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函数的周期性专题练习试卷及解析


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函数的周期性专题练习试卷及解析
1.2015 年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第 12 题 给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 2 2

{ x} ,即 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:
① y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 ( k , 0) 是 y ? f ( x) 的图象的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y ? f ( x) 的周期为 1 ; ④函数 y ? f ( x) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数 2 2


上述命题中真命题的序号是( A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④

2.2015 年广西省玉林市 4 月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第 5 题 设 f ( x ) 是 (??, ??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时有 f ( x) ? 2 x ,则

f (2015)? (
A. ?1 B. ?2 C. 1 D. 2



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3.2015 年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第 9 题 函数 f ( x) ?

1 (1 ? cos 2 x) sin 2 x, x ? R 是( 2



A. 最小正周期为 ? 的奇函数 B. 最小正周期为

? 的奇函数 2

C. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

4.2015 年天津市和平区高三二模文科数学试题第 4 题 已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? ? ) ? 1(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( ) ? 1 ,则 f ( x ) 的最小正周期为

?

3

( A. B.



?
3? 2

C. 2? D. 4?

5.2015 年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第 7 题 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 x ?[?3, ?1) 时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 ,当

x ?[?1,3) 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2015) ? (
A. 336 B. 355 C. 1676



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D. 2015

6.2015 年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第 15 题 在 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? 2, a2 ? 7 , 记 an 与 an?1 (n ? N ? ) 的 积 的 个 位 数 为 an?2 , 则

a2015 ? _________.

7.2015 年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第 10 题 函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期是_______.

8.2015 年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第 14 题 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4sin x cos3 x( x ? R) 的最小正周期为_______.

9.2015 年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第 13 题 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x , 若在区间 [?2,3] 上方程 ax+2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围 是________.

10.2015 年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第 13 题

8 ) ?( 9 f) 已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且 f ( x ? 2) 为偶函数, 若 f (1) ? 1 , 则 f(

? ____.

11.2015 年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第 14 题

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设 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 D , 如 果 存 在 非 零 常 数 T , 对 于 任 意 x ? D , 都 有 , 则称函数 y ? f ( x) 是 “似周期函数” , 非零常数 T 为函数 y ? f ( x) 的 f ( x? T) ? T ? f( x ) “似周期” .现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ①如果“似周期函数” y ? f ( x) 的“似周期”为 ?1 ,那么它是周期为 2 的周期函数; ②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数” ; ③函数 f ( x) ? 2- x 是“似周期函数” ; ④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数” ,那么“ ? ? k? , k ? Z ” . 其中是真命题的序号是_____.(写出所有满足条件的命题序号)

12.2015 年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第 11 题 已知函数 f ( x) ?

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ,则 f ( x) 的最小正周期是_______;如果 f ( x) 的导函 2

数是 f ?( x ) ,则 f ?( ) ? _______.

?

6

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答案和解析

1.2015 年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第 12 题 答案:C 分析:

2.2015 年广西省玉林市 4 月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第 5 题 答案:B 分析:∵ f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,∴周期为 T ? 4 , 又∵函数为奇函数, f (2015) ? f (504 ? 4 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? ?2 , 故选 B .

3.2015 年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第 9 题 答案:A 分析:

4.2015 年天津市和平区高三二模文科数学试题第 4 题 答案:A 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ? ) ? 1, f ( ) ? 2sin(

?

?
3

s i n ( ? ? ? ), 1 3
由 0 ? ? ? ? 可得

?

3

? ? ) ?1 ? 1 , 所 以

?

3

?

?
3

?? ? ? ?

?
3

,∴

?
3

?? ?

?
2

,?? ?

?
6



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f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 ? 2sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 1 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ? 1 , 3 2? ? ? ,故选 A . 则 f ( x ) 的最小正周期为 2

?

?

