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导数中的双变量问题


导数
1、设函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

2ax 2 ? 1 (a ? 0) . x

(1)讨论函数 f ( x) 在定义域内的单调性; (2)当 a ? (?3, ?2) 时,任意 x1 , x2 ? [1,3] , (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2

) | 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

2、已知二次函数 g ( x) 对 ?x ? R 都满足 g ( x ? 1) ? g (1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? 1 且 g (1) ? ?1 ,设函数

1 9 f ( x) ? g ( x ? ) ? m ln x ? ( m ? R , x ? 0 ). 2 8
(Ⅰ)求 g ( x) 的表达式;(Ⅱ)若 ?x ? R ? ,使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ,求证:对于 ?x1,x2 ? [1, m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 .

2 3? x 3、设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点.

?

?

1

(1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ),并求 f ? x ? 的单调区间;
2 (2)设 a ? 0, g ? x ? ? ? a ?

? ?

25 ? x ? e ,若存在 ?1 , ? 2 ? ? 0, 4? ,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 1 成立,求 a 的取值范围. 4 ?

2 x 4、 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ( x ? R ) .

(1)若 a ? 2, b ? ?2 ,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,试求出 a 关于 b 的关系式(用 a 表示 b ),并确定 f ( x) 的单调区 间; (3)在(2)的条件下,设 a ? 0 ,函数 g ( x) ? (a 2 ? 14)e x ? 4 .若存在 ?1 , ? 2 ? [0,4] 使得 | f (?1 ) ? f (? 2 ) |? 1 成立,求 a 的取值范围.

5、已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

?

?

⑴求函数 f ? x ? 的解析式;
2

⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数 c 的最小值; ⑶若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

6、设函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x(a ? R ). x

⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线斜率为 k ,问:是否存在 a ,使得

k ? 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

7、已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R,a ? 0) . 2

⑴求函数 f ( x ) 的单调增区间; ⑵记函数 F ( x) 的图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上两个不同点,如果曲线 C 上存在点

3

M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ?

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB ,则称函数 F ( x) 存在“中 2

值相依切线”.试问:函数 f ( x ) 是否存在中值相依切线,请说明理由.

8、已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax . ⑴试讨论 f ( x) 在定义域内的单调性; ⑵当 a <-1时,证明: ?x1 , x2 ? (0,1) ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? 1 .求实数 m 的取值范围. | x1 ? x2 |

9、已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax 2 ? 1 . ⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵设 a ? ?1 ,如果对任意 x1 , x 2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≥ 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围.

4

10、已知函数f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 . 2

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

11、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x(a ? 0). (1)确定函数 y ? f ( x) 的单调性; (2)若对任意 x1 , x2 ? ? 0,1? ,且 x1 ? x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 |

1 1 ? | ,求实数 a 的取值范围。 x1 x2

5

12、已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 和“伪二次函数” g ? x ? ? ax ? bx ? c ln x ( a 、b 、c ? R, abc ? 0 ),
2 2

(I)证明:只要 a ? 0 ,无论 b 取何值,函数 g ? x ? 在定义域内不可能总为增函数; (II)在二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 图象上任意取不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,
2

记直线 AB 的斜率为 k ,
2 (i)求证: k ? f ?( x0 ) ;(ii)对于“伪二次函数” g ? x ? ? ax ? bx ? c ln x ,是否有①同样的性质?证明你的结论.

a ,a为正常数. x ?1 9 ⑴若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且a ? ,求函数 f ( x) 的单调增区间; 2
13、已知函数 ? ( x) ? ⑵在⑴中当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意不同的两点 A?x1 , y1 ? , B?x 2 , y 2 ? ,线段 AB 的中点为

C ( x 0 , y 0 ) ,记直线 AB 的斜率为 k ,试证明: k ? f ?( x0 ) .
⑶若 g ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且对任意的 x1 , x 2 ? ?0,2? , x1 ? x 2 ,都有

g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求a的取值范围. x 2 ? x1

6

14、已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) . (1)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 x e

15、已知函数 f ( x) ?

1 ? a ? ln x x

a?R,

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值

(Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 R ? 上恒成立,求 k 的取值范围

(Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? e ,求证 x1 ? x2 ? x1 x2

7

16、已知函数 f ( x) ?

ln x 1 的图象为曲线 C , 函数 g ( x) ? ax ? b 的图象为直线 l . x 2

(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? ?3 时, 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1 , x 2 , 且 x1 ? x 2 , 求证: ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x 2 ) ? 2 .

17、已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? ln( x ? a ) ,其中常数 a ? 0. 4 a
⑵求 f ( x ) 的单调递增区间;

⑴若 f ( x)在x ? 1 处取得极值,求 a 的值; ⑶已知 0 ? a ? 并加以证明。

1 且满足 f '( x1 ) ? f '( x2 ) ? 0 , 试比较 f '( x1 ? x2 )与f '(0) 的大小, , 若 x1 , x2 ? (?a, a), x1 ? x2 , 2

8

18、已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? a )e x . ⑴若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间;
3 ⑵已知 x1 , x2 是 f ( x) 的两个不同的极值点,且 | x1 ? x2 |?| x1 x2 | ,若 3 f (a ) ? a ?

3 2 a ? 3a ? b 恒成立,求实 2

数b的取值范围。

19、已知函数 f ( x) ? xe ? x ( x ? R ) ⑴求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,证明当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ⑶如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2

9

20、已知函数 f ( x) ?

x ?1 ( x ? R). e x ?1

⑴求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵已知函数 y ? g ( x) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,证明:当 x ? 2 时, f ( x) ? g ( x); ⑶如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 4.

21、已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ? e ?1 ,
x

(Ⅰ)若 F ( x) ? f ( x) ? px ,求 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ)对于任意的 x2 ? x1 ? 0 ,比较 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 g ( x2 ? x1 ) 的大小,并说明理由.

22、函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ? x2

10

(1)求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1的最大值。 (2)对于任意 x1, x2 ? ? 0, ??? ,且 x2 ? x1 ,是否存在实数 m ,使 mg ?x 2 ? ? mg x ? 为正数?若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。
1

x f1 x? 1 ?x ? f2 x ?2 ? 恒 ??

23、已知函数 f ? x ? ? ln ? x ?

? ?

1? ? ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 。 a?

(1)讨论 f ? x ? 的单调区间; (2)若直线 y ? ax 的图像恒在函数 f ? x ? 图像的上方,求 a 的取值范围 (3)若存在 ?

1 ? x1 ? 0 , x2 ? 0 ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,求证 x1 ? x2 ? 0 。 a

24、

11


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