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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题05 集合函数


1、 (2000 一试 1)设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x ( (A) ) {2} (B) {?1} (C) {x|x≤2}

2

?2

= 10 x },则 A ? B 是
?

(D)

2、 (2001 一试 1)已知 a

为给定的实数,那么集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个数 为( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 【答案】C 2 2 2 【解析】M 表示方程x -3x-a +2=0 在实数范围内的解集.由于 Δ =1+4a >0,所 2 以M含有 2 个元素.故 集合M有 2 =4 个子集,选C.

2

2

5、 (2002 一试 5)已知两个实数集合 A={a1, a2, … , a100}与 B={b1, b2, … , b50},若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100),则这样的映 射共有( ) (A) C100
50

(B) C 90

50

(C) C100

49

(D) C 99

49

【答案】D 【解析】不妨设 b1<b2<…<b50,将 A 中元素 a1, a2, … , a100 按顺序分为非空的 50 组,定义 映射 f:A→B,使得第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi (i=1,2,…,50),易知这样的 f 满足 题设要求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满足题设要求的映射 f 的个 数与 A 按足码顺序分为 50 组的分法数相等, 而 A 的分法数为 C 99 , 则这样的映射共有 C 99 ,
49 49

故 选 D。

7、 ( 2006 一试 5 )设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是

?

?

f (a) ? f (b) ? 0 的(

) B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 【答案】A

【解析】显然 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 为奇函数,且单调递增。于是若 a ? b ? 0 ,则

?

?

a ? ?b , 有 f (a) ? f (?b) , 即 f (a) ? ? f (b) , 从 而 有 f (a) ? f (b) ? 0 . 反 之 , 若

f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f (a) ? ? f (b) ? f (?b) ,推出 a ? ?b ,即 a ? b ? 0 。
[来源:Z§xx§k.Com]

8、(2007 一试 6)已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元 素个数相同, 且为 A∩B 空集。 若 n∈A 时总有 2n+2∈B, 则集合 A∪B 的元素个数最多为 ( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

9、 (2008 一试 1)函数 f ( x) ? (A)0

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 ( 2? x
(C)2

) 。 (D)3

(B)1

【答案】C 【解析】 当 x ? 2 时, 因此 f ( x) ? 2 ? x ? 0,

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x

? 2 ,当且仅当 1 ? 2 ? x 时取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在 (??, 2) 上
2? x
的最小值为 2.故选 C. 10、(2008 一试 2) 设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围 为( ) 。 (B) [?1, 2] (C) [0,3] (D) [0,3)

(A) [?1, 2)

11、 (2001 一试 11) 函数y=x+ 【答案】 [1, )

的值域为______________.

3 2

[2, ??)
2 2 2

【解析】先平方去掉根号.由题设得(y-x) =x -3x+2,则x=(y -2)/(2 2 y-3) .由y≥x,得y≥(y -2)/(2y-3) .解得 1≤y<3/2,或y≥2.由于 能达到下界 0,所以函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞) .

13、 (2002 一试 11) 若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 , 则 【答案】 3

的最小值是



14、 (2003 一试 9)已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|2 x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】-4≤a≤-1 【解析】A=(1,3);又,a≤-2 -4). ∴ -4≤a≤-1.
1-x

2

1-x

+a≤0,x -2(a+7)x+5≤0,

2

1 x +5 ∈(-1,- ),当 x∈(1,3)时,a≥ -7 ∈( 5-7, 4 2x

2

17 、( 2005

一 试

8 ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 减 函 数 , 若

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1) 成立,则 a 的取值范围是
【答案】 0 ? a ?

1 或1 ? a ? 5. 3









? f ( x)



(0,??)
[来源:学科网]











1 7 2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0;3a 2 ? 4a ? 1 ? (3a ? 1) 4 8 1 ? (a ? 1), 仅当 a ? 1 或 a ? 时, 3a 2 ? 4a ? 1 ? 0.(?) 3

? f ( x) 在 (0,??) 上是减函数,? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 4a ? 1, ? a 2 ? 5a ? 0,? 0 ? a ? 5,
结合(*)知 0 ? a ?

1 或 1 ? a ? 5. 3

19、 (2008 一试 11)设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满 足

)= f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008

.

