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数列求和问题


数列求和问题
1. 公式法 直接应用等差、等比数列的求和公式;
n( a1 ? an ) n( n ? 1) ? na1 ? d 2 2

1、等差数列求和公式: S n
2、等比数列求和公式:

?

? na1 ? a ? an q S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ?

1? q ? 1? q
2

(q ? 1) (q ? 1)

2 常见的数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ? ……+n= n( n ? 1) ,1+3+5+……+= n

12 ? 22 ? 32 ? ……+n 2 =

n( n ? 1)(2n ? 1) , 6

? 等. 13 ? 23 ? 33 ? ……+ n 3=? n(n ? 1 ) ? ? 2 ? ?
a1 ? a2 ? ? ? an 求数列{bn }的前 n项和. n

2

例1: (1)等差数列 {an }的通项 an ? 2n ? 1,bn ?

(2)已知等比数列 {an}的公比为 2,且前4项之和等于 1 ,那么前 8项之和是多少 .

(3)已知 log

3

x?

?1 log2 3

,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和.
Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

(4)设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

2.倒序相加法. 利用等差数列求和的方 法,将一个数列倒过来 排序,它与原数列相加 . 如:等差数列 {an }前n项和公式的推导:
?S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?S ? a ? a ? ? ? a ? 2S n ? n(a1 ? an ) n n ?1 1 ? n n(n ? 1) ? Sn ? . 2

例 2:1. S ?

12 22 32 ? 2 ? 2 ? 2 2 1 ? 10 2 ?9 3 ? 82
2

?

102 102 ? 12

0 1 2 n 2.求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

3.错位相减法. 如:等比数列 {an }前n项和公式的推导:

第 1 页

(q ? 1) ?na1    ?Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n . ?qS ? a ? a ? ? ? a ? a ? (1 ? q) Sn ? a1 ? an?1 ? ? a1 (1 ? q ) ? a1 ? an q    (q ? 1) 2 3 n n ?1 ? n ? 1? q ? 1? q
例2.( 1)求数列 {n ? 3n }前n项和.
(2)求和: Sn ? 1 ? 3a ? 5a2 ? ? (2n ?1) ? an?1 (a ? 0).

(3) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 , (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 。 4.分组转化法. 例 3. (1)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 3n ? 1, 求数列 ?an ? 的前 n 项和.

, n为正奇数, ?1 (2)an ? ? 求数列{an }前n项的和Sn . ??4,n为正偶数,

(3)求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

5.裂项相消法. 常见的拆项方法有: (1) 若an ?1 ? an ? d , 有 (2)

1 1 1 1 ? ( ? ) an an ?1 d an an ?1

1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n (3) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ; (2) ? ( ? ); n(n ? 1) n n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 (3) ? [ ? ]; (4) ? ( a ? b) n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) a ? b a ?b (1)

1 1 1 例4.(1)求数列1 , , ,, 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ?

?n

的前n项和.

(2)求和 : Sn ?

1 1 ? ? 1? 3 3? 5

?

1 . 2n ? 1 ? 2n ? 1

(3)已知等差数列 ?an ? 满足:a3 ? 7 ,a5 ? a7 ? 26 ,?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ) 求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

6、合并求和法
第 2 页

例 5.(1)求 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ?
2 2 2 2 2 2

? 992 ? 1002

(2)求数列{(–1)n–1 (3n –2)} 前 n 项的和 7.用二项式定理求和 多项式 g ( x) ? ( px ? q)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? an x n , g ( x) 的各项的系数和为 g (1) :

1 1 g ( x) 的奇数项的系数和为 [ g (1) ? g (?1)] . g ( x) 的偶数项的系数和为 [ g (1) ? g ( ?1)] 2 2
0 1 2 1. Cn ? Cn ? Cn ? r ? Cn ? n ? Cn ? 2n 1 2 2. Cn ? Cn ?
2 r ?1 ? Cn ? ??? ?

r ? Cn ?

n ? Cn ? 2n ?1

0 2 4 2r 1 3 3. Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn ? ??? ? Cn ? Cn ?

