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8、向量的数量积(有答案)


中国最受信赖的教育品牌

学科教师辅导教案
学员编号: 姓名: 授课类型 教学目的 星级 授课日期及时段 教学内容 年 级:高一 课 时 数: 3 学科教师:

辅导科目:数 学

T 同步知识梳理

C 相关题型练习

T 巩固练习

★★★

/>2016.

专题三
一、 两个向量的夹角

向量的数量积

→ =a,OB → =b,则∠AOB 称作向量 a 和向量 b 1、定义:已知两个非零向量 a 和 b,作OA 的夹角,记作〈a,b〉 . 2、范围:向量夹角〈a,b〉的范围是[0,π]. π 3、向量垂直:如果〈a,b〉=2,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 二、 向量在轴上的正射影 → =a,过点 O,A 分别作轴 l 的垂线,垂足分别 已知向量 a 和轴 l(如图),作OA → 为 O1,A1,则向量O 1A1叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影),该射影在轴 l 上 的坐标,称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上的数量. → =a 在轴 l 上正射影的坐标记作 a ,向量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 θ,则由三角函数 OA l 中的余弦定义有 al=|a|cos θ. 三、 向量的数量积 1、平面向量的数量积的定义: |a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . 2、向量数量积的性质:
1

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①如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a=|a|cos〈a,e〉 ; ②a⊥b?a· b=0; ③a· a=|a|2,|a|= a· a; a· b ④cos〈a,b〉=|a||b| (|a||b|≠0); ⑤|a· b|≤|a||b|. 3、数量积的运算律: ①交换律:a· b=b· a. ②分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. ③对 λ∈R,λ(a· b)=(λa)· b=a· (λb). 4、数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ①a· b=a1b1+a2b2; ②a⊥b?a1b1+a2b2=0;
2 ③|a|= a2 1+a2;

④cos 〈a,b〉=

a1b1+a2b2 2 2 2. a1+a2 2· b1+b2

题型一

平面向量数量积的运算 ( )

→· → 等于 1、(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB AC A.-16 B.-8 C.8 D.16

→· → 的值为________; →· → (2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则DE CB DE DC 的最大值为________.
答案 解析 (1)D (2)1 1 → → → → → → → →2 (1)方法一 AB· AC=(CB-CA)· (-CA)=-CB· CA+CA =16.

(2)方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 → → → → E(t,0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1),所以DE· CB=(t,-1)· (0,-1)=1. → → → 因为DC=(1,0),所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1,

2

中国最受信赖的教育品牌 → → 故DE· DC的最大值为 1.

→ |=3,|BC → |=4,|CA → |=5,则AB →· → +BC →· → +CA →· → 的值是 【巩固练习】已知点 A,B,C 满足|AB BC CA AB ________.
答案 -25 解析 方法一 如右图,根据题意可得△ABC 为直角三角形, π 3 4 且 B= ,cos A= ,cos C= , 2 5 5 → → → → → → → → → → ∴AB· BC+BC· CA+CA· AB=BC· CA+CA· AB=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A) 4 3 =-20cos C-15cos A=-20× -15× =-25. 5 5 → → → → → → → → → → → → 方法二 易知AB+BC+CA=0,将其两边平方可得AB2+BC2+CA2+2(AB· BC+AB· CA+BC· CA)=0, 1 → → → → → → → → → 故AB· BC+AB· CA+BC· CA=- (AB2+BC2+CA2)=-25. 2

题型二

求向量的夹角与向量的模

1、(1)(2012· 课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________.

→ 与AC → 的夹角为 120° → |=3, → |=2.若 A→ → +AC →, → ⊥BC →, (2)(2013· 山东)已知向量AB , 且|AB |AC P =λAB 且AP 则实数 λ 的值为________.
答案 解析 (1)3 2 7 (2) 12

(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解. 2 2 |b|,|2a-b|2=4-4× |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2 2

∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1,∴a· b=|a|· |b|cos 45° = → → → → (2)由AP⊥BC知AP· BC=0,

1? 7 → → → → → → → → → → 即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB)=(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC2=(λ-1)×3×2×? ?-2?-λ×9+4=0,解得 λ=12

【巩固练习 1】 (1)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( π A.6 π B.4 π C.3 π D.2 ( )

)

(2)已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于 A.1
答案 解析 (1)C (2)C π a· b 1 (1)∵cos〈a,b〉= = ,∴〈a,b〉= . |a||b| 2 3

B. 2

C .2

D.4

3

中国最受信赖的教育品牌 (2)|a+2b| =a +4a· b+4b =4-4×1+4=4,∴|a+2b|=2.
??? ? ???? π 【巩固练习 2】已知平面向量 a,b 的夹角为6,且|a|= 3,|b|=2,在△ABC 中, AB =2a+2b, AC =
2 2 2

2a-6b,D 为 BC 中点,则| AD |等于( A.2 C.6
解析:选 A

????

) B.4 D.8

???? 1 ??? ? ???? ???? 1 因为 AD = ( AB + AC )= (2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以| AD |2=4(a-b)2=4(a2-2b· a+b2) 2 2

???? π ? =4×? ?3-2×2× 3×cos6+4?=4,则| AD |=2.

