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省物理竞赛培训(电磁学部分)


第二篇
一、静电场的性质
1,静电场的描述

电磁学

(一)真空中的静电场
? ? F E ? q0

W U ? q0

? ? ?积分式 U ? v0 E ? dr ? a ?U 二者间的关系? ? ?a ?微分式 E ? ? gradU 匀强场 E= d ?

/>2,静电场的性质

? ? 高斯定律 : ?s E ? dS ? ? q i / ? 0 有源场,力线不闭合 ? ? 环流定律 : ? E ? dL ? 0 保守场
L
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注意要正确理解高斯定律!!!

二、场量的计算

?叠加法 1、计算场强的三种方法:?高斯定律法 ? ?电势梯度法 ?

(1) 以点电荷的场强公式
? 点电荷系:E ? ?
? 带电体: E ?

? E?

q 4?? 0 r 2

? r 为基础的叠加法,

qi 4?? ri 2

? ri 0

?

Q

dq ? 0 r 2 4?? r

(2)用高斯定律求E s * 1、基本步骤:先分析场分布的对称性;(中心,轴,面对 称性)作一合适的高斯面,求E。 ? ? 2 ? E ? dS ? ? qi ? 0
s

? ? ? E ? dS ? ? qi ? 0

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? ? ? ? 中心对称?点,球--r ? R ? ? ? r ? 轴对称?长直线,柱- ? R ? ? ? ? ? 一块板 E= ? ? 2? 面对称? ? ? ?两块等量异号电板内 E= ? ? ? ?
(3)用电势梯度求E

*2、几种典型场强公式

E?

q 4??r 2

? E? 2??r

? ?U ? ?U ? ?U ? E= ? ( i? j? k) ?x ?y ?z
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场强方向总是指向电势减少的方向

?叠加法 2、求电势的两种方法:? ?定义法
(1)以点电荷的电势的电势公式 U= 点电荷系

q 4??r

为基础叠加

U ??
i ?1

n

qi 4??ri

带电体

dq U ?? Q 4??r

(2)定义法:即用 U ? 要求式中

? E

?

?

a

? ? E ? dr 求U

函数式已知或可由高斯定律很快求出,

☆挖补法求E或电势U
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3、电通量的计算:正确运用高斯定律计算过某一截面的电通量。
4、场力的计算

? 1 q1 q 2 ? 0 (ⅰ)、库仑力 F ? r12 (只适用静止点电荷) 2 4?? r
(ⅱ)、点电荷在电场中 或带电体在匀强场中

? ? F ? qE

(ⅲ)、带电体在电场中

? ? F ? ? Edq
a

(ⅳ)、电偶极子在电场中

? ? F ? qE,

? ? ? ? ? ? Fi ? 0, M ? pe ? E, ( pe ? qL)
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三、静电场中的导体

? ? ?' ? E内 ? E 0 ? E ? 0 1、 导体静电平衡的条件: ? ? ? E 表 ?导体表面

2、导体静电平衡时的特点 ① 导体内部是等势体,表面是等势面 ② 电荷只分布在导体的外表面(注意导体空腔) ③ 孤立导体电荷面密度与曲率有关 ④ 导体表面附近的场强 E ? ? ? 0 3、电容器的电容 ?定义
c? q U A ?UB
? ? ? ?s c? ?平板电容器 d ? ? ?柱形电容器 c ? 2??l ? RB ? ? ln? ?R ? ? ? ? A? ? 4??R A RB ?球形电容器 c ? ? RB ? R A ?
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?计算电容器电容基本步骤
几个典型电容器的公式――

6 下一页

四、电介质及其极化?

? ? ? ? pe ? ql 在外场受到的力距 M ? pe ? E 1、电偶极子的电矩

2、电介质的电结构:有极分子与无极分子

?无极分子的位移极化 3、电介质的极化机制 ? ?有极分子的取向极化 4、极化的描述

? ?pe ? 电极化强度的定义 pe ? ?lim0 V ? ?V
? ? ? D, E, P之间的关系:

? ? ? 一般情况: D ? ? 0 E ? pe

各向同性均匀无限大电介质中 ? ? ? ? D ? ? 0? r E pe ? ? e? 0 E

D线、E线的区别 (i)电力线与所有电荷有关(包括q/),电位移线只与自由电荷有关。 (ii)电力线在介质中不连续,被极化电荷所中断,电位移线在任何 地方都连续。 ? ? 7 介质中的高斯定理:?s D ? ds ? ? qi
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☆电介质与导体的比较

? 导体内有可移动的自由电荷, 1、电结构 ? ? 电介质内无可移动的电荷, ? 导体的感应电荷(或荷电)只分布在外表面, 2、电荷的分布 ? ? 介质的极化电荷可在表面也可在内部,但不能
移动,故又称束缚电荷 。 导体在静电平衡时,内部场强为零,即 ? ? ?/ ? E内=E0+E =0 3、内部场强 ?