方法二: 令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ,则

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2x?2 ? 2x ? 3 ? 2x ? 3 ? 2x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2x?6 ? 2x ? 63 ? 2x ? 63 ? 2x ? 0 ,
即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) ,故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) ,得 g ( x) 是 周期为 2 的周期函数,所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 .

20、 (2009 一试 1) 若函数 f ? x ? ?

x 1? x
2

且 f (n) ? x ? ? f ? ?f ?f ?
n

f ? x ?? 则 f ?99? ?1? ? ?? ?,



21、 (2009 一试 6)若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是



22、 (2010 一试 1)函数 f ( x) ? 【答案】 [?3, 3]

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

.

【解析】易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域 为 [?3, 3] .
[来源:学科网]

23、 (2010 一试 5)函数 f ( x) ? a

2x

? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值
.

为 8,则它在这个区间上的最小值是 【答案】 ?

1 4

24、 (2011 一试 1)设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的 集合为 B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ? .
[来源:Z_xx_k.Com]

【答案】 {?3,0, 2,6} . 【解析】显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以 3(a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15 , 故 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0, 5-8=-3,因此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} .
x2 ? 1 的值域为 x ?1

25、 (2011 一试 2)函数 f ( x) ?



? 26、 (2012一试6)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意 的 x ? [a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

【答案】 [ 2, ??). 【解析】由题设知 f ( x ) ? ?

? x 2 ( x ? 0) ? ,则 2 f ( x) ? f ( 2x). 因此,原不等式等价于 2 ? x ( x ? 0) ? ?

f ( x ? a) ? f ( 2x).
因为 f ( x ) 在 R 上是增函数,所以 x ? a ?

2 x, 即 a ? ( 2 ?1) x. 又 x ?[a, a ? 2], 所以当

x ? a ? 2 时,

( 2 ?1) x 取得最大值 ( 2 ?1)(a ? 2). 因此, a ? ( 2 ?1)(a ? 2), 解得 a ? 2. 故 a 的取值
范围是 [ 2, ??).

1 13 27、 (2000 一试 14)若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b, 2 2 求[a,b].

28、 (2002 一试 15)设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ① 当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x; ② 当 x∈(0,2)时,f(x)≤ (

2

x ?1 2 ) 2

③ f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x 【解析】∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于 x= -1 对称 ∴ ?

b ? ?1 2a

b=2a

由③知当 x= 1 时,y=0,即 a b+c=0 由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1 ∴f(1)=1,即工+了+以=1,又 a b+c=0 ∴a=

1 4

b=

1 2

c=

1 4

∴f(x)=

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4
1 1 2 1 (t+1) + (t+1)+ ≤1 ? 4≤t≤0 4 2 4
m)≤m

假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x 取 x=1 时,有 f(t+1)≤1 ?

对固定的 t∈[-4,0],取 x=m,有 f(t

? (t+m)2+ (t+m)+ ≤m ?m2
t +2t+1)≤0
2

1 4

1 2

1 4

? 1 ? t ? ? 4t ≤m≤ 1 ? t ? ? 4t
∴m≤ 1 ?

t

? 4t ≤ 1 ? (?4) ? ? 4 ? (?4) =9

29、 (2002 一试 15)实数 a,b,c 和正数 足 ① x2-x1= ?

使得 f(x)=x +ax +bx+c 有三个实根 x1,x2,x3,且满

3

2

1 2a 3 ? 27c ? 9ab 3 3 ? , ②x3> (x1+x2) ,求 2 2 ?3

【解析】∵ f(x)=f(x) f(x3)=(x x3)[x +(a+x3)x+x3 +ax3+b] 2 2 ∴ x1,x2 是方程 x +(a+x3)x+x3 +ax3+b 的两个根 2 2 2 2 ∵ x2 -x1= ? ∴ (a+x) 4(x3 +ax3+b)= ? 3x3 +2ax3+ +4b ∵x3>

2

2

a =0 (Ⅰ)

2

1 1 2 2 (x 1+x2) ∴ x3 ? [? a ? 4a ? 12b ? 3? ] 2 3
2

且 4a

12b-3
3 2

2

≥0

(Ⅱ )

∵ f(x)=x +ax +bx+c= ( x ?

a 3 a2 a 2 3 1 ) ? ( ? b)(x ? ) ? a ? c ? ab 3 3 3 27 3

30、 (2005 二试 2)设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

【解析】由条件得, b(az ? cx ? b) ? c(bx ? ay ? c) ? a(cy ? bz ? a) ? 0 ,

且 u 2 ? 1 ? (u ? v)(u ? w), v 2 ? 1 ? (u ? v)(v ? w), w2 ? 1 ? (u ? w)(v ? w).

