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高中数学竞赛讲义十


高中数学竞赛讲义(十)
──直线与圆的方程

一、基础知识

1. 解析几何的研究对象是曲线与方程。 解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是 通过映射建立曲线与方程的关系, 即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间 存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x +y =1 是以原 点为圆心的

单位圆的方程。
2 2

2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合; (3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方 程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。

3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 180 的正角,叫做 它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0 ,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做 该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。
0

0

4.直线方程的几种形式:(1)一般式:Ax+By+C=0;(2)点斜式:y-y0=k(x-x0);(3)

斜截式:y=kx+b;(4)截距式:

;(5)两点式:

;(6)法

线式方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离);(7)参

数式: 取负)。

(其中θ 为该直线倾斜角),t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动

点 P(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则

5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到 与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 90 的正角叫两者的
0

夹角。若记到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =

,tanα =

.

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要 条件是 k1=k2;l1 l2 的充要条件是 k1k2=-1。

7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|=



8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式:



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( ).

10. 二元一次不等式表示的平面区域, 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0, 则 Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。

11.解决简单的线性规划问题的一般步骤:(1)确定各变量,并以 x 和 y 表示;(2) 写出线性约束条件和线性目标函数;(3)画出满足约束条件的可行域;(4)求出最优解。

12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,

2

2

2

其参数方程为

(θ 为参数)。

13.圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)。其圆心为

2

2

2

2

,半径为

。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条直线叫 两圆的根轴。给定如下三个不同的圆:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴 方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的 蒙日定理。

二、方法与例题

1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。

例1

在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=90 ,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠

0

ADB=∠CDE。

[证明]

见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C

坐标分别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0)。直线 BD 方程为 直线 BC 方程为 x+y=2a,





②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD

AE,所以 k1k2=-1.所以

,所以直线 AE 方程为

,由

解得点 E 坐

标为



所以直线 DE 斜率为

因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。

0

例2

半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另
0

两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 60 。

[证明]

以 A 为原点, 平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴, 建立直角坐标系见

图 10-2,设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交 点分别为 E,F,设半径为 r,则直线 AB,AC 的方程分别为 方程为(x-m) +y =r .①设点 E, F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 分别代入①并消去 y 得
2 2 2

,

.设⊙D 的 ,

所以 x1, x2 是方程 4x -2mx+m -r =0 的两根。

2

2

2

由韦达定理

,所以

|EF| =(x1-x2) +(y1-y2) =(x1-x2) +3(x1-x2)

2

2

2

2

2

=4(x1+x2) -4x1x2=m -(m -r )=r .

2

2

2

2

2

所以|EF|=r。所以∠EDF=60 。

0

2.到角公式的使用。

例3

设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R

不可能在双曲线的同一支上。

[证明]

假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐

标分别为

且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ , 它是直线 QR 到 PQ 的角,

由假设知直线 QR,PQ 的斜率分别为



由到角公式

所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。

3.代数形式的几何意义。

例4

求函数

的最大值。

[解]

因为

表示动点 P(x, x )
2

2

到两定点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取最大值|AB|=

4.最值问题。

例5

已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ

ABC,求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。

[解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立, 所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)

为 l2 与 l3 的交点。设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m

0,则 k1?k2=

, SΔ

ABC

=

,由点到直线距离公式|AC|=



|BC|=



所以 SΔ ABC=

。因为 2m≤m +1,所以 SΔ ABC≤

2

。又因为

-m -1≤2m,所以

2

,所以 SΔ ABC≥

当 m=1 时,(SΔ ABC)max=

;当 m=-1 时,(SΔ ABC)min=

.

5.线性规划。

例6

设 x, y 满足不等式组

(1)求点(x, y)所在的平面区域;

(2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

[解] (1)由已知得



解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5; CD:y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4.

(2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以 它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7),于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果 -1<a≤2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最小值为-3a+1.

6.参数方程的应用。

例7

如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x +(y-1) =1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,

2

2

使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。

[解]

设直线 OP 的参数方程为

(t 参数)。

代入已知圆的方程得 t -t?2sinα =0.

2

所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t.

所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |.

所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1.

当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0.

