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抽象函数范例及解法


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抽象函数范例及解法
一、定义域问题 例 1. 已知函数 f (x) 的定义域是 [?1 2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。 ,
2

练习 1.函数 f ( x ) 的定义域为[0,3],则 f ( x 2 ? 1) 的定义域为( A. [0,9] B.[0,8] C.[-2,-1] ? [1,2] D.[1,2]

)

例 2. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 练习 2.若函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f (log2 x) 的定义域为(

? ?

3? 2?

)

A. ?

?1 ? ,2? ?2 ?

B. ? , 2 ? ?2 ?

?1

?

C. ?

?1 4 , ?2

? 2? ?

D. ? , 4 2 ? 2

?1 ?

? ?

二、求值问题
? 例 3. 已知定义域为 R 的函数 f(x),同时满足下列条件:① f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 ;② 5

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 f(3),f(9)的值。

练习 3.定义 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且f (9) ? 8, 则f ( 3) ? ( A. 2 B.2 C.4 D.6



三、值域问题 例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立, 且存在 x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f (x) 的值域。 练习 4 定义在 R 上的函数 f (x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),当 x<0 时,f(x)>0, 求函数 f (x)在[a, b]上的值域。

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四、解析式问题

例 5. 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x, 函数 f (x) 满足 的解析式。

f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1? x x , f x) 求(

练习 5 设y ? f (x)是实数函数 即x, f (x)为实数), 且f (x) ? 2f ( ) ? x, 求证 :| f (x) |? ( 五、单调性问题

1 x

2 2. 3

例 6. 设 f(x)定义于实数集上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x、y,有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f (x) 在 R 上为增函数。
练习 6(1).设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (2)已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- -

1 )=0,当 x> 2

1 时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数; 2
(3)定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1.

(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. 六、奇偶性问题

(2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;

例 7. 已 知 函 数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对 任 意 不 等 于 零 的 实 数 x1、x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断函数 f(x)的奇偶性。
练习 7(1)已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y ) ? 在正常数 a,使 f(a)=1.求证:f(x)是奇函数。
2 2 (2)设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, : 且在 (??,0) 上是增函数, f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1) 。 又

f ( x) f ( y ) ? 1 ,(2)存 f ( y ) ? f ( x)

求实数 a 的取值范围。 七、对称性问题 周期性与对称性问题(由恒等式简单判断:自变量前同号看周期,异号看对称) ...

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编号













1

f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? →T=2 a

f ?x ? a? ? f ?? x ? a? →对称轴 x ? a ? y ? f ? x ? a? 是偶函数;
(a,0) y ? f ? x ? a? 是奇函数 ? f ?x ? a? ? ? f ?? x ? a? →对称中心

2

f ?a ? x? ? f ?b ? x? →T= b ? a

f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? →对称轴 x ?

a?b ; 2

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 (

a?b ,0) ; 2

3

f(x)= -f(x+a)→T=2 a

f(x)= -f(-x+a)→对称中心 ?

?a ? ,0 ? ?2 ?

4

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →T=2 b ? a
f(x)=±

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 ?

?a?b ? ,0 ? ? 2 ? ?a b? , ? ? 2 2?

5 f(x)=16 结论:(1) (2)

1 →T=2 a f ?x ?

f(x)= b-f(-x+a)→对称中心 ?

1 ? f (x) ? 0? →T=3 a f ?x ? a ?

函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b| 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线 x=a,及点 M(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 x ?

b?a b?a ,0) 对称 对称;y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 ( 2 2

(可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对称轴:两个同 法则不同表达式的函数,对应法则下的两式相减等于 0,解得的 x 为对称轴) 例 8.:①已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = – f (x),则 f (6)的值为( )

A. –1

B. 0

C. 1

D. 2
对称。 (x=1/2)

②函数 f(x)对于任意的实数 x 都有 f(1+2x)=f(1-2x), f(2x)的图像关于 则

例 9. 奇函数 f (x)定义在 R 上,且对常数 T > 0,恒有 f (x + T ) = f (x),则在区间[0, 2T]上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为( A. 3 个 B.4 个 C.5 个 ) D.6 个

例 10.① f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x)在[5,9]上单 调。求 a 的值。

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练习 1、函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (x) 的图象关于 2、函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 3) ? ?

对称。

1 ,且 f (3) ? 1 ,则 f (2010 ? ) f ( x)
1 2 1 2



3、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 4、 已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数, 函数 y ? g ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, x1 ? x2 ? 0 若 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( A)2 B)0 ) C)1 D)-2

5.设 f(x)是 R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当 0≤x≤1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=3,则 f-1(x)+f-1(3-x)= .

7、 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0, 6)内解的个数的最小值是( A.4 B.5 ) C.6 D.7

8、设函数 f(x)的定义域为[1,3],且函数 f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当 x [2,3]时 f(x)= 2x,求当 x [1,2]时,f(x)的解析式.

9、(09 山东)已知定义在 R 上的奇函数

f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函

数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
八、综合问题 例 11.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 x,y∈R,有

f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

1 (1)解不等式f (3x ? x 2 ) ? 4, ; (2)解方程[f (x)] 2 ? f (x ? 3) ? f (2) ? 1. 2

例 12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n, 且当 x>0 时,0<f(x)<1。(1)判断 f(x)的单调性; (2)设 ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 ,

总有,

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