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4.1.1 圆的标准方程


第四章

圆与方程

4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 整体设计 教学分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上 , 进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊 的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础 .也就是 说,本

节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着 广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层 次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用 意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把 教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要 着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施, 都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、 动手、 动口并主动参与的学习机会,激发学生的求 知欲,促使学生解决问题. 三维目标 1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、 半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出 圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意 培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法 处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能 力. 3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线 等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验 圆的对称性,感受数学美. 重点难点 教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.课前准备:(用淀粉在一张白纸上画上海和山) 说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是 《日出》 ,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在 白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳. 课堂估计:一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性);一种作出后有同学觉得不够美(点 评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点). 然后上升到数学层次: 不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程. 从用圆规作图复习初中所学圆的定义:到定点的距离等于定长的点的轨迹.

那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的 方程?教师板书本节课题:圆的标准方程. 思路 2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗?圆的 方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程. 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它 们之间的距离? ②具有什么性质的点的轨迹称为圆? ③图 1 中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什 么特点?

图1 ④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角 ,那么,决定 圆的条件是什么? ⑤如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程? ⑥圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?
2 2 讨论结果:①根据两点之间的距离公式 ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,得 2 2 |AB|= ( 2 ? 6) ? (9 ? 5) ?

212 ,

|CD|= ( x ? 3) ? ( y ? 8) .
2 2

②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上 画一个圆). ③圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确 定了圆的位置和大小. ④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是 常数 ,r > 0). 设 M(x,y) 为这个圆上任意一点 , 那么点 M 满足的条件是 ( 引导学生自己列 出 )P={M||MA|=r}, 由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点 M 适 合 的 条 件

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 =r.①
将上式两边平方得(x-a) +(y-b) =r . 2 2 2 化简可得(x-a) +(y-b) =r .② 若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程②,反之若点 M 的坐标满足方程②, 这就说明点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上.方程②就是圆心为 C(a,b),半 径长为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. ⑥这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、 r 分别表示
2 2 2

圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x +y =r . 提出问题 ①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 2 2 2 讨论结果:①圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 中,有三个参数 a、b、r,只要求出 a、b、r 且 r>0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的 定位条件,半径是圆的定形条件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求 出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为: 2 2 2 1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ; 2°根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组; 3°解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 2 2 2 ③点 M(x0,y0)与圆(x-a) +(y-b) =r 的关系的判断方法: 2 2 2 2 2 2 当点 M(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 上时,点 M 的坐标满足方程(x-a) +(y-b) =r . 2 2 2 2 2 2 当点 M(x0,y0)不在圆(x-a) +(y-b) =r 上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a) +(y-b) =r . 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 2 2 2 1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外 ? (x0-a) +(y0-b) >r ,点在圆外; 2 2 2 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上 ? (x0-a) +(y0-b) =r ,点在圆上; 2 2 2 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内 ? (x0-a) +(y0-b) <r ,点在圆内. 应用示例 思路 1 例 1 写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径是 3; ⑵圆心在点 C(3,4),半径是 5 ; (3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); (4)圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切. 2 2 2 2 2 解:(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0) +(y-0) =3 ,即 x +y =9. 2 2 2 (2) 由 于 圆 心 在 点 C(3,4), 半 径 是 5, 所 以 圆 的 标 准 方 程 是 (x-3) +(y-4) =(5) , 即 2 2 (x-3) +(y-4) =5.
2 2 (3) 方法一 : 圆的半径 r=|CP|= (5 ? 8) ? (1 ? 3) ?
2 2

2

2

2

25 =5, 因此所求圆的标准方程为

(x-8) +(y+3) =25. 2 2 2 方 法 二 : 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x-8) +(y+3) =r , 因 为 圆 经 过 点 P(5,1), 所 以 2 2 2 2 2 2 (5-8) +(1+3) =r ,r =25,因此所求圆的标准方程为(x-8) +(y+3) =25. 这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种 方法都可,要视问题的方便而定. 2 2 2 (4) 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x-1) +(y-3) =r , 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 , 所 以 r=

| 3 ? 12 ? 7 | 25

?

