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高一数学 基本初等函数 复习


第三章 基本初等函数 章末复习

指数函数、对数函数和简单的幂函数是重要的基本初等函数,是高中数学函数部分的主体内容,是历届高考的重点.本 章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上,引入了分数指数幂的概念,然后将分数指数幂推广到实数指数幂, 进而研究指数、指数函数的概念及图象性质;对数运算、对数函数的概念及其图象和性质.另外,函数的实际应用是 新课标增添的

内容.但它的研究思想方法,一直是高中数学的重点及难点之一,也是高考中常见题型. 函数建模时往往涉及很多因素,如果把涉及到的所有因素都考虑到,是不可能的,也没有必要,而且还会使问题复杂 化而导致建模失败,要想把实际问题变为数学问题,需要对其进行必要的合理的简化和假设,梳理相应的数学问题即 提出问题,有了数学问题,就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集到的信息来描述变量之间的关系,本 章第 4 节即用函数模型来描述,即函数建模,最后还需将模型的结果与研究的实际问题作比较,以检验所建模型及计 算过程的合理性,如果检验结果不符合实际,应该修改、补充,通常一个模型可以经过多次反复修改才能得到满意的 结果.因此,函数建模的主要过程即为:

在学习本章时,要注意运用由特殊到一般,运用对比的方法,搞清几个意义相近概念的内涵,利用数形结合的思想方 法来说明比较抽象的概念及性质.在知识的发生、发展过程中提高运用知识解决问题的能力. 专题一 指数与指数幂运算,对数与对数运算 指数运算、对数运算是两个重要的知识点,不仅是本章的主要考点,也是高考的必考内容.对于指数运算,首先要注 意化简顺序,一般负指数先转化为正指数,根式化为分数指数;其次若出现分式,则要注意分子、分母的因式分解, 以达到约分的目的.对数运算要注意公式应用过程中范围的变化,保证前后的等价性.能熟练运用对数的运算法则及 换底公式等化简计算. 1、已知 2a=3b=k(k≠1),且 2a+b=ab,则实数 k 的值为( ) A.6 B.9 C.12 D.18

[解析] 由 2a=3b=k(k≠1), 知 k>0, 且 a=log2k,

b=log3k,将它们代入 2a+b=ab,得 2log2k+log3k 2 1 1 = log2k· log3k , 即 log 2 + log 3 = log 2· ,所以 log 3 k k k k 2logk3+logk2=1,logk9+logk2=1,logk18=1,因此 k=18. 1 32 4 求值:2lg49-3lg 8+lg 245 1 32 4 4 2 [解析 ] 解法一: 2lg49-3 lg 8+lg 245 =lg 7 - 4 2 1 lg4+lg7 5=lg( 7 ×4×7 5) 1 1 =lg 10=2lg10=2. 1 4 3 1 解法二:原式=2(5lg2-2lg7)-3×2lg2+2(2lg7 +lg5) 5 1 =2lg2-lg7-2lg2+lg7+2lg5 1 1 =2lg2+2lg5

1 =2(lg2+lg5) 1 1 =2lg10=2. 专题二 指数函数和对数函数的图象和性质

指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本 初等函数,它们的图象与性质始终是高考考查的重 点,应熟练掌握图象的画法及形状,记熟性质.由 于指数函数 y=ax,对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的 图象与性质都与 a 的取值有密切的联系,a 变化时, 函数的图象与性质也随之改变,因此,在 a 的值不 确定时,要对它们进行分类讨论. 1、已知 f(x)是函数 y=log2x 的反函数,则 y=f(1-x) 的图象是( )

[解析]

因为函数 y=log2x 的反函数是 y=2x,所以

f(x)=2x.故 f(1-x)=21-x,因为此函数在 R 上是减函 数,且过点(0,2).因此选 C. 2、已知 f(x)=|lgx|,且 0<a<b<c,若 f(b)<f(a)<f(c), 则下列一定成立的是( A.a<1,b<1 且 c>1 B.0<a<1,b>1 且 c>1 C.b>1,c>1 1 1 D.c>1 且c <a<1,a<b<a [解析] 画出 y=|lgx|的图象如图.f(x)在(0,1)上 是减函数,在(1,+∞)上为增函数. 观察图象可知,∵f(b)<f(a)<f(c), 1 1 ∴c>1 且c<a<1,a<b<a. )

1 a 已知 a>0 且 a≠1,f(logax)= 2 (x-x ). a -1 (1)求 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (3)对于 f(x),当 x∈(-1,1)时,有 f(1-m)+f(1 -m2)<0,求 m 的取值范围. [分析] 先用换元法求出 f(x)的表达式,再利用有关 函数的性质判断其奇偶性和单调性,然后利用以上 结论求解. [解析] (1)令 t=logax(t∈R),则 x=at, a - f(t)= 2 (at-a t), a -1 a ∴f(t)的解析式为 f(x)= 2 (ax-a-x)(x∈R). a -1 a (2)∵f(-x)= 2 (a-x-ax)=-f(x),且 x∈R, a -1 ∴f(x)为奇函数. a 当 a>1 时, 2 >0,u(x)=ax-a-x 为增函数, a -1