? 介质极化后,内部场强不为零,在均匀极化时, ? ? E=E0 ? r
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五、电场的能量
1、电容器的储能
1 Q2 1 1 We ? ? cU 2 ? Q ? U 2 c 2 2

2、电场能量密度 电场的能量

1 2 we ? ? E 2
We ? ? 1 ? E 2 dV 2

V

dV ? sdl ?平行板间电场 ? dV ? ? 柱形电场 dV ? 2? rldr ? 球形电场 dV ? 4? r 2 dr ?
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典型例题
☆叠加法求E、U

例1,带电半圆环,
dEx

d?


? dl
?
R
x

dE ?

?dl ?Rd? ? 4?? 0 R 2 4?? 0 R 2

x

? dE

dEy

场的分布关于y轴对称,

? Ex ? 0

E ? E y ? ? dE sin ? ? ?

?

0

? ? sin ?d? ? 4?? 0 R 2?? 0 R
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例2,带电圆盘 * 整个圆盘可看成半径 由 0?R 的无限多个 圆环组成 ,每个圆环宽为 dr

dr
x p r

l
x
p

r
R

dE//

则 dq ? ? ds ? ? 2? rdr
小圆环在P点的场强

? x ? 2?rdr xdq dE// ? ? 3 3 2 2 2 4?? 0 l 4?? x ? r

?

?

?

?x E ? ? dE// ? 2? 0

? ?x
0

R

rdr
2

?r

2

?

3

2

? ? 2? 0

? x ?1 ? ? x2 ? R2 ?

? ? ? ?
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例3,求长为
p

2l

的带电细棒中垂线上距棒为a的p点电势

r

? dx ? dx dU ? ? 4?? 0 r 4?? ?a 2 ? x 2 ?12 0

o x

a
?l
0

r
x

?l

? dx U ?? 1 ?l 4?? 2 2 2 0 ?a ? x ?
l

? l ? a2 ? l2 ? ln 4?? 0 ? l ? a 2 ? l 2

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例4, 带电半圆环


dq

dU ?

dq 4?? 0 R

q ? ? ? ?R

R
dU

U?

q ? ? 4??R0 4? 0

例5,带电圆盘:
dr
x p

每个圆环在p点的电势

r
R

r

l
x
dU

dU ?

? ? 2?rdx
4?? r ? x
2

?

2

?

1

?
2

2? 0 r ? x
2

?

? rdr
2

?

1

2

p

? U? 2? 0

?

R

0

?r

rdr
2

? x2

?

1

?
2

? 2? 0

?R

2

? x2 ? x
13

?

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☆挖补法求E或电势U
例6:用不带电的细塑料棒弯成半径为50.0cm的圆弧,两端的空 隙为2.0cm,电量为 3.12 ? 10?9 C的正电荷均匀分布在棒上,求圆 心处的大小和方向。 解:由题知,空隙 d=0.02m,而棒长, R d l ? 2? R ? d ' ? 2 ? 3.14? 0.5 ? 0.02 ? 3.12m d ? ? E0 E 故空隙可视为一个点。若把这个空隙用相同 电荷密度的电量补上,则整个环为一均匀分 布带电环,于是其圆心o点处强度应等于零, 由场强叠加原理:o点场强又可看成空隙处的点电荷在o点产生的 和整个带电圆弧棒在o点的场强之矢量和 ? ? 即应有 E ? E0 ? 0 q 3.12 ? 10?9 ? 1.0 ? 10?9 c ? m ?1 由题知带电细棒的 ? ? ?
l 3.12

1.0 ? 10?9 ? 0.02 E ? ? E0 ? ? 9 ? 109 ? ? 0.72V ? m?1 4??0 R2 ?0.50?2 q'

方向由圆心指向缝隙

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例7:如图示,半径为R的两个球体相交,球心距O1O2=d,不重 叠部分均匀带电,电荷体密度左侧+?为右侧为-?,则距离O2为r 的点的电势为多少。
d

r
??

??

o1

o2

P

解:补成两个带电球,重叠部分的电势在p点相互抵消,故 q1 q2 Up ? ? 4?? ?d ? r ? 4?? 0 r



4? 3 q1 ? q2 ? R ?? 3
3? 0 ?d ? r ?r
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U ??

? R3d

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☆通量的计算 例8、一无限长均匀带直线位于X轴上,电荷密度为?,有球面半 径为R,球心位于原点,则通过该面的的电通量为————————
?
R

解:? q ? ? 2R, ??e ? 2R? ? 0
例11、在均匀电场E中,作一半径为R的半球面,如果半球面 的轴线与E的方向平行,则通过半球面的电通量为————————— ? E 解:因为是均匀场
R

R

??e ? E.S ? E?R 2
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☆场力的计算 例10:在真空中的A、B两板,相距为b,面积均为S,各带电 +q,-q.求两板间的作用力f,有人说f=q2/4??0d2,又有人说 f=qE , 因为E=?/?0=q/s?0 ,所以f=q2/s?0,他们说得对不对?到底f等 于多少?为什么? 答: 都不对。两板间的作用力f≠q2/4??0d2,因为板的线度不一 定远小于两板间距离,这样不能把两带电板看作是点电荷,因而 不能用库仑定律进行计算; 而f=qE式中的E用平行板间电场强度E=?/?0来计算也不对, 因为这里E是A、B两板产生的合场强。 当两板的线度比它们间的距离d大得多时,A板处于B板的均 匀电场中,EB=?/2?0,A板上任一电荷元dqA受力 df ? E B dqA ? ?dqA
2? 0