5.2015 年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第 7 题 答案:A 分 析 : 由 题 意 得

f (1) ? 1, f (2) ? 2, f (3) ? f (?3) ? ?1, f (4) ? f (?2) ? 0, f (5) ? f (?1) ? ?1, f (6) ? f (0) ? 0,
则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? 1, 又 因 为 2015 ? 6 ? 336 ? 1 , 所 以

f ( 1? ) f

(? 2 )f

? ( 3 )? f

( 2 ?0 1 5 ?) ? f 3 3 6故 ?选 1 A. (6)

336,

6.2015 年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第 15 题 答案: 2 分 析 : a1a2 ? 2 ? 7 ? 14 , 所 以 a3 ? 4, 4 ? 7 ? 28 , 所 以 a4 ? 2 8 , 4 , ? 8 ? 3 2所 以

a5 ? 2, 2 ? 8 ? 16 ,所以 a6 ? 6, a7 ? 2, a8 ? 2, a9 ? 4, a10 ? 8, a11 ? 2, 所以从第三项起, an
的值成周期排列,周期数为 6 , 2015 ? 335 ? 6 ? 5 ,所以 a2015 ? a5 ? 2 .

7.2015 年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第 10 题 答案: ? 分析:利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为 f ( x) ? ? cos 2 x ,所以最小正

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周期 T ?

2? ?? . 2

8.2015 年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第 14 题 答案: 分析:

? 2

9.2015 年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第 13 题 答案:

2 2 ?a? 5 3

分析:因为函数 f ( x ) 为偶函数,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x ,所以当 x ? [?1,0] 时,

f ( x) ? ? 2 x ,又因为函数 f ( x) 为周期为 2 的周期函数,所以画出函数 f ( x) 在 [?2,3] 上的
图象如图所示,则方程 ax ? 2a ? f ( x) ? 0 在 [?2,3] 上有 4 个不相等的实数根等价于函数

f ( x) 的图象与直线 y ? ax ? 2a ? a( x ? 2) 在 [?2,3] 上有 4 个交点, 则图易得实数 a 应满足
2 2 2?0 2?0 ?a? ,即 ? a ? . 5 3 3 ? (?2) 1 ? (?2)

10.2015 年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第 13 题 答案: 1 分析:因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数,所以 f ( x ) 是以 4 为周长的奇函 数,所以 f (8) ? f (9) ? f (0) ? f (1) ? 1 .

11.2015 年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第 14 题 答案:①③④

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分 析 : 利 用 新 定 义 逐 一 判 断 . 若 函 数 y ? f ( x ) 的 “ 似 周 期 ” 为 ?1 , 则

2 的周期函数, , 即它是周期为 所以①正确; 若 f ( x) ? x 是 “似 f ( x? 1 )? ? f ( x )? f ( x? 1)
周期函数” ,则存在非零常数 T ,对任意 x ? R 满足 f ( x ? T ) ? x ? T ? Tf ( x) ? Tx ,显然不 可能,所以②错误;若 f ( x) ? 2? x 是“似周期函数” ,则存在非零常数 T ,对任意 x ? R 满 足 f ( x ? T ) ? 2?( x?T ) ? Tf ( x) ? T 2? x ,即 2
?T

1 1 ? ( )T ? T ,而已知函数 y ? ( ) x , y ? x 的 2 2

图象有一个交点, 即非零常数 T 存在, 所以③正确; 若函数 f ( x) ? cos ? x 是 “似周期函数” ,

? x,则 则存在非零常数 T ,对任意 x ? R 满足 f ( x ? T ) ? cos[? (x ? T )]? Tf (x )? T cos
T ? ?1 ,此时 cos(? x ? w) ? ? cos ? x ,所以 ? ? k? , k ? Z ,所以④正确,综上所述,真
命题的序号是①③④.

12.2015 年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第 11 题 答案: ? , ?1 分析:

1 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 2

1 cos 2 x ? 1 1 3 3 ? 1 ? sin 2 x ? 3( ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 2 2 3 2
所 以 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为

f ?(

?

)? 2 c o s ? (2 ? ?) ? . 6 6 3

?

?

2? ? ? ? , f ( x) 的 导 函 数 f ?( x) ? 2 cos(2 x ? ) , 则 2 3 1



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