tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中物理竞赛历年复赛电磁学试题


2012复赛(21分).如图所示,虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络;虚线大方 框是并联的两个相同的无限网络,此无限网络的结构是:从左到中间,每个电容器的 右极板与两个电容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个电容器的右极板 与一个电容器的左极板相连,直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是 完全相同的平行板真空电容器,其极板面积为s,极板间距为d(d ? s

)。整个电容网 络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接,电池电动势恒定、大小为ε。忽略电容器的

边缘效应,静电力常量k已知。
1、若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地

向右拉动,使其两极板的距离变为2d,求在拉动极板
过程中电池所做的功和外力所做的功。 2、在电容器两极板的距离变为2d后,再将一块与电 容器a的极板形状相同、面积也为s、带电荷量为 Q(Q>0)的金属薄板沿平行于的极板方向全部插入到 电容器a中,使金属薄板距电容器a左极板的距离为x。 求此时电容器a的左极板所带的电荷量。

解: 1. 每个电容器的电容:C ?

S 4? kd
2C n

虚线小框电容网络的等效电容: Ct1 ?
虚线大框中无限网络的等效电容:
1 1 1 ? 1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?? Ct 2 ? 2C 4C 8C ?

1 2 ?1 1 1 1 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? ?? ? ? C?2 4 8 2 ? C 1? 1 C 2

C2t ?

Ct1Ct 2 2C C ? ? 两个电容网络的等效电容: t C ? C n?4 t1 t2

C 2

等效电容器带电量(即与电池正极连接的电容器极板上电量之和):

S? qt ? C t ? ? (n ? 4)2? kd

当电容器a两极板的距离变为2d后,小框内电容网络的等效电容满足:
1 n ?1 1 ? ? ?t C1 2C C ? C 2

1 n ?1 2 ? ? ? Ct1 2C 3C

? ? Ct1

6C 3n ? 1

新网络的等效电容为:Ct? ?

? Ct 2 Ct1 6C ? ? ? Ct 2 3n ? 13 Ct1

新网络带电荷量为:

qt? ? Ct?? ?

3S ? (3n ? 13)2? kd

S? < qt ? Ct ? ? (n ? 4)2? kd

电容器a两极板的距离由d变为2d后,电容网络所带电量的减少量为:
?? ?qt ? qt ? qtt S? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

电容器a两极板的距离由d变为2d过程中,对电池充电的能量为:
S? 2 A ? ?qt ? ? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

电容网络储存的电场能的减少量为:
1 S? 2 2 2 ?U ? ? Ct ? ? Ct?? ? ? 2 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd
2 S ? ?U ? A A ? ?qt ? ? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

S? 2 外力所做的功为: A? ? A ? ?U ? 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd

2.设金属薄板插入到电容器a后,a的左极板所带电荷量为 q ? ,金属薄板左侧带电 荷量为 ?q?,右侧带电荷量为 (q? ? Q) ,a的右极板带电荷量为 ?(q? ? Q) ,与a并 联的电容器左右两极板带电荷量分别为 q??和 ?q?? .由于电容器a和与其并联的电容 器两极板电压相同,所以有
q?? ?q??
q?? ? C q? ( q ? ? Q) ? S S 4? kx 4? k (2d ? x)
S 4? kd

q?? ? 2q? ? Q

2d ? x d

q?

?(q? ? Q)

C?

? q ? ( q ? ? Q)

两个电容器左极板所带的总电量:
q??

q? ? q?? ? 3q? ? Q

2d ? x d

q?

整个电容器网络所带的总电量:

q? ? q??

q? ? q?? ? 3q? ? Q

2d ? x d

整个电容网络两端的电压等于 电池的电动势,即
q? ? q?? q? ? q?? q?? ? (n ? 1) ? ?? ct 2 2C C
C2t ? C 2

q? ?

S? (n ? 5)(2d ? x ) ? Q (3n ? 13)2? kd (3n ? 13) d

C?

S 4? kd

2012复赛(25分). 如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固

定在水平的桌面上。大圆环半径为R1,小圆环表面绝缘半径为R2 ? R2 R1 ? , 两圆环导线每单位长度电阻均为r0,它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B, 方向竖直向下,一每单位长度电阻为r1的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从 距圆环中心左侧为R1/100(>R2)的ab位臵,以速度v匀速向右沿水平面滑动到相对 于大圆环中心与ab对称的位臵cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。 假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在 上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为R,长度为l的一段圆弧导线通有电流I时, Il B ? k 圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为 ,方 m R2 向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋 法则;无限长直导线通有电流I时,电流在距直导线距离为 r处产生的磁感应强度B的大小为 B ? k m 2 I ,其中km为已知 r 常量。