各电荷元受力方向一致,所以A板受力
f A ? ? df ? ?
q 0

? ? q2 dq ? q? 2? 0 2? 0 2? 0 s

同理, B板处于A板电场中,受力为

q2 fB ? 2? 0 s回首页

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例11:如图,一均匀带电的无限长直线段,电荷线密度?1,有 一均匀带电直线段,长度为L,电荷密度为?2,两线互相垂直且 共面,若带电线段近端距长直导线为a,求它们之间的相互作用 力。 解:在L上取dq=?2dr 则受到的电场力
dq ? ?dr
dF

?1
a

?2

dF ? Edq ? E?2 dr

,

l

dq所在处的 E ?
?F ? ?
a ?l

r
a

?1 2?? 0 r

?1 ?? a?l ? 2 dr ? 1 2 ln 2?? 0 r 2?? 0 a

作用力是相互排斥
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☆关于静电感应电量的计算: 一般说来,感应电荷的多少与施感电荷的电力线终止“在 被感导体上的数目成正比,若施感导体的电力线全部终止在被 感导体上,则感应电荷与施感面上的电荷相等。在其它情况中, 定量讨论时,通常是根据电荷守恒和静电平衡时导体部场强为 零,或电势之间的关系,解出方程组而解得.

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例12:平行板电容器极板为空气时,其电容,电压,自由电荷 面密度,电场强度,电位移,电势能分别用C0,U0,?0,E0, D0,W0表示,现充满相对介电常数为?r的均匀电介质,若维持 极板上电量(例如切断电源后充介质),则上述各量相应变为 c= ,?= ,E= ,U= , D= ,W= . 答: ?电容扩大??r倍,即C=?rC0, ?电荷面密度不变,即?=?0 ?均匀介质均匀极化时,E=E0/?r ?U=E· 0· r=U0/?r? d=E d/?

?D=?· 0 E=D
W0 1 1 2 ? W ? ? r ? 0 E ? DE ? 2 2 ?r
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(二)稳恒电流的磁场 一、稳恒电流的磁场与静电场的比较
1、 激发 ?
发 ?静电场由静止电荷所激 ?磁场由运动电荷所激发 用 ?电场对所有电荷都有作 2、 对电荷的作用 ?磁场只对运动电荷有作 用 ?

以观察者为参照系 ?

?以磁场为参照系

3、场强的引入

? ? F ? 荷所受的场定义, = E ? 电场强度:用单位正电 q0 ? M ? 磁感应强度: 用线圈的磁矩所受最大 力矩定义, B ? max ? pm ? ?

闭合的场线由正? 负 ?电力线是有头有尾的不 4、场线 ? 合曲线,且遵从右螺旋 法则 ?磁力线是环绕电流的闭

高斯定律

? ? ? qi ? 静电场是有源场,电荷 可分离 ?电场中:E ? ds ? ?s ?0 ? ? ? ? 磁场中:Bds ? 0 磁场是无源场,磁极不 可分离 21 ?s ? 回首页 回上页 下一页

? ? ?电场中: ? dl ? 0 静电场是保守场,可引 进电势 ? ?l E ? 5、环流 ? ? 引入磁势 ?磁场中: ? dl ? ? ? 0 I 磁场是非保守场,不能 ?l B ?

6、 有关E,B计算方法的比较
? dq ? 0 ? 电场以点电荷的场为基 E=? 础 r ? Q 4? ? r 2 ? ? ?0 ①叠加法 ? ? ?磁场以电流元的场为基 B ? ? Idl ? r 础 ? 4? r 2 ? ?
电场具有中心、轴、面 对称时方便。 ?电场用高斯定律--在 ? -对长直电流,长直载 流螺线管,载 ②定律法 ?磁场用安培环路定律- ? 流螺绕环及无限大载流 板 ?

? ③对E还可用求电势梯度的方法,即E ? ??U
7、场力

? ? ? ? ? ?电场中 Fe ? Edq 电偶极在电场中 M=Pe ? E ?Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 磁场中Fm ? ?l Idl ? B, f m ? qv ? B 磁矩在磁场中M=Pm ? B ?
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二、介质的极化与介质的磁化的比较
电介质:有极分子,无 极分子 ? ? 顺磁物质 ?分子磁矩不等于零-- ? 1、介质的电结构 ?磁介质? 分子磁矩等于零--抗 磁物质 ? ? ? 磁畴---铁磁物质 ? ? ?

? ? ?' ? 电介质极化产生极化电 E=E0 ? E , 荷 ?' ? ? E 始终与E0反向 ? 极化 ? ? ? 2、 介质 磁化 的描述 ?磁介质磁化产生磁化电 B=B ? B ' , 流 0 ? ?' ? ? ? B 有的与B0同向也有的与 0反向 B ?