即 f(x)为增函数; 当 0<a<1 时,同理可判断 f(x)为增函数. 综上所述,无论 a>1 还是 0<a<1, f(x)在 R 上都 是增函数. (3)∵f(1-m)+f(1-m2)<0,f(x)是奇函数且在 R 上是增函数, ∴f(1-m)<f(m2-1). ?-1<1-m<1 ? 2 又∵x∈(-1,1),∴?-1<m -1<1 ?1-m<m2-1 ? 解得 1<m< 2. ∴m 的取值范围为(1, 2).
专题三 函数的实际应用 指数函数、对数函数和幂函数在实际问题中应用非常广泛,解决的关键是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 确定数学模型,再利用相应的函数模型答题,最后还原为实际问题.



一片森林原来的面积为 a,计算每年砍伐一些树,且 每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林面积的 一半时,所用时间是 10 年.为保护生态环境,森林

1 面积至少要保留原面积的4,已知到今年为止,森林 2 剩余面积为原来的 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已被砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? [解析] (1) 设 每 年 砍 伐 面 积 的 百 分 比 为
10

1 1 10 x(0<x<1),则 a(1-x) =2a,即(1-x) =2,
1 1 10 解得 x=1-(2) .

2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 , 2 则 a(1-x) = 2 a,
m

m 1 10 11 m 1 2 即(2) =(2) ,10=2,解得 m=5,

故到今年为止,该森林已被砍伐 5 年. (3)设从今年开始,以后最多能砍伐 n 年,

2 则 n 年后剩余面积为 2 a(1-x)n. 2 1 2 n n 令 2 a(1-x) ≥4a,即(1-x) ≥ 4 ,
n 1 10 13 n 3 2 (2) ≥(2) ,10≤2,解得 n≤15.

故今后最多还能砍伐 15 年.
专题四 数形结合思想 数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法,这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将 抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意 图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决.运用数形结合的思想方法解决问题时, 一般要遵循等价性、双向性和简单性原则 方程 log2(x+4)=3x 解的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=log2(x+4)及 y=3x 的图象,如图所示.由图象可知,它们的图象有两个交点,故 选 C.

[点评] “数形结合” 是根据数量与图形之间的关系, 认识研究对象的数学特征, 寻找解决问题方法的一种数学思想. 通 常包括“以数解形”和“以形助数”两方面. 通过“以数解形”或“以形助数” ,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,数形结合兼数的严谨与形的直观之长, 是优化解题过程的重要途径之一,是基本的数学方法

已知方程 2x+x=0 的实根为 a, log3x=2-x 的实根为 b, log1 x=x 的实根为 c, 则 a,
2

b,c 的大小关系是________.

[解析] 如图所示,在同一直角坐标系中,分别 作出 y=2x,y=-x;y=log3x,y=2-x;y=log1 x,
2

y=x 的图象,根据两两交点的横坐标可得 a<c<b.

专题五 分类讨论思想 分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决,化成部分从而增加题设条件,这是解分类讨论问题的指导思想.

已知偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞) 1 上是增函数,且 f(2)=0,求不等式 f(logax)>0(a>0, 且 a≠1)的解集. [分析] 本题是函数性质的综合应用, 利用奇偶 性和单调性分析,对 a 进行讨论,求出解集. [解析] ∵f(x)是偶函数, 且 f(x)在[0, +∞)上是 1 增函数,又 f(2)=0, 1 ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,f(-2)=0,

1 1 故若 f(logax)>0,则有 logax>2或 logax<-2. 1 1 (1)当 a>1 时,由 logax>2或 logax<-2,得 a x> a或 0<x< a ; 1 1 (2)当 0<a<1 时,由 logax>2或 logax<-2, a 得 0<x< a或 x> a . a 综上可知, 当 a>1 时, f(logax)>0 的解集为(0,a ) ∪( a,+∞); a 当 0<a<1 时,f(logax)>0 的解集为(0, a)∪( a , +∞).
已知 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较 f(x)和 g(x)的大小.

[解析] 2logx2=logx4.