?

cos2 A ? 1 ? cos A

1?

u2 u2 ?1 u u ?1
2

?

u2 u 2 ? 1( u 2 ? 1 ? u )
u3

?

u 2 ( u 2 ? 1 ? u) u2 ?1

? u2 ?

u3 u2 ?1

u2 ?

(u ? v)( u ? w)

? u2 ?

u3 1 1 ( ? ), 2 u?v u?w

同理,

cos2 B v3 1 1 cos2 C w3 1 1 ? v2 ? ( ? ), ? w2 ? ( ? ). 1 ? cos B 2 u ? v u ? w 1 ? cosC 2 u?w v?w

1 u 3 ? v 3 v 3 ? w3 u 3 ? w3 1 ? f ? u 2 ? v 2 ? w2 ? ( ? ? ) ? u 2 ? v 2 ? w 2 ? [(u 2 ? uv ? v 2 ) 2 u?v v?w u?w 2

1 1 (uv ? vw ? uw) ? .(取等号当且仅当 u ? v ? w , 2 2 1 1 此时, a ? b ? c, x ? y ? z ? ), [ f ( x, y, z )] min ? . 2 2
+ (v ? vw ? w ) ? (u ? uw ? w )] ?
2 2 2 2

31 、 ( 2006

一 试

15 ) 设 ,

f ( x) ? x2 ? a .



f 1 ( x) ? f ( x) ,

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,

1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?

?

?

1 【解析】 (1)如果 a ? ?2 ,则 f (0) ?| a |? 2 , a ? M 。

32、 (2007 一试 15)设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π )=f(x),求证:存在 4 个 函数 fi(x)(i=1,2,3,4)满足:(1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x, 有 fi(x+π )=fi(x); (2) 对任意的实数 x, 有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 【解析】证明:记 g ( x ) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , h( x ) ? ,则 f(x)=g(x)+h(x),且 2 2

g(x) 是偶函数, h(x) 是奇函数,对任意的 x ∈ R , g(x+2π )=g(x) , h(x+2π ) =h(x) 。令

f1 ( x) ?

g ( x) ? g ( x ? π ) 2

? h( x ) ? h( x ? π ) ? f 3 ( x) ? ? 2 sin x ? 0 ?
[来源:Z_xx_k.Com]

? g ( x) ? g ( x ? π ) ? 2 cos x , f 2 ( x) ? ? ? 0 ? ? h( x ) ? h ( x ? π ) x? ? 2 sin 2 x x ? kπ , f 4 ( x) ? ? ? x ? kπ 0 x? ?

π 2 , π x ? kπ ? 2 kπ 2 ,其中 k 为任意整 kπ 2 x ? kπ ?

数。 容易验证 fi(x),i=1,2,3,4 是偶函数,且对任意的 x∈R,fi(x+π )=fi(x),i=1,2,3,

33、 (2008 二试 2)设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (1)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x) 的周期; p

( 2 ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an?1 ? 0

(n ? 1, 2, ???) ,且每个 an

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

(2)若 T 是无理数,令

?1? a1 ? 1 ? ? ? T , 则 0 ? a1 ? 1 , 且 a1 是 无 理 数 , 令 ?T ?

?1? ?1? a2 ? 1 ? ? ? a1 , an?1 ? 1 ? ? ? an , 由数学归纳法易知 an 均为无理数且 0 ? an ? 1 .又 ? a1 ? ? an ?

?1? ?1? 1 ?1? ? ? ? ? 1 ,故 1 ? an ? ? ? an ,即 an ?1 ? 1 ? ? ? an ? an .因此 {an } 是递减数列. an ? an ? ? an ? ? an ?
1 最后证:每个 an 是 f ( x ) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期,故 a1 ? 1 ? ? ? T 亦 ? ?T ? ?

? ? 是 f ( x ) 的周期.假设 ak 是 f ( x ) 的周期,则 ak ?1 ? 1 ? ? 1 ? ak 也是 f ( x ) 的周期.由数学归 ? ak ?
纳法,已证得 an 均是 f ( x ) 的周期.
b ?1 ), b?2

34 、 ( 2011 一 试 9 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.


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