1 n ? 2 ? 2n ?1 2

1 2 3 例 6: (1) Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ?

n ? Cn ? 6n?1 ?

. .

1 2 3 (2) Cn ? 3Cn ? 9Cn ?

n ? 3n?1Cn ?

(3) 在( x ? 2)2006的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S ,当x ? 2时, S ? _____.
0 2 4 n (4) Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ?? 3n Cn ? 2 ? 4n?1 ? 2n?1 ( n ? 2 K , n ? N )
*

数列求和练习:第一组 1. {an } 的通项公式是 an ? A.11 B.99

1 n ? n ?1
C.120

若它的前 n 项和为 10, 则其项数 n 为 (n ? N ? ) , D.121

2.数列 {an } 的通项是 an ? 4n ? 1, bn ? A. n 3. 设
2

a1 ? a2 ? ? ? an ,则数列 {bn } 的的前 n 项和为 n
D. n(2n ? 1)

B. n(n ? 1)
1 2x ?

C. n(n ? 2)

f ( x) ?

, 求 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? f (5) ? f (6) 的值为
2

A. 3 2

B. 2

C. 2 2

D.

2 2

第 3 页

4.数列 1 1 ,3 1 ,5 1 , ?, (2n ? 1) ? 1 , ? 的前 n 项和为 S n ,则 S n ? n
2 4 8 2

A. n ? 1 ?
2

1 2n

B. n 2 ? 1 ? 1 n ?1
2

C. 2n ? n ? 1 ?
2

1 2n

D. n ? n ? 1 ?
2

1 2n

2 2 2 5.在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ?? an ? 2n ?1 ,则 a1 ? a2 ? ?? an ?

A. (2n ? 1) 2

n 2 B. ( 2 ? 1)

3

C. 4 ? 1
n

D.

4n ? 1 3
.

6.数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),

,(1 ? 2 ? 22 ?

? 2n?1 ),

的前 n 项和 Sn ?

7.数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) ,则 S100 ? _________。 8.数列 6,66,666,…666…66 的前 n 项和 Sn ? . .

9. 数列 1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前 n 项和 Sn ?


2 2 2 2 10.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a1 =___________. ? a2 ? a3 ? ? ? an

11.设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 12.
1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7 ?

? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n =_______________________.
.

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)

13. 1 ? 1 ? 1 ? ... ?
2?4 3?5 4?6

1 =__________ ( n ? 1)( n ? 3)

14. Sn ? cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°为
15. 若( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1x1 ? a0 , 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____. 16.

( x2 ?1)(2x ?1)9 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ?

则 a0 ?a1 ? ? a1 ? a11 ( x ? 2)11 , 1 的值为

17.若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11. 求: (1)a1+a2+a3+…+a11; (2)a0+a2+a4+…+a10.
8 9 7 8 2 18. 求 29 C10 的结果. 10 ? 2 C10 ? 2 C10 ? ?? 2C10 ? 10

20. 若 (3x ?1)7 ? a7 x7 ? a6 x6 ? ?? a1x ? a0 ,
求(1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ;(2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;(3) a0 ? a2 ? a4 ? a6 . 21.已知(x +
第 4 页
3

1 n 1 1 1 2 1 3 0 ) 展开式中有第六项的二项式系数最大,求; C n- C n+ C n- C n+… 2 2 4 8 x

+(-1) ·

n

1 n C n 的值. 2n
5 2 ?3
2 2

第二组
1.数列
3 1? 2
2


1
2



7 3 ?4
2 2

,…,
1
2

2n ? 1 n (n ? 1) 2
2

的前 n 项和是
1
2


1



( n ? 1) ( n ? 1) 2 n n n–1 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 1 – 5 + 9 – 13 + 17 – 21 +…+(–1) (4n – 3),则 S15 + S22 – S31 的值为 ( B ) A.3 B.-76 C.46 D.6 1 1 1 ? 2 ??? 3.Sn = 2 =. 2 ?1 4 ?1 ( 2n) 2 ? 1