∵ f(x) = 1 + logx3 = logx(3x) , g(x) =

3x ∴f(x)-g(x)=logx(3x)-logx4=logx 4 . (1)当 0<x<1 时,

3x 3x 4 ①若 logx 4 >0,则 0< 4 <1,即 0<x<3. 故当 0<x<1 时 f(x)>g(x); 3x 3x 4 ②若 logx 4 <0,则 4 >1,即 x>3,与 x<1 矛盾; (2)当 x>1 时, 3x 3x 4 ①若 logx 4 >0,则 4 >1,即 x>3, 4 故当 x>3时,f(x)>g(x); 3x 3x 4 ②若 logx 4 <0,则 0< 4 <1,即 0<x<3. 4 故当 1<x<3时,f(x)<g(x); 3x 3x 4 (3)当 logx 4 =0,即 4 =1,x=3时,f(x)=g(x). 4 综上所述,当 0<x<1,或 x>3时,f(x)>g(x); 4 当 x=3时,f(x)=g(x);

4 当 1<x<3时,f(x)<g(x).
专题六 等价转化思想 数学问题中,已知条件是结论成立的保证,但有的问题已知条件和结论之间距离比较大,难于解出.因此,如何将已 知条件经过转化,逐步向需求结论靠拢,这就是解题过程中经常要做的工作,变更条件就是利用与原条件等价的条件 去代替,使得原条件中的隐含因素显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之 间的内在联系,以便应用数学规律、方法将问题解决.

1 若不等式 x -logmx<0,在(0,2)内
2

恒成立,求实数 m 的取值范围. [分析] 不等式 x2-logmx<0,转化为 x2<logmx. 把不等式的两边分别看成两个基本函数, 即 f(x)=x2,g(x)=logmx,进而约束图象位置, 0<m<1 ? ? 1 . 需? 1 f? ?≤g?2? ? ? 2 [解析] 由 x2-logmx<0,得 x2<logmx. 在同一坐标系中作 y=x2 和 y=logmx 的图象, 如 1 图所示,要使 x <logmx 在(0,2)内恒成立,只要 y=
2

1 2 logmx 在(0, ) 内的图象在 y = x 的上方, 于是 0<m<1, 2

1 1 2 ∵x=2时,y=x =4. 1 ∴只要 x=2时,
1 1 1 y=logm2≥4=logmm4 . 1 1 1 4 ∴2≤m ,即 m≥16.

1 又 0<m<1,∴16≤m<1.
专题七 函数与方程的思想 在解决数学问题时,对于一些从形式上看是以非方程的问题出现的,但经过一定的数学变换或构造,使这一非方程的 问题转化为方程的形式,并运用方程的有关性质来处理这一问题,进而使原数学问题得到很好的解决.这一思想方法 我们称之为“方程思想” . 已知 1<x<d,令 a=(logdx)2,b=logdx2,c=logd(logdx),则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b [分析] 将 a、b 化简变形,再比较大小.

[解析] ∵1<x<d,∴0<logdx<1. ∴c=logd(logdx)<0.

a-b=(logdx)2-logdx2=(logdx)2-2logdx =logdx(logdx-2)<0, ∴c<a<b.∴选 D. [点评] (1)此题运用函数 y=logdx 及其复合函

数的单调性,值域比较 a、b、c 的大小;(2)此题也 可采用特殊值法,如取 d=4,x=2,判断 a、b、c 大小.
方程 ax+x2=2(a>0,a≠1)的解的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法判定 [分析] 作出函数 y=ax(a>0,a≠1)与 y=2-x2 的图象. [解析] ∵ax+x2=2,∴ax=2-x2. 令 y1=ax(a>0,a≠1),y2=2-x2, 分别作出两函数的图象如图.

当 a>1 时

当 0<a<1 时

故选 C. [点评] 一般无法直接解出指、对数与整式混合一起的方程的解.此时可考虑建立函数关系,应用函数与方程的思想解 题. 专题八 换元思想 换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题.本章中,常设 u=logax 或 u=ax,转化为一元二次方程、二次 函数等问题,特别要注意换元后 u 的取值范围.

1 2x 1x 求函数 f(x)=-(2) -4(2) +5 的值 域. [分析] 观察函数 f(x)的解析式可知,若设 u= 1x (2) , 则问题就转化为求二次函数 y=-u2-4u+5 的 值域, 这里要特别注意新元 u 的取值范围是(0, +∞). [解析] 为 R. 1x 设 u=(2) ,则 u∈(0,+∞), 且有 y=-u2-4u+5=-(u+2)2+9, ∵此函数的开口向下,对称轴为直线 u=-2, 在区间(0,+∞)上单调递减,且当 u=0 时,y =5, ∴y∈(-∞,5),即函数 f(x)的值域是(-∞,5).
解方程 logx-log5x2-3=0. [分析] 若设 log5x=u,则方程可化为一元二次方程 u2-2u-3=0,解此方程求出 u,即可求出相应的 x 的值.

1 2x 1x 函数 f(x)=-(2) -4(2) +5 的定义域

2 2 [解析] 方程 log2 x - log x - 3 = 0 可化为 log 5 5 5x

-2log5x-3=0. 设 u=log5x,则 u2-2u-3=0, 解得 u=-1 或 u=3. 当 u=-1 时,log5x=-1, 1 ∴x=5 ,即 x=5.
-1

当 u=3 时,log5x=3,∴x=53,即 x=125. 1 ∴原方程的解为 x=5或 x=125.


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