? ? ? ? Pe 度 lim ?电介质中引入电极化强 Pe ? ?v ?0 ? ??v ? ? ? 磁介质引入磁化强度 = lim ? Pm M ? ?v ? 0 ?v ? 23
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3、介质中的辅助矢量

? ? ? ?电介质中,D=? 0 E+P ? ? ? ? ?磁介质中,H= B -M ? ?0 ?
?使D只与自由电荷有关, ? ? 使H只与传导电流有关

? ? ?在各向同性均匀极化的 电介质中D=? 0? r E ? ? ? 磁质中B=?0 ? r H ? 在各向同性均匀的非铁
? ? ? 高斯定理: D ? dS ? ? q0 ? 电 ? s 4、 介质中的 ? ? ? s 磁 ?安培环路定律: ? dl ? ? I 0 ?l H s ?
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三、关于磁感应强度的计算
1、叠加法:毕奥――沙伐尔定律

?有限长直电流
p

B?

?0 I (sin ? 2 ? sin ?1 ) 4?a

? ? ? ?0 Idl ? r 0 dB ? 4? r2

注意?1,?2顺序的确定方法,正负的确定。
?1

?2
o

无限长直电流, 半无限长直电流

B?

?0 I 2?a

B?

1 ?0 I ? 2 2?a

?在圆电流轴线上
? Idl

B ? ? dB11 ?
? dB

?0

R2 I

2 ( R 2 ? X 2 ) 32

dB ?

R o I X
dB//

?I ? 圆电流中心B= 0 ? 2R ?1 1 ?0 I ? 圆电流中心B= n 2 R25 ?n
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☆长直电流与圆电流的组合――例求下各图中0点的B
I
o ·
R
R O I I o R

B?

?0 I
4R

?

?0 I 4?R

B?

?0 I
4R

?

?0 I 2?R

B?

3? 0 I ? 0 I ? 8R 4?R

l1
o R I I
I1

I o
I2

B1 ?
l2

? 0 I 1l1 4?R 2

⊥纸面向外 ⊥纸面向里

R I

B2 ?

? 0 I 2l2 4?R 2

2? I B? ? 0 2R ?R

?0 I

?

I 1 R2 l 2 ? ? I 2 R1 l1

? I1l1 ? I 2 l 2 ? B ? B1 ? B2 ? 0
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③ 旋转的带电圆盘的圆心处,轴线上的B:

设圆盘的电荷面密度为?,半径为r宽 度为dr的圆环,旋转时的等效电流为 dq ? i? ? ?? 2?rdr ? ?? ? ?? 2?rdr ? ? ?? rdr dt 2? (i)设圆盘中心处的为B1
?dB1 ?

? 0i
2r

?

?0
2r

? ?? rdr ?

? 0??
2

dr

? B1 ? ?

R

? 0??
2

0

dr ?

?0
2

?? R

(ii)圆盘轴线上处的B2
? dB2 ?

?0

2 r ?x
2

?

r 2i
2

?

3

?
2

? 0??
2

?r

r 3 dr
2

?x

2

?

3

2

?

B??

R

? 0??
2

0

?r

r 3dr
2

?x

2

?

3

?
2

? 0?? ? R 2 ? 2 x 3
2

? ? ? 2x ? ? ? R2 ? x2 ? ?
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2、用安培环路定律求B ?基本步骤: (I) 分析磁场分布的特点 (II)作合适的积分回路 ? ? (III)由 ?l H ? dl ?? I i 求H,再由 B ? ?0 ?r H 求B ?记住几个典型例题及结果 (i) 长直密绕通电螺线管内部的场 B ? ?nI
?NI B? 2?r
? 0i
2

(ii) 载流密绕螺线环内部的场
(iii)长直载流柱体
1 2r ? 内 H= ? 2? R 2 ? I ?外 H= 2?r ?

(iv)无限大载流平板两侧的场 (i为单位长度上的电流) 3、运动电荷的磁场
? ? ? 0 qv ? r 0 B? 4? r 2

B?

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四、关于磁通量的计算
1、一长、宽为L、b的矩形线圈与长 直电流共面,求穿过矩形面的磁通。
?I d? m ? Bds ? 0 ? ldr 2?r
?m ? ?
atb a

I

r

l

? 0 Il dr ? 0 Il a ? b ? ln 2? r 2? a

a

b

2、截面为矩形的螺线环,内半 径为r1,外半径为r2,共N匝,电 流强度为I,求通过环截面的磁通 (环内磁介质磁导率为?)
?NI d? m ? Bds ? ? hdr 2?r r ?NIh dr ?NIh r2 ?m ? ? ? ln r 2? r 2? r1
2 1

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3、同轴电缆,内,外半径分别为R1,R2,通有电流I,R1, R2间充满均匀非铁磁质物质,磁导率为?,求长为L的一段介 质中的磁通。

R1
R2

r

?m ? ?