A.1–

B.1+

C.1 +

D.1–

4.已知数列{an}满足 a1 = 1,an = a1 + 2a2 + 3a3 +…+ (n – 1) an–1 (n≥2),则{an}的通项公式 an =

5. 求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

6.求数列

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 的前 n 项和 S 2 2 2 2 2n
S3 = 6. 2 1 1 1 (II)求和: . ? ??? S1 S 2 Sn

7..已知数列 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 S n , a3 = (I)求数列 {an } 的通项公式;

8..设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n 2 , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

9. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ?

n? N? a1 ? 1, 10. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 满足: 其中 t ? 0 , 3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t ,
且 n ? 2(Ⅰ) 求证: 数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ) 设数列 {an } 的公比为 f (t ) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn ? f (

1 ), (n ? 2), 求 bn 的通项式. bn ?1

(Ⅲ)记 Tn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? b4 b5 ? ? ? b2n?1b2n ? b2n b2n?1 , 求证: Tn ? ?
第 5 页

20 . 9

第三组

提高练习

1.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则

1 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a2008
A.

(

)

4016 2009

B.

2008 2009
(

C.

2007 1004

D.

2007 2008

2.数列{an}、{bn}都是公差为 1 的等差数列,若其首项满足 a1+b1=5,a1>b1,且 a1,b1 ∈N*,则数列{ abn }前 10 项的和等于 ) D.55 ( )

A.100 B.85 C.70 3.设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n,则 m 等于
2

n ( n ? 1) 1 1 1 B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7) 3 2 2 2 4.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则 S17+S33+S50 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 5.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是 1,1,2,…,则{cn}的前 10 项 和 为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 6.1002-992+982-972+…+22-12 的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7. 一个有 2001 项且各项非零的等差数列, 其奇数项的和与偶数项的和之比为 . 2 2 2 3 2 8.若 1 +2 +…+(n-1) =an +bn +cn,则 a= ,b= ,c= . 9.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等 比数列{bn}的第二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
A. (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立. b1 b2 b3 bn

求 c1+c2+c3+…+c2003 的值. 10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1. (1)求证数列{an+

2 (-1)n}是等比数列; 3
1 1 1 7 ? ??? ? . a 4 a5 am 8

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m>4,有
第 6 页

第四组

1.已知等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,求它的前 n 项和 Sn 2.已知等比数列 {an } 中, a5 ? 16 , q ? 2 ,求它的前 n 项和 Sn
3. 已知 an ? n ? 2n?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 4. 求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S. 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

2 4 6 2n 5.求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和 2 2 2 2
6. 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

7. 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

8 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

9. 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

前 n 项的和. 10.数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
11. 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

的值. 12.求和: Sn =

1 1 ? ? 1? 3 2 ? 4

?

1 n ? n ? 2?
1 } 的前 n 项和 Tn an an ?1

13.已知等差数列 {a n } 中, an =2n ? 1 ,求数列 { 14.求数列
1 , 1 ,? ? ?, 1

1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 3 4 n ?1 15.求和: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2
第 7 页

,? ? ? 的前 n 项和 Sn 。

? n 1 ? 1? ? 2 1 ? ? ? 16.求和: ? x ? ? ? ? 2 ?x ? y? ??? ? ? x ? yn y ? ? ? ? ? ?
17.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

? ? ? ?x ? 0, x ? 1, y ? 1? ?