题型三

数量积的综合应用

3x 3x? x x? ? ? 1、已知向量 a=?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos 2,sin 2?,c=( 3,-1),其中 x∈R, ? ? ? ? 1 (1)当 a· b=2时,求 x 的取值集合; (2)设函数 f(x)=(a-c)2,求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间.
解:(1)∵a· b=cos 3x x 3x x 1 π cos +sin sin =cos x= ,∴x=2kπ± (k∈Z). 2 2 2 2 2 3

π ∴所求 x 的取值集合为 xx=2kπ± ,k∈Z. 3 3x 3x cos - 3,sin +1?, (2)∵a-c=? 2 2 ? ? 3x 3x 3x 3x ? ? 1 3x 3 ?2 ? 3x ?2 ∴f(x)=(a-c)2=? ?cos 2 - 3? +?sin 2 +1? =5-2 3cos 2 +2sin 2 =5+4?2sin 2 - 2 cos 2 ? 3x π? =5+4sin? ? 2 -3?. 2π 4π π 3x π π 4kπ π 4kπ 5π ∴最小正周期为 T= = .由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z),得 - ≤x≤ + (k∈Z). 3 3 2 2 3 2 3 9 3 9 2 4kπ π 4kπ 5π? ∴单调递增区间是? ? 3 -9, 3 + 9 ?(k∈Z).

【巩固练习】 (2013· 江苏)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.
(1)证明 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得 cos αcos β+sin αsin β=0, 4

中国最受信赖的教育品牌 即 a· b=0,因此 a⊥b. (2)解
?cos α+cos β=0 ? 由已知条件? , ? ?sin α+sin β=1

又 0<β<α<π,cos β=-cos α=cos(π-α),则 β=π-α, 1 π 5π sin α+sin(π-α)=1,sin α= ,α= 或 α= , 2 6 6 π 5π 当 α= 时,β= (舍去), 6 6 5π π 当 α= 时,β= . 6 6

练习题三
一、选择题 1.(2015· 惠州调研)已知向量 p=(2,-3),q=(x,6),且 p∥q,则|p+q|的值为( A. 5 C .5 B. 13 D.13 )

解析:选 B 由题意得 2×6+3x=0?x=-4?|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|= 13. 2.(2015· 长春调研)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 λ 为实数,(b+λa)⊥c,则 λ 的值为( 3 A.- 11 1 C. 2 解析:选 A 11 B.- 3 3 D. 5 b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4),又(b+λa)⊥c,∴(b+λa)· c=0,即(1+λ,2λ)· (3,4) )

3 =3+3λ+8λ=0,解得 λ=- ,故选 A. 11 3.已知向量 a,b 满足(a+2b)· (5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则 a 与 b 的夹角 θ 为( 3π A. 4 π C. 3 π B. 4 2π D. 3 )

1 解析:选 C 因为(a+2b)· (5a-4b)=0,|a|=|b|=1,所以 6a· b-8+5=0,即 a· b= . 2 5

中国最受信赖的教育品牌 1 π 又 a· b=|a||b|cos θ=cos θ,所以 cos θ= ,因为 θ∈[0,π],所以 θ= . 2 3 ? ???? ??? ? ??? ???? 4.在△ABC 中,( BC + BA )·AC =| AC |2,则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 ? ???? ? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ???? ??? ? ??? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? BA 解析: 选 C 由( BC + BA )·AC =| AC |2, 得 AC · ( BC + BA - AC )=0, 即 AC · ( BC + BA + CA )=0,2 AC · ? ??? ? ???? ??? ???? =0,∴ AC ⊥ BA ,∴A=90° .又根据已知条件不能得到| AB |=| AC |,故△ABC 一定是直角三角形. 二、填空题 1.(2015· 北京东城质量检测)已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(a· b)b,则|c|=________. 解析:由题意可得 a· b=2×1+4×(-2)=-6, ∴c=a-(a· b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8), ∴|c|= 82+?-8?2=8 2. 答案:8 2
??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? 2.(2015· 山西四校联考)圆 O 为△ABC 的外接圆,半径为 2,若 AB + AC =2 AO ,且| OA |=| AC |,则向量 BA ??? ? 在向量 BC 方向上的投影为________. ??? ? ???? ???? ??? ? ???? 解析:∵ AB + AC =2 AO ,∴O 是 BC 的中点,故△ABC 为直角三角形.在△AOC 中,有| OA |=| AC |,∴∠ ??? ? ??? ? ??? ? 3 B=30° .由定义,向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为| BA |cos ∠B=2 3× =3. 2

)

答案:3
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 3.单位圆上三点 A,B,C 满足 OA + OB + OC =0,则向量 OA , OB 的夹角为________.

解析:∵A,B,C 为单位圆上三点, ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ∴| OA |=| OB |=| OC |=1,又 OA + OB + OC =0, ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ,可得 ∴- OC = OB + OA ,∴ OC 2=( OB + OA )2= OB 2+ OA 2+2 OB ·
??? ? ??? ? 1 cos 〈 OA , OB 〉=- , 2 ??? ? ??? ? ∴向量 OA , OB 的夹角为 120° .

答案:120°
???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? BP =2, 4.(2014· 江苏高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8,AD=5,CP =3 PD , AP · 则 AB ·AD

的值是________.

??? ? ???? ???? ???? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? 3 ??? 解析:因为 AP = AD + DP = AD + AB , BP = BC + CP = AD - AB , 4 4

6

中国最受信赖的教育品牌 ??? ? ??? ? ???? ? ? 1 3 3 ??? 1 ???? ??? ? →+ AB― → ?· →- AB― → ?=| AD |2- | AB |2- AD ·AB =2, BP =?AD― 所以 AP · 4 4 ? ? ?AD― ? 16 2 ??? ? ???? 将 AB=8,AD=5 代入解得 AB ·AD =22.答案:22 三、解答题 1.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b). 1 - ?=-16. 解:由已知得,a· b=4×8×? ? 2? (1)①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直.

7


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