解:金属杆中产生感应电动势的大小(方向:b→a)

a a

? ? BL v
? R ? L ? 2 R12 ? ? 1 ? ? 2 R1 ? 100 ?
2

l1

v I R1
l2 I2

? ? 2 BR1v

I1

L

I

设杆左的圆弧及杆右边的圆弧的长度分别为l1和l2,各支路电 流如图,以Uab表示a、b两端的电压,则

bb

U ab ? I1l1r0
U ab ? I 2l2 r0
杆左的圆弧及杆右边的圆弧中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为
B1 ? km
B2 ? km

U ab I1l1 ? k m R12 R12 r0
U ab I 2 l2 ? k m R12 R12 r0

B2 ? B1 ? 0
——无论杆运动到何处,大圆环上的电流 在圆心处产生的磁感应强度为0

B1竖直纸面向外, B2垂直纸面向里

在金属杆由ab滑动到cd的过程中,金属杆都处在圆心附近,故金属杆可近似 视为无限长直导线,由提示,金属杆在ab位臵时,杆中电流产生的磁感应强 a 度大小为(垂直纸面向里) a
v
B3 ? km
I? Rab ?

2I R1 100
?
R左 R右 R左 ? R右

R左
800km v B R1 (4r1 ? ? r0 )

L

I

I

R1

R右

B3 ?

bb

Rab ? 2R1r 1

R左 =R右 ? ? R1r0

金属杆在ab位臵时,小环中的磁通量为: ?ab ? ? R2 B3
2

B3 ?

金属杆在CD位臵时,小环中的磁通量为: ?cd ? ?? R2 B3
2

800km v BR2 r0 R1 (4r1 ? ? r0 )

q?

?? R

R ? 2? R2 r0

? 2011复赛(20分). 空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐 ?

标系O-xyz,如图所示,匀强电场沿x方向,电场强度

E ? E0i

磁感应强度

B ? B0 k

,匀强磁场沿z方向,

,E0、B0分别为已知常量,分别为x方向和z方向的单位矢量。

1、有一束带电量都为+q、质量都为m的粒子,同时从Oyz平面内的某点射出, 它们的初速度均在Oyz平面内,速度的大小和方向各不相同,问经过多少时间这

些粒子又能同时回到Oyz平面内。
2、现在该区域内再增加一个沿z方向随时间变化的匀强电场, 式中
qB0 ,若有一电荷量为正q、质量为m的粒子,在t=0时刻从坐标原点O射 ?? m 出,初速度 在Oyz平面内,试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。

? E z ? ? E 0 cos ?t ? k



? v0 (不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,也不考虑变化的电场产
y

生的磁场)

O

z

x

解:1.根据题意,粒子的初速度只有y方向和z方向的分

y

量,设它们为v0y和v0z.因为粒子在z方向不受电场力和磁场
力作用,故粒子在z方向以v0z初速度作匀速运动. 可把粒子在y方向的初速度表示为
O B

v0y

v0 z

v0z

v0y ? v0y ? v0y1 ? v0y1
E0 其中: v0y1 ? ? B0 ——沿y轴负方向 (1)考察初速度为v0y1的运动
与-v0y1相关的磁场力为: 粒子受到的电场力:

E
x V0y-V0y1

v0y

f Bx ? qv0 y1B0 ——沿x轴负方向
V0y1

f E ? f Ex ? qE0 ——沿x轴正方向

f E ? f Bx ? 0
粒子以大小为
E0 的速度沿y负方向运动 B0

(2)考察初速度为 v0y 2 ? v0y ? v0y1 的运动
v0y 2 ? v0y ? v0y 2 = v0y ? E0 B0
——沿y轴正方向
O

y

v0y

v0 z

v0z B

E

与 v0y 2 相关的磁场力使粒子以速率 v0y 2 在Oxy面内 作匀速圆周运动,圆周运动的半径及周期为
r? m v 0y 2 qB0 ? m ? v0y ? E0 B0 ? qB0

x V0y-V0y1 v0y

2?m T= ——与粒子在y方向的初速度无关 qB0
即:所有粒子经过时间T或T的整数倍就能同时回到Oyz平面.

V0y1

? 对粒子在Oxy平面内的运动无影响. 2.增加的电场 E z ? ? E0 cos ?t ? k

粒子已经在z轴方向有速度大小为v0z的匀速运动,增加交变电 场 E z 后,粒子在z方向还要受到电场力作用,有
y v0y O v0 z

maz ? qE0 cos ?t
qE az = 0 cos ?t ——简谐运动 m
简谐运动:
B E x

v0z

az ? ?

k z = ??2 z m

1 qE0 z?? 2 cos ?t ? m

V0y-V0y1 v0y

粒子在z方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加,即有

1 qE0 z ? v0z t ? 2 cos ?t ? m

V0y1

速度大小为

粒子在Oxy平面内的运动:

E0 B0

的沿y负方向的匀速运动
E0 的匀速圆周运动 B0
o
?0 t

速度大小为 v0y 2 ? v0y ? 匀速圆周运动周期: 假设没有y负方向的匀速运动,有:

?0 ?

