m2 ? C ?2 ,电荷量q1和q2的单位都是库仑,距离r的单位是米, 作用力F的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式

r的单位是米,作用力F的单位是牛顿。由此式可这义一种电荷量q的新单位。 当用米、千克、秒表示此新单位时,电荷新单位=

kg ? m 2 ;新单位 ? s ?1
2

与库仑的关系为1新单位=

?5 1.06 ?10 C。

设1新单位=zC,则

kz 2 ? 1

z?

1 ? 1.06 ?10?6 k

2008复赛(5分). 电子感应加速器(Betatron)的基本原理如下:一个圆环真空
室处于分布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱的轴线 过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界,与实

线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度B
随时间t的变化规律为 B ? B0 cos(2? t / T ) ,其中T为磁场变化的周期。B0为大于0

的常量。当B为正时,磁场的方向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为

v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图),则电子在该磁场变化的一
个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

解:

B ? B0 cos(2? t / T )

B0 ? 0
B为正:磁场垂直纸面向外

0?

T : 4

B ? 0 ,B垂直纸面向外且减小,洛伦兹力向内,
感生电场线逆时针,电子作减速圆周运动

F

T T ? : 4 2

B?0

,B垂直纸面向里且增大,洛伦兹力向外,

电子不能做圆周运动,而且电子感生电场线逆时针, 电子作减速运动

××× ×××

F
××× ×××

T 3T ? : 2 4

B ? 0,B垂直纸面向里且减小,感生电场线顺时
针,电子作加速运动,但洛伦兹力向外,电子不能 做圆周运动

F

3T ?T : 4

B ? 0 ,B垂直纸面向外且增大,洛伦兹力向内,
感生电场线顺时针,电子作加速圆周减速。

F

2008复赛(22分). 零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受 到实验测量精确度的限制。为克服这一困难,最著名的实验是长时间监测浸 泡在液态氦(温度T=4.2K)中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导 转换温度TC=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀,初始时通有I=100A
?I ? 1.0mA 的电流,电流检测仪器的精度为

,在持续一年的时间内电流检测

仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验,试估算对超导态铅的电阻率为
n ? 8.00 ?1020 m3 零的结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度



已知电子质量 m ? 9.11?10?31 kg

,基本电荷 e ? 1.60 ?10?19 C

。(采用的估算

方法必须利用本题所给出的有关数据)

解:如果电流有衰减,意味着线圈有电阻,设其电阻为R,则在一年时间内 电流通过线圈因发热而损失的能量为

?E ? I 2 Rt
l S

(1)

以ρ表示铅的电阻率,S表示铅丝的横截面积,l 表示铅丝的长度,则有
R??
(2)

电流是铅丝中导电电子定向运动形成的,设导电电子的平均速率为v,根 据电流的定义有

I ? S vne

(3)

所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化,并不等于电流一定没变化,
只不过这变化没超过电流检测仪器的精度ΔI,即电流变化的上限为 ?I ? 1.0mA . 由于导电电子的数密度n是不变的,电流的变小是电子平均速率变小的结果,

一年内平均速率由v变为 v- Δv ,对应的电流变化

?I ? neS ?v

(4)

导电电子平均速率的变小,使导电电子的平均动能减少,铅丝中所有导电 电子减少的平均动能为
1 2? ?1 2 ?Ek ? lSn ? mv ? m ? v ? ?v ? ? 2 ?2 ?

? lSnmv?v

(5)

由于ΔI<<I,所以Δv<<v,式中Δv的平方项已被略去。由(3)式解出 v,(4) 式解出 Δv,代入(5)式得
?Ek ? lmI ?I ne 2 S
(6)

铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量,即

?Ek ? ?E
由(1)、(2)、(6)、(7)式解得

(7)

??

mΔI ne 2 It

(8)

式中
7 t ? 365 ? 24 ? 3600s=3.15? 10 s

(9)

在(8)式中代入有关数据得

? ? 1.4 ?10?26 Ω ? m
所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到

(10)

? ? 1.4 ?10?26 Ω ? m

(11)

2008复赛(20分). 一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为v的匀速运动的低速 电子组成,电子在电子束中均匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含n个电子, 每个电子的电荷量为-e(e>0),质量为m。该电子束从远处沿垂直于平行板 电容器极板的方向射向电容器,其前端(即图中的右端)于t=0时刻刚好到达

电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔,使电子束可以无受阻
碍地穿过电容器。两极板A、B之间加上了如图所示的周期性变化的电压 ( VAB ? VA ?VB ,图中只画出了一个周期的图线),电压的最大值和最小值分 别为V0和-V0,周期为T。若以? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔, 则电压处于最小值的时间间隔为T- 。已知 的值恰好使在 ? ? 变化的第一个 VAB 周期内通过电容器到达电容器右边的所有的电子,能在某一时刻 tb形成均匀分 布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小,电子穿过电容器所需要的

时间可以忽略,且

,不计电子之间的相互作用及重力作用。 mv2 ? 6eV 0

1、满足题给条件的 ? 和tb的值分别为? =

T,tb=

T。

2、试在下图中画出t=2T那一时刻,在0-2T时间内通过电容器的电子在电容器右侧空 间形成的电流I,随离开右极板距离x的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、 横坐标(坐标的数字保留到小数点后第二位)。取x正向为电流正方向。图中x=0

处为电容器的右极板B的小孔所在的位臵,横坐标的单位 s ? eV0 。(本题按画出 m 的图评分,不须给出计算过程)

答案:1.

2 ? 2 ? 2 ? 0.59 2 ?1

,2

2.如图
4 3 2 1 0.83 O -1 -2 -3 -4 1.17 1 2.00 2 2.83 3 4.00 4 x/s I/nev


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