2

2

7.与圆有关的问题。

例8

点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的

动点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。

[解]

见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N

为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。

以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16, 连结 OT1, OT2。 因为 OT2

2

2

MT2, T1H

MT2, 所以 OT2//HT1,

同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。

又因为 OM

T1T2,OT1

MT1,所以

ON?OM。设点 H 坐标为(x,y)。

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为

,将坐标代入

=ON?OM,再由



在 AB 上取点 K,使 AK=

AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。

例9

已知圆 x +y =1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是

2

2

α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。

[证明]

过 D 作 OD

AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为

,因为 OD

AB,所以

2?

,

所以

。所以

例 10 最小值。

已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、

[解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标 分别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称 即可),从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ),

所以|OD|=

=

因为

,所以



时,|OD|max=

+1;当

时,|OD|min=

例 11

当 m 变化且 m≠0 时, 求证: 圆(x-2m-1) +(y-m-1) =4m 的圆心在一条定直线上,

2

2

2

并求这一系列圆的公切线的方程。

[证明]



消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设

公切线方程为 y=kx+b,则由相切有 2|m|= (-4k-3)m +2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1) =0 对一切 m≠0 成立
2 2

,对一切 m≠0 成立。即

所以



当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程

y=

和 x=1.

三、基础训练题

1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的 倾斜角的取值范围是__________.

2.已知θ ∈[0,π ],则

的取值范围是__________.

3.三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形,当点 P(x, y)在此三角形 边上或内部运动时,2x+y 的取值范围是__________.

4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________.

5.若λ ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ )y-2(3+2λ )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d,比较大小: d__________ .

6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,则此圆 的方程为__________.

7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C: x +y -4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在的方程为__________.
2 2

8.D =4F 且 E≠0 是圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件.

2

2

2

9.方程|x|-1=

表示的曲线是__________.

10.已知点 M 到点 A(1,0),B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好有 一个,则 a 可能值的个数为__________.

11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y -2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最 小值。

2

12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。

(1)求∠AMB 的最大值;

(2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长;

(3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。

四、高考水平训练题

1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心在原点 O,则点 B 的坐标为__________.

2.把直线

绕点(-1,2)旋转 30 得到的直线方程为__________.

0

3.M 是直线 l: 在线段 AB 上满足

上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则 的点 P 的轨迹方程为__________.

4.以相交两圆 C1:x +y +4x+y+1=0 及 C2:x +y +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程 为__________.

2

2

2

2

5.已知 M={(x,y)|y= N

,a>0},N={(x,y)|(x-1) +(y-

2

) =a ,a>0}.M

2

2

,a 的最大值与最小值的和是__________.

6.圆 x +y +x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,O 为原点,OP m=__________.

2

2

OQ,则

7.已知对于圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y),使 x+y+m≥0 恒成立,m 范围是 __________.

2

2

8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x -2ax+y +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切,则直线 l 的方程为__________.

2

2

9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c, 若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那么直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是__________.
2 2

10. 设 A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面 xOy 上

的点集,C= __________.

所围成图形的面积是

11.求圆 C1:x +y +2x+6y+9=0 与圆 C2:x +y -6x+2y+1=0 的公切线方程。

2

2

2

2

12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。

(1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小?

(2)设 a∈R ,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。

+

13.已知圆 C:x +y -6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且∠OBA=90 , OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。

2

2

0

五、联赛一试水平训练题

1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0) 的所有直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。

2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0,则另一腰 AC 所在的直线方程为__________.

3.若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,则 m=__________.

4.直线 x+7y-5=0 分圆 x +y =1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.

2

2

5.直线 y=kx-1 与曲线 y=

有交点,则 k 的取值范围是__________.

6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________.

7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y≤3x, y≥ __________.

x, x+y≤100 的整点个数是

8.平面上的整点到直线

的距离中的最小值是__________.

9.y=lg(10-mx )的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________.

2

10.已知 f(x)=x -6x+5,满足 __________.

2

的点(x,y)构成图形的面积为

11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以 一定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。

(1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变;

(2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍?

12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x +y =9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两 边始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。

2

2

13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x +y +2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上, 且满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。

2

2

六、联赛二试水平训练题

1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x -xy+y 的最大值、最小值。

2

2

2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a),矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d),其中 a<d<c<b,求证: 矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd) +(ad-bc) ≥(a -b ) .
2 2 2 2 2

3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1, B1,C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。

4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合, 使得:(1)每个整点都在此集合的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上,有且只有一个 整点。

5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,…,ln,…的直线族,它满足 条件:(1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,…;(2)kn+1≥an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1,2,3,…;(3)knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结 论。

6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交,l1 交圆于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:


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