2 π qB0 ? T m

y r

y? ? rsin?0t

v0 y 2

x? ? r ?1 ? cos ?0t ?
r? m ? v0y ? E0 B0 ? qB0
x?
考虑y负方向 的匀速运动

x

x?

E0 ? ? qB0 ? m ? v ? t? ? 0y ? ?1 ? cos qB0 ? B0 ? ? m ?

E0 ? ? qB0 ? m ? v ? 1 ? cos t? ? 0y ?? qB0 ? B0 ? ? m ?
E0 E0 ? qB0 m ? t? t ? v0y ? ? sin B0 qB0 ? B0 ? m

y??

y?

E0 ? qB0 m ? v ? t ? 0y ? sin qB0 ? B0 ? m

z ? v0z t ?

mE0 qB0 cos t 2 qB0 m

2011复赛(20分). 半导体pn结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结 时,pn结两端会产生电势差,这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时,光照使pn

结内部产生由负极指向正极的电流即光电流,照射光的强度恒定时,光电流是恒定的,
已知该光电流为IL;同时,pn结又是一个二极管,当有电流流过负载时,负载两端的电 压V使二极管正向导通,其电流为 ID ? I0 (e ? 1), 式中VT和I0在一定条件下均为已知常数。 1、在照射光的强度不变时,通过负载的电流I与负载两端的电压V的关系是I= 。
V VT

太阳能电池的短路电流IS=_______________,开路电压VOC=___________________, 负载获得的功率P=______________。 2、已知一硅pn结太阳能电池的IL=95mA,I0=4.1×10-9 mA, VT=0.026V。则此太阳能电池的开路电压VOC= V, 若太阳能电池输出功率最大时,负载两端的电压可近似表示



VmP ? VT ln

最大功率Pmax=

1 ? (I L / I0 ) ,则VmP= 1 ? (VOC / VT )

V。太阳能电池输出的
Ω。

mW。若负载为欧姆电阻,则输出

最大功率时,负载电阻R=

解:1.

(1) 有光照射,就有光电流IL,而且光强不变,光电流IL恒定。负载端电压 为 V时 , 有
ID

IL

ID ? I0 (e

V VT

? 1)

I

V

V ? V ? T I ? I L ? I D ? I L ? I 0 ? e ? 1? ? ? ? ?

ID ? 0

(2) 当负载短路时, I D ? 0 ,即

IS ? IL

IL

V=0

(3) 开路时,相当于负载电阻为无穷大,I=0,即
? I L ? I0 ? e ? ?
VOC VT

? ? 1? ? 0 ? ?

ID

IL

? I ? VOC ? VT ln ?1 ? L ? ? I0 ?
V ? V ? T (4) 有负载时,负载端电压为V时,负载中的电流为 I ? I L ? I 0 ? e ? 1? , ? ? ? ?

即负载功率为
ID

? ? P ? VI ? VI L ? VI 0 ? e ? 1? ? ? ? ?
V VT

IL

I

V

2.

IL=95mA,I0=4.1×10-9 mA,VT=0.026V
? I ? 95 ? ? VOC ? VT ln ?1 ? L ? ? 0.026ln ?1 ? ? 0.62V ?9 ? ? 4.1?10 ? ? I0 ?

(1)

(2)

VmP

95 ?9 1 ? (I L / I0 ) 4.1 ? 10 ? VT ln ? 0.026 ln ? 0.54V 0.62 1 ? (VOC / VT ) 1? 0.026 1?

(3)

Vmp ? ? VT Pm ? Vmp I ? Vmp ? I L ? I D ? ? Vmp ? I L ? I0 (e ? 1) ? ? ? ? ?

0.54 ? ? ?9 0.026 ? 0.54 ? ? 95 ? 4.1?10 (e ? 1) ? ?10?3 ? 49mW ? ?

(4)

Pm ?

2 Vmp

R

0.542 R? ? ? 6? ?3 Pm 49 ?10

2 Vmp

2011复赛(15分). 半导体pn结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结时, pn结两端会产生电势差,这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时,光照使pn结内部 产生由负极指向正极的电流即光电流,照射光的强度恒定时,光电流是恒定的,已知该光 电流为IL;同时,pn结又是一个二极管,当有电流流过负载时,负载两端的电压V使二极管 正向导通,其电流为 ID ? I0 (e ? 1), 式中Vr和I0在一定条件下均为已知常数。 1、在照射光的强度