R2

R1

?I ?Il R2 ldr ? ln 2?r 2? R1
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4、如图载有电流I的直导线 旁有一与之共面的直角三角形 线圈,相对位置如图所示,试 计算通过这三角形线圈的磁通。
?0 I d? m ? Bds ? ydx 2?x ?0 I ? ( x ? a )tg?dx 2?x

dx

l
y

?
b

x

I

a

a ?b ? I ?0 I dx 0 ?m ? ? tg? dx ? ? atg? a a 2? 2? x ? 0 Ib ? 0 Ia a?b ? tg? ? tg? ln 2? 2? a atb

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五、磁力的计算
1、 磁场对电流的作用 ? 利用有关推论作题:垂直于匀强磁场的任意形状的电流所受 安培力,等效于连接这导线两端的直导线,通以相同电流时所受 安培力。 例:在x0y平面内有一半径为R的 y 1/4圆弧ab通有电流I,圆弧的 B 圆心在坐标原点,磁场纸面向里, 磁感应强度为B,则弧ab所受安 a 2RBI 培力为-------------- ,方向是与X轴成 R I 450角,且力的作用线通过0点。 O b ? 直电流,非匀强场
df ? BI 2 dl ?
df

? ? ? df ? Idl ? B

?0 I1 I 2 dr 2?r

I1
d r

I 2 dl

f ??

d ?l

d

? 0 I 1 I 2 dr ? 0 I1 I 2 d ? l ? ln 2? r 2? d

l

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?非直电流,非匀强场:
Y
df y
df

?
I2 I1

df x

如图,长直电流I1穿过半径为R 的圆电流I2的中心两导线彼此绝 缘,求电流园环所受安培力。

?

R

I 2 dl

解:先讨论右半圆电流,由 图可看出dfy对x 轴为对称故 f y=∑dfy=0 ? I df x ? df sin ? ? BI 2 dl sin ? ? 0 1 I 2 dl sin ? 2?x
x

由图可知 x ? R sin ? ,
? f右 ? f x ? ?
?

dl ? Rd ?

0

? 0 I1 I 2 ?II R ? d? ? sin ? ? 0 1 2 2?R sin ? 2?
f左 ?

?

?

0

d? ? 1 ? 0 I1 I 2 2

同样作图分析左边圆电流可知

1 ?0 I1 I 2 2
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f ? f 右 ? f 左 ? ?0 I 1 I 2

2、磁场对载流线圈的作用 ?利用1、?的结论可以证明,任一形状的载流线圈在匀强场 中所受磁场力的合力为零。 ?载流线圈在匀强场中受到磁力矩作用 例1:只要线圈ABCD与I1共面, B C 则线圈所受磁力矩M一定为零。 解:因为此时线圈磁矩 I2 I2 I
1

A

D

例2:在均匀磁场中,有一载流正方形 线框MNOP,已知磁感应强度为B,线 框边长为a,电流强度为I,方向如图所 示,求线框所受的磁力矩。 解:如图
?
? pm ?op 故 ?pmoz ? 300
2 M ? pm B sin 300 ? a IB

?

? ? ? M ? pm ? B ? 0
y N M

? ? pm // B

? ? 0 ,即 ?pm B ? 30

? pm

O

30 ? B
z

0

30 0

p

x

2

方向沿y轴正向。

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3、 磁力的功 A ? ?

?m2

?m1

Id?m



A ? ?? Md?
?1

?2

(式中负号表示力矩方向与角矢量方向相反;角是线圈 中心处的向线圈磁矩量去。) 4、磁场对运动电荷的作用――洛仑兹力 例1:截面积为S,截面形状为矩形的直金属条中通有电流I, 金属条放在磁感应强度为B匀强磁场中,B的方向垂直于金属条的 左右侧面(如图所示)。在图示情况下金属条上侧面将积累——— ————电荷,载流子所受的洛仑兹力fm=——————————。 (注:金属中单位体积内载流子数为n)

? B

? ? 答:?运动电荷带负电, 由 ? v ? B ,

I

可判断,上侧面将积累 负电荷

? ? I ? e ? nvs, ?ev ? I ns
所以,载流子受的洛仑兹力为

IB f m ? evB ? ns
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例2:空间某一区域有均匀电场E和B, E和B同方向,一电子 (质量m,电量e)以初速度V在场中开始运动,V与E夹角?,求 电子的加速度大小并指出电子的运动轨迹。
? v?
? FE

? v

?

FB

??

? v//

? E ? B

故 a? ? Fm m ? ?evB m?sin ? 垂直纸面向外。
FE ? ?eE, ? a// ? ? eE m
2

解:将电子的速度分解为v⊥和v∥, 磁场力只对v⊥有作用,所以 FB ? ev? B ? evBsin ?

电场力只对v∥有作用

方向与E反向
2

∴电子的加速度大小为

? eE ? ? evB ? a ? ? ? ?? sin ? ? ?m? ? m ?