| 16 | 25

.因此所求圆的标准方程为(x-1) +(y-3) =

2

2

256 . 25

点评:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否

在这个圆上. 解:圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是 2 2 (x-2) +(y+3) =25, 把点 M1(5,-7),M2(- 5 ,,-1)分别代入方程(x-2) +(y+3) =25,
2 2

则 M1 的坐标满足方程,M1 在圆上.M2 的坐标不满足方程,M2 不在圆上. 点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的 关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数; 根据坐标满 足方程来看在不在圆上——从代数到几何. 例 3 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 2 2 2 活动:教师引导学生从圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 入手,要确定圆的标准方程,可用待定 系数法确定 a、b、r 三个参数.另外可利用直线 AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的 方程可求,师生总结、归纳、提炼方法. 2 2 2 解法一 : 设所求的圆的标准方程为 (x-a) +(y-b) =r , 因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8) 都在圆 上, 2 2 2 它们的坐标都满足方程(x-a) +(y-b) =r ,于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 . ?

(1) (2) (3)

?a ? 2, ? 2 2 解此方程组得 ?b ? ?3, 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2) +(y+3) =25. ? r ? 5. ?
解法二 : 线段 AB 的中点坐标为 (6,-1), 斜率为 -2, 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+1=

1 2

(x-6).

① 同理线段 AC 的中点坐标为 (3.5,-3.5), 斜率为 3, 所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5). ② 解由①②组成的方程组得 x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径 r= (5 ? 2) ? (1 ? 3) =5,
2 2

所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2) +(y+3) =25. 点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点 的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路. 思路 2 例 1 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每 隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度(精确到 0.01 m).

2

2

图2 解:建立坐标系如图,圆心在 y 轴上,由题意得 P(0,4),B(10,0). 2 2 2 设圆的方程为 x +(y-b) =r ,因为点 P(0,4)和 B(10,0)在圆上,
2 2 2 ? ?b ? ?10.5, ?0 ? (4 ? b) ? r , 所以 ? 2 解得 ? 2 2 2 2 ? ?r ? 14.5 , ?10 ? (0 ? b) ? r .

所以这个圆的方程是 x +(y+10.5) =14.5 . 2 2 2 设点 P2(-2,y0),由题意 y0>0,代入圆方程得(-2) +(y0+10.5) =14.5 , 解得 y0= 14.52 ? 2 2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答:支柱 A2P2 的长度约为 3.86 m. 例 2 求与圆 x +y -2x=0 外切,且与直线 x+ 3 y=0 相切于点(3,- 3 )的圆的方程.
2 2

2

2

2

活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题 . 首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程 组,求出参数,得到所求的圆的方程. 2 2 2 2 2 解:设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r .圆 x +y -2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1.因为两圆外 切 , 所 以 圆 心 距 等 于 两 圆 半 径 之 和 , 即 ① 由 圆 与 直 线 x+

( a ? 1) 2 ? (b ? 0) 2 =r+1,

3

y=0









(3,-

3

),



?b ? 3 1 ? (? ) ? ?1, ? 3 ? a ?3 ? ? | a ? 3b | ? r. ? 1 ? ( 3) 2 ?
解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4 3 ,r=6.