1 1 1 ? 4, 2 ? 7, ?, n ?1 ? 3n ? 2, ? a a a

18.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

19.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 20、 求数列{n ? 2 }前n项和.
n

21、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an 2 ? 1

22、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 23.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
第 8 页

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

24.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 1 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立 20 an an ?1

的最小正整数 m; 25(本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点

(n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?
n

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n

26..求数列 7, 16, 37… 3 ? 3n ? 1 的前 n 项和

1 2 1 2 3 28..求数列 S n = + + + 2 4 8
29..求数列 5a , 9 a
2

n n 27. 求数列 {2 ? 3 ? ( ) ? (3n ? 2)} 的前 n 项和

+
n

n 的前 n 项和 2n

… (4n ? 1)a

(a ? 0) 的前 n 项和

n 30. 求数列 {(3n ? 2)( ) } 的前 n 项和

3 4

31..求数列 9,99,999,…999…9 的前 n 项和 32..求数列 7, 77, 777,… 777…77 的前 n 项和 33.求数列

1 1 1 1 , , ,… 前 n 项和 n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

34.求数列 {

1 } (7n ? 3)(7n ? 4)

前 n 项和

第 9 页

35.求数列 { 36.求数列 {

1 }前 n n(n ? 2)

项和

1 } 的前 n 项和 n ?1 ? n

37.求数列

(2n)2 的前 n 项 (2n - 1)(2n + 1)

0 p 1 p ?1 2 p ?2 0 p 38.证明: Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? ?? Cnp ? Cm ? Cm ?n

2 3 n 39.化简 1 ? 3 C1 ? 9 C n ? 27 C n ? .... ? (?1) n 3 n cn n

40 (1 ? 2x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? 2004x 2004 , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ? 41.设 (2x ? 1) 6 ? a6 x 6 ? a5 x 5 ? ... ? a1 x ? a0 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? 42. 已 知 等 式 (1 ? x ? x 2 ) 3 ? (1 ? 2x 2 ) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? a14 x14 成 立 , 则

a1 ? a2 ? a3 ? ? ?a13 ?a14 的值等于

.

第五组

数列求和专项练习
{? 2n ?1? ? 3 }前n项和. 1、 求数列
n

1 3 5 7 2n ? 1 2、求数列 , , , , ??? , n 的前 n 项和. 2 4 8 16 2
3、求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

4、已知数列 ?an ?的通项公式为 a n ?

1 n ?1 ? n

求它的前 n 项的和.
n?1

5、已知数列{ an }满足:a1 ? 3a2 ? ? ? (2n ? 1)an ? (2n ? 3) ? 2

, 数列 {bn }的前 n 项和

S n ? 2n 2 ? n ? 2.求数列 {an ? bn }的前n项和Wn .
第 10 页

6、在数列 ?an ?中, a1 ? 1 , an ? Sn 的表达式.

2 ?1? 2S n (n ? 2). 证明数列 ? ? 是等差数列,并求出 2S n ? 1 ? sn ?

7、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (1)求 a n 及 S n ; (2)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

8、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, S n ? an ( S n ? ) ; (1)求 Sn , an (2)求 ?Sn ? 的前 n 项和 Tn 9、已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? ?1 ? (1)设 bn ?

1 2

? ?

1? n ?1 ? an ? n n? 2

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式 (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn n

10、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (1)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (2)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 11、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

12、已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an }
'

的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。

第 11 页

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 an an ?1

Tn ?

m ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20

13、已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) , 2

(I)求 an 与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn
?

14、本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

,点

(n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n

15、数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1,2S n ? (n ? 1)an , (I)求 an 与 a n ?1 的关系式,并求{ an }的通项公式; (II)求和 Wn ? 16、 (1)设 a1 , a2 ,

1 1 1 ? 2 ??? 2 . a ? 1 a3 ? 1 a n ?1 ? 1
2 2

, an 是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将

此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; d

(ii)求 n 的所有可能值. (2)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列

bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列. b1,b2, ,
17、已知函数 f(x)=m· 2x+t 的图象经过点 A(1,1)、B(2,3)及 C(n,Sn),Sn 为数列{an}的前 n 项和,n∈N*. (1)求 Sn 及 an;
第 12 页

(2)若数列{cn}满足 cn=6nan-n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 18、将 n2 个数排成 n 行 n 列的一个数阵: a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n … … … … … an1 an2 an3 … ann 已知 a11=2,a13=a61+1,该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数 列,每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列,其中 m 为正实数. (1)求第 i 行第 j 列的数 aij; (2)求这 n2 个数的和.

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