即电子在与-E平行的方向上作初速为vcos?的变速度运动,在与 B垂直的平面内作逆时针的园周运动(顺着磁场方向看),所 36 以电子的运动轨迹是 变螺距的螺旋线。
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(三)电磁感应 一、电磁感应
1、 电动势的概念 ?将单位正电荷经由内电路由负极搬运至正极的过程中非静电 力所做的功;? ?
dA dt

电源电动势的方向:规定经由电 源内部,由负极指向正极的方向。
②非静电场强的环流;
Ek ? F非 q0

?

非静电场强:

由非静电场强定义的电动势

? ? ? ? ?=? Ek ? dr ? ? Ek ? dr
+ - l

③感应电动势的概念:回路中因磁通的变化而产生的电动势 。
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2、电磁感应的两个基本定律
?判定感应电流的方向 ①楞次定律 ? 部分的感应电流的方向 ) ?判定? i的方向(作为“电源“ d ( N? m ) ? i=- ②法拉第电磁感应定律 dt
磁场中回路的面积变化 ?--磁通变化的原因是 ? (或一段导体作切割磁 力线运动) ? ?--非静电力是洛仑兹 力 ?
l

3、感应电动势力 的几种形式

?动生电动势

基本公式是 ? ? ?0 Bvdl ☆d?I=BvdL,要求,,三者互相垂直,均匀切割均匀场 ☆?i的方向 ☆通式
? ? v?B

决定
? ? ? (v ? B) ? dl
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?i ? ?

?

?

?感生电动势,涡旋电场 感生电动势
积不变,磁场变化 ?磁通变化原因,回路面 ? 发的涡旋电场 ?非静电力是变化磁场激

☆感生电动势计算方法之一———法拉第电磁感应定律 即
d? m d ? ? ?=- ? ? ? B ? ds dt dt s

即先求线圈所在处的磁通,再求磁通的变化率。 ☆感生电动势的计算方法之二———由涡旋电场的环流求,即 ? ? ? i ? ? Ei ? dl
l

涡旋电场场强E涡的计算――在场的分布具有对称性时,利用 ?自感,互感
? ? d? m dB ?l E涡 ?dl ? ? dt ? ? s dt
N? m I

☆自感系数 L ?

;互感系数 M ? k L1L2
? ;互感电动势 12 ? ? M
dI 2 dt
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di ☆自感电动势 ? ? ? L dt

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二、 磁介质
? 顺磁质? r>1 ? 1、磁介质的分类 ? 抗磁质? r ? 1 ?铁磁质? ?? 1 r ?

→弱磁质?r≈1

取向排列 ?顺磁质--分子磁矩做 2、弱磁质的磁化 ? 生附加磁矩 ?抗磁质--电子进动产 ? ? ? ? B ? ? pm ——磁化强度) J= lim 3、辅助量 H= -J ( ?V ?0 ?V ?0

? ? 在各向同性的弱磁质中 B ? ?0 ?r H

4、 铁磁质 ①特点,②磁畴,③磁滞回线

三、 磁场能量
1、自感储能 2、磁能密度
Wm ? 1 2 LI 2 1 B2 1 1 ? ? 2 wm ? ? ?H ? B ? H 2 ? 2 2

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四、麦氏电磁理论
1、麦克斯韦的两个假设 涡旋电场 位移电流
? ( 2) ? d? m ? i ? ? E ? dl ? ? l dt

? d? dD ?d ? Id ? D dt dt ? ? ?2 ? ? ?D ? H ? dl =I d=? ? ds ?l s ?t

2、麦克斯韦统一电磁场理论的基本思想 随时间变化的电场产生涡旋磁场,随时间变化的磁场 产生涡旋电场,并形成统一的电磁场。

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3、麦克斯韦方程组的积分和微分形式 ? ? ; D ? ds ? ? q0 ? ? ?0dV ?
s V

? ? ? d? m ?B ? ?l E ? dl ? ? dt ? ?? ?t ? ds 其微分形式为 ? ? ? B ? ds ? 0
? ? ? ? ? d?D ?D ?l H ? dl ? I ? dt ? ?s1 j0 ? ds ? ?s2 ?t ds
s

? ? ? ? D ? ?0 ? ? ? ?B ? ?? E ? ? ? ? ?t ? ??B ? 0 ? ? ? ? ?D ? ?? ? H ? J 0 ? ?t ?

4、电磁波的基本性质,电磁波谱
E、H是同频率简谐振动且位相相同; 电磁波是偏振的:E、H分别在在各自平面上振动

x

E

电磁波是横波,E、H的振动方向与电磁波的传播方向垂直 E、H之间存在比例关系: ? E0 ? ? H 0 电磁波的传播速度由介质决定:1
? ?
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c

z

y

H

(一)动生电动势的计算

? ? ? 1、 直导线在匀强中均匀切割(v , B, l ? v ? B
l2
?

三者互相垂直)
?
B

?

v

a

l1

b

l

?

? ? Bvl1 ? Bvl2 cos?

? ? B cos ? ? lv

? ? B cos ? ? lv

2、在匀强场中非均匀切割
?
a o B b

U ab ? ? 1 ? ? 2 ? 1 1 2 2 B? l2 ? B? l1 2 2
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l2
a
?1

l1
o ?2 b

3、在非匀强场中均匀切割
I

? v dx
a r

d? ? Bvdl ?