(2) (3)

故所求圆的方程为(x-4) +y =4 或 x +(y+4 3 ) =36.
2 2 2 2

点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用 圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径. 变式训练 一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程. 解法一:因为圆心在直线 y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2). 2 2 2 则圆的方程为(x-a) +(y-a-2) =r . 因为点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上,

1 ? a?? , ? ? ? ?(0 ? a) ? (0 ? a ? 2) ? r , 4 所以 ? 解得 ? 2 2 2 25 ? ?r 2 ? . ?(1 ? a) ? (3 ? a ? 2) ? r , ? 8 ?
2 2 2

所以所求的圆的方程为(x+

1 2 7 2 25 ) +(y- ) = . 4 4 8 1 3 , ), 2 2

解法二:由题意:圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为( 所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y-

3 1 1 =- (x- ),即 x+3y-5=0. 2 3 2

因为圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,

1 ? x?? , ? ? y ? x ? 2, 1 7 ? 4 所以由 ? 解得 ? ,即圆心坐标为 C(- , ). 4 4 ? x ? 3 y ? 5 ? 0, ?y ? 7 , ? 4 ?
又因为圆的半径 r=|OC|= (? ) ? ( ) ?
2 2

1 4

7 4

25 , 8

所以所求的圆的方程为(x+

1 2 7 2 25 ) +(y- ) = . 4 4 8

点评:(1)圆的标准方程中有 a、b、r 三个量,要求圆的标准方程即要求 a、b、r 三个量,有时 可用待定系数法. (2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例 3 求下列圆的方程: (1)圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1). (2)圆心在点(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为 22. 解 :(1) 设 圆 心 坐 标 为 (a,-2a), 由 题 意 知 圆 与 直 线 y=1-x 相 切 于 点 (2,-1), 所 以

| a ? 2a ? 1 | 1 ?1
2 2

? (a ? 2) 2 ? (?2a ? 1) 2 , 解 得 a=1. 所 以 所 求 圆 心 坐 标 为 (1,-2), 半 径
2

2 2 r= (1 ? 2) ? ( ?2 ? 1) = 2 .所以所求圆的标准方程为(x-1) +(y+2) =2.

2

(2) 设 圆 的 方 程 为 (x-2) +(y+1) =r (r > 0), 由 题 意 知 圆 心 到 直 线 y=x-1 的 距 离 为 d=

2

2

2

| 2 ?1?1| 1 ?1
2 2

= 2 .又直线 y=x-1 被圆截得弦长为 2 2 ,所以由弦长公式得 r -d =2,即 r=2.
2 2 2 2

所以所求圆的标准方程为(x-2) +(y+1) =4. 点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平 面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的 应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决. 知能训练 课本本节练习 1、2. 拓展提升 1.求圆心在直线 y=2x 上且与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程. 活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探 讨解题方法.

解:首先两平行线的距离 d=

C1 ? C 2 A2 ? B 2

=2,所以半径为 r=

d =1. 2

方法一:设与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 的距离相等的直线方程为 3x+4y+k=0,由平行 线 间 的 距 离 公 式 d=

| C1 ? C 2 | A ?B
2 2

,得

|k ?7| 3 ?4
2 2

?

| k ?3| 4 2 ? 32

, 即 k=-2, 所 以 直 线 方 程 为

2 ? x? , ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? 11 3x+4y-2=0.解 3x+4y-2=0 与 y=2x 组成的方程组 ? 得? ,因此圆心坐 4 ? y ? 2 x, ?y ? , ? 11 ?
标为(

2 4 2 2 4 2 , ).又半径为 r=1,所以所求圆的方程为(x- ) +(y- ) =1. 11 11 11 11

14 ? 6 ? y ? , ?y ? ? , ? 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 , 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 , ? ? ? 11 ? 11 与? 得? 和? 方法二: 解方程组 ? 因此圆心 ? y ? 2 x, ? y ? 2 x, ?x ? 7 ?x ? ? 3 . ? 11 ? 11 ? ?
坐标为(

2 4 2 2 4 2 , ).又半径 r=1,所以所求圆的方程为(x- ) +(y- ) =1. 11 11 11 11

点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理. 课堂小结 ①圆的标准方程. ②点与圆的位置关系的判断方法. ③根据已知条件求圆的标准方程的方法. ④利用圆的平面几何的知识构建方程. ⑤直径端点是 A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 作业 1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容. 2.预习有关圆的切线方程的求法. 3.课本习题 4.1 A 组第 2、3 题.


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