?0 I vdr 2?r

l

? ??

a ?l

a

? Iv dr ? 0 Iv a ? l ? ln 2? r 2?r a
0

?0 I d? ? vdx (此时B,v, dx,三者垂直) 2?x
dx ? dl sin ?
x

v

dl

l

dx

? ??

a ? l sin ?

a

? 0 I dx ? 0 Iv a ? l sin ? v ? ln 2? x 2? a

?

a

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4、 线圈在磁场中转动
☆ 线圈在均匀磁场中转动 d? d ? i ? NBs ? sin ?t ? N ? N ( Bs cos ?t ) dt dt ☆ 线圈在非均匀磁场中转动 例如,如右图所示的一园线 圈绕过其中心的长直电流转动。 此时线框中磁通无变化 ?? i ? 0

I

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(二)感生电动势计算

1、方法之一———法拉第电磁感应定律 例1、一矩形线圈ABCD与长直导线共面放置,长边与长直 导线平行,长?1=0.2m,宽?2=0.1m,AD边与长直导线相距a=0.1m, 线圈共1000匝,保持线圈不动,而在长直导线中通有交变电流 I=10sin(100?t)A,t 以秒计。求t=0.01s时线圈中的感应电动势。
解:平行于长直电流r处取一宽dr的小矩 a 形面元,穿过面元的磁通为 B A ?0 I d? m ? Bds ? l1dr l1 r 2? r I 穿过整个矩形面的磁通为 D a ?l ? I dr C ? Il a ? l2 0 ?m ? ? l1dr ? 0 1 l n a 2? r 2? a 由于电流变化引起的感生电动势为
l2
2

?i ? ?N

d? m ? l a ? l2 dI ? ? N 0 1 ln ? ? ?8.7 ?10 ? 2 cos 100?t ?V ? dt 2? a dt 回首页

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2、涡旋电场场强的计算——在场的分布具有对称性时,利用
? ? d? dB E涡 ?dl ? ? m ? ? s ?l dt dt

例3、如图所示,均匀磁场的变化率dB/dt已知,求距轴 心o处为r 的涡旋电场场强Ei。
解:由对称可知,在r为半径的 圆环上各点的Ei大小相等,故
r

Eki

o

? ? dB Ei ? dl ? Ei ? dl ? E i 2?r ? ? s ?l l dt

r dB ? Ei ? ? 2 dt
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3、方法之二————

? ? ? i ? ? Ei ? dl
l

例4、磁感应强度为B的均匀磁场,充满半径为R的圆柱形 体积内,有一长为?0的金属棒AB放在这磁场中,设B 以dB/dt 的速率变化,求证,在棒两端的感生电动势的大小为
dB l0 ?i ? ? dt 2
r

? l0 ? 2 R ?? ? ?2?

2

?
A
d?
B

o a
? Ei

证明:在离中心r处取一个圆,由 例3结论可知,r处的
B

Ei ? ?

r dB 2 dt

?? AB

? ? B l0 r dB cos ? ? dl ? ? Ei ? dl ? ? Ei cos? ? dl ? ?0 A A 2 dt
?l ? r cos? ? a ? R 2 ? ? 0 ? ?2?
2

由图知
?A ? ?
l0

0

l dB 1 dB ?l ? ?l ? R 2 ?? 0 ? ? dl ? 0 R2 ? ? 0 ? 2 dt 2 dt ?2? ?2?

2

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(三)自(互)感系数的计算 (i) 先假定线圈有电流I而后求线圈中的B (ii) 先计其中一匝线圈中的?m,再求N?m (iii) 最后由L=N?m/I求 L 例7、两根长直导线平行放置,导线本身的半径为a,两根导线 间距离为b(b>a)两根导线中通有方向相反、强度相同的电流, 求这两根导线单位长度的自感系数(忽略导线内磁通)。 ?I ?0 I B? 0 ? 解:r处的B为 2?r 2? ?b ? r ? 两导线间的磁通为 r ? b?a ? ? I ?0 I ? ? Il b ? a ?m ? ? ? 0 ? ldr ? 0 ln a 2?r 2? ?b ? r ?? ? a ? ? b 所以单位长度的自感系数
L?

?
Il

?

?0 b ? a ln ? a
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*利用求磁场能方法求自(互)感系数 例8、用磁场能量的方法,证明两个相互邻近的线圈的互感 系数相等。
I1

I2

k1
R1

k2
R2

?1

?2

解:(1)先合上电键k1,使i1从零增大到I1。这一过程中由于 自感L1的存在,由电源?1做功而储存到磁场中的能量为
W1 ? 1 L1 I12 2

(2)再合上电健k2,调节R1使I1保持不变,这时i2由零增大到I2, 这一过程中由于自感L2的存在,由电源?2做功而储存到磁场中的能 量为 1 2
W2 ? 2 L2 I 2
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还要注意到,当i2增大时,在回路1中会产生互感电动势?12,即
?12 ? ? M 12
di2 dt

要保持电流I1不变,电源?1还必须反抗此电动势做功。这样由于 互感的存在,由电源?1做功而储存到磁场中的能量为
I2 di2 W12 ? ? ? ?12 I1dt ? ? M 12 I1 dt ? M 12 I1 ? di2 ? M 12 I1 I 2 0 dt

经过以上两个步骤后,系统达到虬流分别是I1和I2的状态,这时 储存到磁场中的总能量为 1 1 2 2 Wm ? W1 ? W2 ? W12 ? L1 I1 ? L2 I 2 ? M 12 I1 I 2 2 2 (3)如果我们先合上k2,再合上k1,仍按上述推理,则可知 这时磁场中的总能为 1 1 / 2 2 Wm ? W1 ? W2 ? W21 ? L1 I1 ? L2 I 2 ? M 21 I1 I 2 2 2 显然,只要最后状态相同,即只要两线圈中的电流I1和I2相同,磁 场中的能量就相同,即Wm=Wm/,由此可证
M12 ? M 21
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(四)磁场能的计算 例9、两根长直导线平行放置,导线本身的半径为a,两根导线 间距离为b(b>a)两根导线中通有方向相反、强度相同的电I, (1) 若将导线间距b增到2b,求磁场对单位长度导线做的功; (2)导线间距由b增到2b,导线方向上单位长度的磁能改变了 多少?是增加还是减少?说明能量的转换情况。 解:(1)两等值反相的直电流间的作用力为 排斥力,将导线沿受力方向移动dr距离时,磁场 力对单位长度导线作做功为 r ? ?0 I ?0 I 2 dA ? F ? dr ? Ildr ? dr ?l ? 1? 2? r 2? r
b

?A? ?

2b

b

?0 I 2 ?0 I 2 dr ? ln 2 2? r 2?

(2)磁能增量为 ?W ? W ?W0 ? 1 L/ I 2 ? 1 LI 2 2 2 ? b?a ? 2b ? a L ? 0 ln , L/ ? 0 ln , 由例7可知, ? a ? a 回首页

52 回上页 下一页

1 / 2 1 2 ? 0 I 2 2b ? a ? 0 I 2 ? ?W ? L I ? LI ? ln ? ln 2 ? 0 2 2 2? b?a 2?

说明磁能增加了,这是因为在导线间距由b增大到2b过程中, 两导线中都出现与电流反向的感应电动势,因而,为要保持导 线中电流不变,外接电源要反抗导线中的感应电动势力做功, 消耗的电能一部分转化为磁场能量,一部分通过磁场力作功转 化为其它形式的能量。

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(五)位移电流的计算
例 11 半径为 R 的两块圆板,构成平行板电容器放在真空中,今对电容器匀 dE 速充电,使两板间电场的变化率为 ,求两板间的位移电流,并计算电容 dt 器内离两板中心连线 r ( ? R ) 处的磁感应强度 B.

解:

? Id ?

d? D d ? (? 0 E ? s ) dt dt dE dE ? ?0 ? s ? ?0 ? ?r 2 dt dt

在离两板中心连线r处(r〈R)取一半径为r的环路,则应有 ? ? d?D

? H ? dr ?
l

dt

由于磁场对称分布,即在环周上各点H值相等所以:
dE H ? 2?r ? ? 0 ?? r dt
2

? B ? ?0 H ?

1 dE ?0? 0 ?r 2 dt
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☆其他题 例、一内外半径分别为R1、R2的均匀带电平面圆环,电荷面 密度为?,其中心有一半径为r的导体小环(R》r),二者同心 共面如图,设带电圆环以变角速?(t)绕垂直于环面的中心轴 旋转,导体小环中的感应电流i等于多少?方向如何(已知小环的 电阻为R)。 解:带电平面圆环的旋转相当于圆环
R2
? ?t ?

中有电流I。在R1、R2间作半径为R, 宽为dR的环带,则环内有电流
dI ? dq ? ? ? 2?RdR?? dt

r

?

R1

? ? ? 2?R ? dR ?

? ? ?R? dR 2?

dI在圆心0处产生磁场为dB

dB ?

? 0 dI
2R

?

1 ? 0?? dR 2

于是整个带电圆环面旋转在中心产生的B为
R2 1 1 B ? ? dB ? ? 0?? ? dR ? ? 0?? ( R2 ? R1 ) R1 2 2

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由中心处的导体小环半径r《R,故可认为导体小环处B为均匀, 于是穿过导体小环的磁通近似为:
? ? B ? ?r 2 ?
1 ? 0?? ( R2 ? R1 ) ? ?r 2 2

所以导体小环中的感应电动势为
?i ?
d? 1 d? ? ? 0? ( R2 ? R1 ) ? ?r 2 dt 2 dt
1 2 d? i? ' ? ? 0? ( R2 ? R1 )?r ' R 2R dt

则导体小环中的电流为
设带电环逆时针转动 当
d? ?0 dt

?i

,则i的方向为顺时针的 ,则i的方向为逆时针的
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d? ?0 当 dt


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